Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche bzw. Kugelkörper.
Differenzierung zwischen Kugelfläche und Kugelkörper Bearbeiten
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl als Radius der Kugel.
Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel (auch Ball). Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.
Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.
Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt () und Radius ist die Menge aller Punkte (), für die
erfüllt ist.
In Vektorschreibweise mit , :
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:
mit und .
Kugelschnitte Bearbeiten
- Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis.
- Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).
- Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
- Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.
- Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.
- Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.
- Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.
Kurven auf einer Kugel Bearbeiten
Kreise Bearbeiten
- Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein Kreis, ein Punkt oder leer.
Ist der Schnitt ein Kreis, so lässt er sich in Parameterform darstellen: s. Ebene Schnitt eines Ellipsoids.
Allerdings kann eine Kugel auch kompliziertere Flächen in einem Kreis schneiden:
- Ein nicht leerer Schnitt einer Kugel mit einer Rotationsfläche, deren Achse durch den Mittelpunkt der Kugel geht, besteht aus Kreisen und/oder Punkten.
Im Bild schneidet eine Kugel einen Zylinder in zwei Kreisen. Wäre der Radius des Zylinders gleich dem Kugelradius, bestünde der Schnitt aus einem Berührkreis. Ein Rotations-Ellipsoid mit demselben Mittelpunkt wie die Kugel und dem Kugelradius als großer Halbachse würde die Kugel in zwei Punkten (Scheiteln) berühren.
Diese Eigenschaft wird in der darstellenden Geometrie zur Konstruktion von Punkten der Schnittkurve von Rotationsflächen verwendet (siehe Hilfskugelverfahren.)
Clelia-Kurven Bearbeiten
Ist die Kugel in Parameterform
gegeben, so erhält man Clelia-Kurven, wenn man
setzt. Spezialfälle davon sind: vivianische Kurven () und Kugelspiralen ().
Loxodrome Bearbeiten
Die Kurve auf der Erdkugel, welche die Meridiane (Längskreise) immer unter dem gleichen Winkel schneidet, ist eine Loxodrome. Sie schlingt sich spiralartig um die Pole, die ihre beiden asymptotischen Punkte sind, d. h. sie enthält nicht die Pole. Sie ist keine Kugelspirale im obigen Sinne. Es besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen den Winkeln und .
Schnitte mit anderen Quadriken Bearbeiten
Wird eine Kugel von einer anderen Quadrik (Zylinder, Kegel …) geschnitten, so entstehen bei geeigneten Radien, Parameter … Schnittkurven.
Beispiel: Kugel – Zylinder
Die Schnittkurve der Kugel mit der Gleichung und dem Zylinder mit der Gleichung besteht aus den Lösungen des nicht linearen Gleichungssystems
(s. implizite Kurve, Bild)
Formeln Bearbeiten
| Geometrische Größe | Formel |
|---|---|
| Kugelradius | |
| Kugeldurchmesser | |
| Umfang (Großkreis) | |
| Volumen | |
| Oberfläche | |
| Projektionsfläche/Kugelquerschnitt | |
| Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht, nicht mit dem h in der Skizze unten identisch) | |
| Volumen einer Kugelkalotte | |
| Flächeninhalt einer Kugelkalotte | |
| Mantelfläche einer Kugelschicht | |
| Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) | |
| Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) |
Volumen Bearbeiten
Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.
Kegelherleitung (archimedische Herleitung) Bearbeiten
Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius und Höhe einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius und Höhe entfernt.
Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand haben.
Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche
Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius und Innenradius . Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge
Für einen beliebigen Abstand zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.
Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:
Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.
Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:
Alternative Herleitung Bearbeiten
Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden: .
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Bearbeiten
Radius im Abstand :
Kreisfläche im Abstand :
Volumen der Kugel :
Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments der Höhe berechnen:
Weitere Herleitungen Bearbeiten
Eine Kugel mit Radius , deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung
beschreiben, wobei die Raumkoordinaten sind.
Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:
Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch
Mit der Funktionaldeterminante
ergibt sich das benötigte Volumenelement als
Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als
Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:
Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen und fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch und . Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: (Stichwort: Flächenelement)
Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper
Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.
Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt
Die Gleichung für den Kreis ist
mit Mittelpunkt
Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir
Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man
Oberfläche Bearbeiten
Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert hat. Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
Ihr Flächeninhalt ist und damit gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.
Die Kugel hat bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche – und damit das kleinste A/V-Verhältnis – aller möglichen Körper.
Begründung Bearbeiten
Teilt man eine Kugel auf in:
- Schichten mit einer Höhe von jeweils und
- „Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand zueinander haben
und lässt man nach streben,
- so ist die Länge jedes Feldes umgekehrt proportional zu – also zu seinem Abstand von der Mittelachse.
- Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu .
Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d. h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt am Äquator beträgt ( wobei gegen strebt, da am Äquator schneller gegen strebt als gegen ).
Da alle Felder also den Inhalt haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: .
Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens Bearbeiten
Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius . Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:
Wegen ergibt sich:
Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung Bearbeiten
Da das Kugelvolumen mit
definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut
ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Bearbeiten
Aus der ersten Guldin’schen Regel
für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten Bearbeiten
Für das Flächenelement auf Flächen = konstant gilt in Kugelkoordinaten:
Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:
Eigenschaften Bearbeiten
() mit Radius zum Volumen eines ihr umbeschriebenen Zylinders () ist
- Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.
- Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten. Die Kartographie ist davon betroffen, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.
- In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung . Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene (Krümmung 0) abgebildet werden kann.
- Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.
- Durch die stereografische Projektion kann die Kugel – bis auf den „Nordpol“ – bijektiv auf die Ebene abgebildet werden. Dadurch kann z. B. der Vier-Farben-Satz auf die Kugel übertragen werden. Durch die umgekehrte Abbildung kann die Ebene bijektiv auf die Kugeloberfläche ohne „Nordpol“ abgebildet werden, der „Nordpol“ steht dann für den „unendlich fernen Punkt“. In der Funktionentheorie wird auf diese Art die komplexe Zahlenebene auf die Kugel übertragen (riemannsche Zahlenkugel), sie ist damit eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht 0.
- Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.
- Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius , Höhe = , siehe Bild) ist . Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.
- Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).
- Die Kugel rollt auf einer schiefen Ebene selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere Krafteinwirkung in allen Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in Rillenkugellagern.
Verallgemeinerung Bearbeiten
Höherdimensionale euklidische Räume Bearbeiten
Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl eine ‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des ‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl (dem Radius) ist. Den Rand der ‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich ist, bezeichnet man als ‑dimensionale Sphäre oder kurz ‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der ‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die ‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.
Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.
Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von ‑Sphären, wenn sie ‑dimensionale Sphären im ‑dimensionalen Raum meinen.
Das -dimensionale Volumen einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius ist
Hier ist die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät.
Die Schnittfläche einer ‑dimensionalen Kugel im ‑dimensionalen euklidischen Raum mit einer ‑dimensionalen Hyperebene ist eine ‑dimensionale Kugel mit dem Radius , wobei der Abstand der Hyperebene vom Mittelpunkt der Kugel ist. Das Volumen der ‑dimensionalen Kugel ist daher das Integral über allen parallelen Schnittflächen:
Aus der Substitution folgt
Also ist das Volumen proportial zu . Mit vollständige Induktion über folgt, dass das Volumen für alle Dimensionen proportial zu ist.
Den ‑dimensionalen Inhalt der ‑dimensionalen Oberfläche, also der ‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:
Für eine Einheitskugel in Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:
| Dimensionen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … | n=2m | n=2m+1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Volumen | 2 | … | |||||||||||
| Oberfläche | 2 | … |
Eine -Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten -Mannigfaltigkeit.
Metrische Räume Bearbeiten
Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.
Ist ein metrischer Raum, und , , so nennt man
die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius . Die Menge:
heißt abgeschlossene Kugel.
Manche Autoren schreiben auch für die offenen und für die abgeschlossenen Kugeln. Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind und .
Dichteste Kugelpackung Bearbeiten
grau: unterste Schicht (A-Schicht)
gelb und rot: B-Schicht oder C-Schicht (hier als zweite Schicht; allgemein in beliebiger Reihenfolge als zweite oder dritte Schicht)
Die dichteste Kugelpackung ist diejenige gegenseitige Anordnung gleich großer Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die Packungsdichte beträgt etwa 74 %:
Diese Anordnung kann auf zweierlei Art beschrieben werden:
Sie besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln,
Die erste der beiden Beschreibungen ist die bevorzugt gebrauchte. Die darin enthaltene Schicht wird als hexagonale (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schicht, die im zweiten Fall als tetragonale (quadratische) Kugel-Schicht bezeichnet.
Symbolik Bearbeiten
Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form“. Erst seit dem Aufkommen der Drechseltechniken war sie – zumindest aus Holz oder weichem Stein – nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der Unendlichkeit (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden Kanonen- und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht (siehe auch: Kugel (Heraldik)). Im Bereich der Waffentechnik benutzt man den Begriff Kugel auch heute noch für Büchsenmunition, obwohl diese oft nicht mehr die geometrische Form einer Kugel aufweisen.
Anwendungsbeispiele Bearbeiten
Erde, Mond und Mars Bearbeiten
Die Erde, der Mond und der Mars haben annähernd die Form einer Kugel.
Erde Bearbeiten
Die Erde hat den mittleren Durchmesser 12742 km, also den mittleren Radius . Die Masse der Erde beträgt etwa 5,9724 · 1024 kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen, die mittlere Dichte und die Oberfläche:
- Volumen:
- Mittlere Dichte:
- Oberfläche:
Mond Bearbeiten
Der Mond hat den mittleren Durchmesser 3474 km, also den mittleren Radius . Die Masse des Mondes beträgt etwa 7,346 · 1022 kg. Daraus ergibt sich:
- Volumen:
- Mittlere Dichte:
- Oberfläche:
Mars Bearbeiten
Der Mars hat den mittleren Durchmesser 6780 km, also den mittleren Radius . Die Masse des Mars beträgt etwa 6,417 · 1023 kg. Daraus ergibt sich:
- Volumen:
- Mittlere Dichte:
- Oberfläche:
Der Fußball und andere Bälle Bearbeiten
Ein Fußball ist kugelförmig und hat einen Umfang von etwa 68 Zentimetern, also einen Radius von . Die Masse eines Fußballs beträgt etwa 410 Gramm. Daraus ergibt sich:
- Volumen:
- Mittlere Dichte:
Die folgende Tabelle zeigt den Umfang, das Volumen, die Masse und die mittlere Dichte (ungefähre Werte) von verschiedenen Bällen im Vergleich:
| Umfang | Volumen | Masse | Mittlere Dichte | |
|---|---|---|---|---|
| Fußball | 68 cm | 5,28 · 10−3 m3 | 410 g | 78 kg/m3 |
| Handball | 58 cm | 3,29 · 10−3 m3 | 425 g | 129 kg/m3 |
| Basketball | 74,9 cm | 7,10 · 10−3 m3 | 567 g | 80 kg/m3 |
| Volleyball | 65 cm | 4,64 · 10−3 m3 | 260 g | 56 kg/m3 |
| Tennisball | 20,5 cm | 0,146 · 10−3 m3 | 56,7 g | 388 kg/m3 |
| Tischtennisball | 12,6 cm | 0,0335 · 10−3 m3 | 2,7 g | 81 kg/m3 |
| Golfball | 13,4 cm | 0,0407 · 10−3 m3 | 45,9 g | 1128 kg/m3 |
| Billardkugel | 18,0 cm | 0,0980 · 10−3 m3 | 170 g | 1735 kg/m3 |
Siehe auch Bearbeiten
Die Kugel in der Literatur Bearbeiten
Im Roman Kryonium. Die Experimente der Erinnerung von Matthias A. K. Zimmermann steht die Formel zur Berechnung eines Kugelvolumens (4/3 · π · r³) im Zentrum der Geschichte; sie wird dem Leser anschaulich erläutert. Der Roman ist Archimedes gewidmet, der diese Formel hergeleitet hatte. Die Hauptfigur gerät in eine Welt des Vergessens und der Dunkelheit, die sich aus zahlreichen Elementen der Mathematik zusammensetzt. Die Geschichte dreht sich um eine verwunschene 1001-teilige Schneekugelsammlung, welche die geheimnisvollen Vorgänge auf einem Schloss lenkt. In dem Roman lassen sich unterschiedliche Verweise auf die Mathematik finden wie beispielsweise ein Winterwald, der wie ein Möbiusband gekrümmt ist, ein Ungeheuer aus Fraktal, ein Kartesisches Koordinatensystem, Zahlenpalindrome, Lateinische Quadrate, das Dualsystem, Leonhard Euler und Ada Lovelace.
Literatur Bearbeiten
- Yann Rocher (Hrsg.): Globes. Architecture et sciences explorent le monde. Norma/Cité de l’architecture, Paris 2017.
- Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6.
- Fischer/Kaul: Mathematik für Physiker. 4. Auflage, Springer, ISBN 978-3-662-53968-2.
Weblinks Bearbeiten
- Wolfram MathWorld: Sphere
- Alles zum Thema Kugel
- Java-Applet zum Kugelvolumen (erfordert Installation von Java 1.4)
- Herleitung der Volumenformel für Kugeln mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri
Einzelnachweise Bearbeiten
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9.
- Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.
- te:c-science.com: gemeinsame Herleitung der Packungsdichte für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter, gemeinsam
- Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung; 8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle
- Tóth, László Fejes: Dichteste Kugelpackung, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, S. 319
- Walter Biertümpel & Hanns-Joachim Köhler: Eduard Kettner Jagdwaffenkunde. 4. Auflage. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Duisburg 1984, ISBN 3-923270-02-X.
- Wolfgang Rausch: Alles über Jagdwaffen in Theorie & Praxis. 4. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-7168-1324-9.
- Wolfgang Rausch: Alles über Munition für Jagdwaffen in Theorie und Praxis. 1. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1980, ISBN 3-87943-710-6.
- Literaturkritik.de Hinweis auf Archimedes von Syrakus
- Berliner Gazette: In der Schneekugel: Wie Literatur virtuelle Räume erinnern, erschaffen und neu vermessen kann
- Aargauer Zeitung: Gefangen in der unendlichen Virtualität