Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft
für jede natürliche Zahl , wobei mit die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.
Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.
Einordnung ohne mathematisches Vorwissen Bearbeiten
Eine mathematische Funktion funktioniert im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als . Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl den Wert zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich , also .
Die Gammafunktion fußt auf einer Vorschrift, die auch als Fakultät bekannt ist. Diese ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl zu. Bezeichnet wird die Fakultät mit dem Symbol des Ausrufezeichens. Also gilt zum Beispiel
Es galt innerhalb der Mathematik als Problem, ob sich diese Vorschrift auch auf Zahlen anderer Art erweitern ließe. Konkret bedeutet das:
- Lassen sich Fakultäten auch für beliebige rationale, reelle, komplexe Zahlen berechnen? Wie in etwa könnte man sich vorstellen?
- Falls solche „universelle“ Vorschriften gefunden werden, welche mathematischen Eigenschaften können ihnen gegeben werden? Zeichnet sich eine dieser Vorschriften als ganz besonders natürlich und strukturell aus? Ist diese besondere Vorschrift eindeutig bestimmt, also „die eine“ verallgemeinerte Fakultät?
Die Antwort auf diese Fragen liefert die Gammafunktion. Für beliebige Werte liefert , also gilt zum Beispiel Die Verschiebung um 1 von der oben erwähnten Fakultät ist auf eine Konvention aus dem 19. Jahrhundert zurückzuführen. Die Strategie der Verallgemeinerung basiert auf der Beobachtung, dass aus einer vorherigen Fakultät durch Hinzunahme eines weiteren Faktors eine weitere Fakultät gewonnen wird. So gilt etwa und ganz allgemein . Demnach sollte die Gammafunktion die Funktionalgleichung erfüllen. Stellt man weitere wichtige Bedingungen, wie Differenzierbarkeit, an , so kann diese schließlich eindeutig charakterisiert werden, womit „die“ verallgemeinerte Fakultät gefunden ist. Zwar gibt es zahlreiche andere komplexwertige Funktionen , die für alle natürlichen erfüllen, durch das Fordern zusätzlicher (als natürlich angesehener) Eigenschaften an bleibt jedoch nur noch übrig.
Es gilt dann mit der Kreiszahl . Dieser Zusammenhang lässt sich über das Gaußsche Fehlerintegral erklären, das u. a. mit der Normalverteilung aus der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammenhängt.
Geschichte Bearbeiten
Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:
für unendlich große , entsprechend heutiger Notation oder . Wenige Tage später, am 13. Oktoberjul. / 24. Oktober 1729greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel
Diese von Leonhard Euler entdeckte Formel für die Gammafunktion kann direkt als unendliche Produktreihe in ihrer standardisierten Form so dargestellt werden:
Sie ist für alle komplexen Zahlen gültig und wurde 1812 von Gauß (für den Fall komplexer Zahlen) wiederentdeckt (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion, das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:
Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet und geht durch die Substitution in die Form
über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.
Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel (Gamma) als Funktionssymbol ein. Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol (Pi) so, dass und somit auch für nichtnegative ganzzahlige gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu für eine Summe).
Definition und elementare Darstellungsformen Bearbeiten
Es gibt in der Literatur keine einheitliche Definition für die Gammafunktion.
Häufig wird das Eulersche Integral zweiter Gattung gegeben. Ein Nachteil ist, dass dieses Integral nicht überall konvergiert. Somit ist eine globale Berechnung mittels dieser Definition nur indirekt möglich. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil ist die Gammafunktion damit das uneigentliche Integral
Die dadurch definierte Funktion ist holomorph, da das Integral (wegen des schnellen Abfallens der Exponentialfunktion) auf kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert. Dies ermöglicht den Einsatz des Weierstraßschen Konvergenzsatzes. Mittels meromorpher Fortsetzung lässt sich schließlich für alle Werte berechnen.
Eine andere Darstellung mittels eines Produktes motiviert die Verallgemeinerung der Fakultät auf direkte Weise. Sie ist gegeben durch:
In seinem Buch Number Theory. Analytic and modern tools gibt Henri Cohen eine Definition mittels der Hurwitzschen Zeta-Funktion . Als Begründung hierfür wird eine „einfache Möglichkeit der Verallgemeinerung“ und die „Betonung wichtiger Formeln“ angegeben. Es gilt demnach für komplexe Zahlen mit positivem Realteil
wobei die Ableitung bezüglich der ersten Variablen gebildet ist.
Globale Eigenschaften Bearbeiten
Funktionalgleichung und Meromorphie Bearbeiten
Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle die Funktionalgleichung
Mittels dieser Relation ist eine induktive Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle
Nullstellen und Polstellen Bearbeiten
Aus der vorherigen Darstellung kann gefolgert werden, dass zu einer auf meromorphen Funktion fortgesetzt werden kann, die Pole an den Stellen besitzt. Alle Pole sind einfach und besitzen das Residuum
hierbei ist . Nullstellen besitzt keine. Das macht zu einer ganzen Funktion mit ausschließlich einfachen Nullstellen.
Der Satz von Hölder Bearbeiten
Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886) ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form mit einer nichtnegativen ganzen Zahl und einem Polynom in , dessen Koeffizienten rationale Funktionen von sind, und der Lösung .
Axiomatische Charakterisierung Bearbeiten
Fortsetzung der Fakultät Bearbeiten
Die Bedingungen und , die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive erfüllt beispielsweise die Funktion
für die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung
hinzu, womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war. Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.
Der Satz von Bohr-Mollerup Bearbeiten
Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922) erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:
Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.
Der Satz von Wielandt Bearbeiten
Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939) charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:
Genauer gilt für alle mit .
Weitere Darstellungsformen Bearbeiten
Gaußsche und Weierstraßsche Darstellung Bearbeiten
Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es noch andere äquivalente Darstellungen. Eine direkte Definition von für alle gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach Gauß,
die für positive reelle Zahlen bereits von Euler 1729 angegeben wurde. Daraus abgeleitet ist die Darstellung von als Weierstraß-Produkt:
mit der Euler-Mascheroni-Konstanten . Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, Karl Weierstraß verwendete jedoch nur das erste.
Eulersche Darstellung Bearbeiten
Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück, sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:
Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte E. F. Prym 1876 eine in ganz gültige Darstellung:
Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung gibt es für mit :
Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.
Hankelsche Darstellung Bearbeiten
Der deutsche Mathematiker Hermann Hankel entdeckte eine Integralrepresentation für den Kehrwert der Gammafunktion:
Jedoch ist die nun gezeigte Definition nur für positive Werte x gültig. Dieses Integral behandelten ebenso die Mathematiker Thomas Schmelzer und Lloyd Trefethen in ihrem Aufsatz Computing the Gamma Function using contour integrals and rational approximations aus dem Jahre 2007.
Diese Definition kann durch innere Substitution nach dem Muster so umgeformt werden:
Darstellung nach Whittaker und Watson Bearbeiten
Für den natürlichen Logarithmus aus der Gammafunktion existieren auch einige Integralrepresentationen für die Gammafunktion. Eine solche Integralrepresentation wurde durch die britischen Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson entdeckt:
Diese Formel kann ebenso mit Hilfe der Abel-Plana-Summenformel hergeleitet werden.
Kummersche Reihen Bearbeiten
Ernst Eduard Kummer gab 1847 die Fourierentwicklung der logarithmischen Gammafunktion an:
Sie heißt auch Kummersche Reihe. Bereits 1846 fand Carl Johan Malmstén eine ähnliche Reihe:
Harmonische Reihe Bearbeiten
Gegeben ist diese Identität für die Harmonische Reihenfunktion:
Deswegen ist folgende Integralidentität für den Logarithmus naturalis der Fakultätsfunktion gültig:
Aus der gezeigten Formel kann das Element der Mascheroni-Konstante so entfernt werden:
Für nähere Herleitungen siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante!
Für die Debyeschen Funktionen gilt:
Die zuvor genannte Integralidentität für die Harmonische Reihenfunktion kann so dargestellt werden:
Die folgende Formel kann darauf aufgestellt werden:
Jedoch ist diese Formel nur für Werte gültig beziehungsweise konvergent.
Außerdem gilt folgende verallgemeinerte Identität für die Mascheronische Konstante:
Die soeben genannte Formel mit der Riemannschen Zetafunktion geht dann durch Darstellung der soeben gezeigten Formel mittels Stammfunktion der geometrischen Reihe und anschließenden Einsatz der Definition der Riemannschen Zetafunktion hervor:
Grundlegende Funktionalgleichungen Bearbeiten
Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung
Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)
erhält man (Folge A002161 in OEIS) sowie
Mit allgemeiner gewähltem wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)
Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)
Gammafunktionswerte von Brüchen Bearbeiten
Informationen über elliptische Gammafunktionswerte von Brüchen Bearbeiten
Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass jede der Zahlen , , , , und transzendent und algebraisch unabhängig von ist. Sie sind nicht elementar darstellbar, aber können sehr wohl über algebraische Kombinationen von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art dargestellt werden. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert (Folge A175380 in OEIS) nicht einmal bekannt, ob er irrational ist. Und bei diesem Wert ist eine Darstellung aus einer algebraischen Kombination von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art und aus algebraischen Vorfaktoren als einzige Komponenten in der betroffenen Darstellung nicht möglich. Wenn aber vollständige elliptische Integrale erster Art oder zweiter Art selbst durch eine algebraische Kombination von Gammafunktionswerten rationaler Zahlen dargestellt werden können, dann ist der elliptische Modul von den betroffenen vollständigen elliptischen Integralen komplett immer ein Lambda-Stern-Funktionswert von einer rationalen Zahl. Solche elliptischen Integrale werden im deutschen Sprachraum als Singuläre Elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values bezeichnet.
Satz von Fubini Bearbeiten
In den anschließenden Abschnitten dieses Artikels wird der Satz von Fubini in einer abgewandelten Form eingesetzt, die nun im Folgenden hergeleitet werden soll:
Unter Anwendung der Produktregel kann dieser Ausdruck formuliert werden:
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kann folgende Gleichungskette aufgestellt werden:
Und mit dem Satz von Fubini kann diese Gleichungskette aufgestellt werden:
Aus den beiden soeben genannten Gleichungsketten folgt diese Gleichung:
Wenn die Funktion mit der Funktion gleichgesetzt wird, dann entsteht dieser Spezialfall:
Beweise für den elementaren Wert Gamma(1/2) Bearbeiten
Der erste nun folgende Beweis für Gamma(1/2) wird über das Wallissche Produkt absolviert:
| Das Wallissche Produkt lässt sich auf folgende Weise darstellen: Folgender Bruch hat folgenden Grenzwert: Für alle n ∈ ℕ gelten folgende Ausdrücke: Folglich gilt diese Formel: Die Formel wird nach Γ(3/2) aufgelöst: Daraus folgt: |
Der zweite Beweis für Gamma(1/2) wird über den Satz von Fubini mit der zuvor gezeigten Formel bewerkstelligt:
| Der Funktionswert Gamma(1/2) taucht als Integral der Gaußschen Glockenkurve auf: Die oben genannte Formel lautet: Eingesetzt entsteht dann folgendes Resultat: Daraus folgt ebenso: |
Ein dritter Beweis beinhaltet die Dawsonsche Funktion und ähnelt dem zweiten Beweis:
| Allgemein gilt für alle natürlichen Zahlen diese Formel: Für gilt dann das: Mit der Dawson-Minus-Funktion lässt sich das nun gezeigte Integral beschreiben: Die Dawson-Minus-Funktion hat diese Integralidentität: Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion von der nun genannten Formel bezüglich x entsteht diese Formel: Über die Grenzwertbildung entsteht dann die anschließende Gleichung: Daraus folgt dieses Resultat: Und direkt daraus ergibt sich das Endresultat: |
Beweis für die lemniskatischen Werte Gamma(1/4) und Gamma(3/4) Bearbeiten
Mit der lemniskatischen Konstante gilt diese Formel:
Und wegen des Ergänzungssatzes und der Legendreschen Identität gilt:
Hierbei ist K das vollständige elliptische Integral erster Ordnung:
Und E ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung:
Diese Formeln werden mit dem oben beschriebenen Integrationsmechanismus in Folgenden bewiesen:
Basierend auf der Definition der Gammafunktion gilt:
Die Kombination aus Satz von Fubini und Produktregel wird als Schlüssel verwendet:
Dann gilt folgende Gleichungskette:
Hierbei gelten folgende Formeln über den Arcussinus lemniscatus:
Auch mit folgender Stammfunktion kann das gezeigte Integral nachgewiesen werden:
Die genannte Kombination aus Satz von Fubini und Produktregel stellt die Verbindung zwischen beiden Integralen her:
In Bezug auf den Eulerschen Ergänzungssatz gilt somit:
Aus diesen beiden Formelketten entsteht durch Zusammenfügung:
Und dies folgt darauf:
Beweis für die äquianharmonischen Werte Gamma(1/3) und Gamma(2/3) Bearbeiten
Die Gammafunktionswerte der Drittel können ebenso mit Hilfe elliptischer Integrale erster und zweiter Ordnung dargestellt werden: