Abel Plana Summenformel Die ist eine Summenformel die unabhängig voneinander von Niels Henrik Abel 1823 und Giovanni Ant

Abel-Plana-Summenformel

Die Abel-Plana-Summenformel ist eine Summenformel, die unabhängig voneinander von Niels Henrik Abel (1823) und Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820) entdeckt wurde. Diese Formel dient generell zur Umwandlung von unendlichen Summenreihen zu Integralausdrücken. Hierbei werden die Summandenausdrücke der Summenreihe als Funktion bezüglich des Index einem sogenannten uneigentlichen Integral von der gleichen Funktion bezüglich des Integrationsparameters und einem uneigentlichen Integral vom imaginären Gegenstück dieser Funktion anvertraut. Zusätzlich zu dieser ersten Hauptformel, welche generell als Abel-Plana-Formel bezeichnet wird, existiert noch eine zweite Hauptformel für alternierende Reihen.

Zwei Abel-Plana-Hauptformeln Bearbeiten

Die erste Hauptformel besagt, dass folgende Beziehung zwischen Summenreihe und Integral für alle Funktionen gültig ist:

Sie gilt für Funktionen f, die in der Halbebene holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wächst.

Beispielsweise genügt folgende Annahme in diesem Gebiet für geeignete Konstanten C, ε > 0:

Frank W. J. Olver hat sogar nachgewiesen, dass die Formel unter viel schwächeren Bedingungen gültig ist.

Für alternierende Summen gab Abel noch folgende Variante und somit die zweite Hauptformel an:

Hurwitzsche Zetafunktion Bearbeiten

Als Beispiel kann man die Hurwitzsche Zeta-Funktion einsetzen:

Anwendung findet die Hurwitzsche Zetafunktion beispielsweise in der Integration der Jacobischen Thetafunktion in ihrer Nicht-Nullwert-Form:

Riemannsche und Dirichletsche Funktionen Bearbeiten

Für die Riemannsche Zetafunktion, die Dirichletsche Lambdafunktion, die Dirichletsche Etafunktion und die Dirichletsche Betafunktion existieren folgende Abel-Plana-Formeln, welche im Folgenden tabellarisch zusammengefasst werden:

Name der Funktion	Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetafunktion
Dirichletsche Lambdafunktion
Dirichletsche Etafunktion
Dirichletsche Betafunktion

Siehe auch Bearbeiten

Euler-MacLaurin-Summenformel

Einzelnachweise Bearbeiten

Abel, N.H.: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 14:22 pm

Die Abel Plana Summenformel ist eine Summenformel die unabhangig voneinander von Niels Henrik Abel 1823 und Giovanni Antonio Amedeo Plana 1820 entdeckt wurde Diese Formel dient generell zur Umwandlung von unendlichen Summenreihen zu Integralausdrucken Hierbei werden die Summandenausdrucke der Summenreihe als Funktion bezuglich des Index einem sogenannten uneigentlichen Integral von der gleichen Funktion bezuglich des Integrationsparameters und einem uneigentlichen Integral vom imaginaren Gegenstuck dieser Funktion anvertraut Zusatzlich zu dieser ersten Hauptformel welche generell als Abel Plana Formel bezeichnet wird existiert noch eine zweite Hauptformel fur alternierende Reihen Inhaltsverzeichnis 1 Zwei Abel Plana Hauptformeln 2 Hurwitzsche Zetafunktion 3 Riemannsche und Dirichletsche Funktionen 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseZwei Abel Plana Hauptformeln BearbeitenDie erste Hauptformel besagt dass folgende Beziehung zwischen Summenreihe und Integral 1 fur alle Funktionen f t displaystyle f t nbsp gultig ist n 0 f n 0 f t d t 1 2 f 0 i 0 f i t f i t e 2 p t 1 d t displaystyle sum limits n 0 infty f n int limits 0 infty f t mathrm d t frac 1 2 f 0 i int limits 0 infty frac f it f it mathrm e 2 pi t 1 mathrm d t nbsp Sie gilt fur Funktionen f die in der Halbebene R e z gt 0 displaystyle mathrm Re z gt 0 nbsp holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wachst Beispielsweise genugt folgende Annahme in diesem Gebiet fur geeignete Konstanten C e gt 0 f z lt C z 1 ϵ displaystyle f z lt frac C z 1 epsilon nbsp Frank W J Olver hat sogar nachgewiesen dass die Formel unter viel schwacheren Bedingungen gultig ist 2 Fur alternierende Summen gab Abel noch folgende Variante und somit die zweite Hauptformel an n 0 1 n f n 1 2 f 0 i 0 f i t f i t 2 sinh p t d t displaystyle sum limits n 0 infty 1 n f n frac 1 2 f 0 i int limits 0 infty frac f it f it 2 sinh pi t mathrm d t nbsp Hurwitzsche Zetafunktion BearbeitenAls Beispiel kann man die Hurwitzsche Zeta Funktion einsetzen z v w n 0 n w v w 1 v v 1 1 2 w v 2 w v 1 0 sin v arctan x x 2 1 v 2 exp 2 p w x 1 d x displaystyle zeta v w sum n 0 infty n w v frac w 1 v v 1 frac 1 2w v frac 2 w v 1 int limits 0 infty frac sin bigl v arctan x bigr x 2 1 v 2 bigl exp 2 pi wx 1 bigr mathrm d x nbsp Anwendung findet die Hurwitzsche Zetafunktion beispielsweise in der Integration der Jacobischen Thetafunktion in ihrer Nicht Nullwert Form 0 x n ϑ 00 p a exp x 1 d x G n 1 z 2 n 2 z 2 n 1 z 2 n 1 a z 2 n 1 1 a displaystyle int 0 infty x n vartheta 00 pi a exp x 1 mathrm d x Gamma n 1 zeta 2n 2 zeta 2n 1 bigl zeta 2n 1 a zeta 2n 1 1 a bigr nbsp Riemannsche und Dirichletsche Funktionen BearbeitenFur die Riemannsche Zetafunktion die Dirichletsche Lambdafunktion die Dirichletsche Etafunktion und die Dirichletsche Betafunktion existieren folgende Abel Plana Formeln welche im Folgenden tabellarisch zusammengefasst werden Name der Funktion Abel Plana IntegralausdruckRiemannsche Zetafunktion z x x 1 2 x 2 0 sin x arctan y y 2 1 x 2 exp p y sinh p y d y displaystyle zeta x frac x 1 2x 2 int 0 infty frac sin x arctan y y 2 1 x 2 exp pi y sinh pi y mathrm d y nbsp Dirichletsche Lambdafunktion l x x 2 x 2 0 sin x arctan y 2 y 2 1 x 2 exp p y 2 sinh p y 2 d y displaystyle lambda x frac x 2x 2 int 0 infty frac sin x arctan y 2 y 2 1 x 2 exp pi y 2 sinh pi y 2 mathrm d y nbsp Dirichletsche Etafunktion h x 1 2 0 sin x arctan y y 2 1 x 2 sinh p y d y displaystyle eta x frac 1 2 int 0 infty frac sin x arctan y y 2 1 x 2 sinh pi y mathrm d y nbsp Dirichletsche Betafunktion b x 1 2 0 sin x arctan y 2 y 2 1 x 2 sinh p y 2 d y displaystyle beta x frac 1 2 int 0 infty frac sin x arctan y 2 y 2 1 x 2 sinh pi y 2 mathrm d y nbsp Siehe auch BearbeitenEuler MacLaurin SummenformelEinzelnachweise Bearbeiten Abel N H Solution de quelques problemes a l aide d integrales definies Magazin for Naturvidenskaberne Argang I Bind2 Christina 1823 Olver Frank W J Asymptotics and special functions Reprint of the 1974 original AKP Classics A K Peters Ltd Wellesley MA 1997 ISBN 978 1 56881 069 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abel Plana Summenformel amp oldid 239631479