Die dirichletsche Betafunktion geschrieben mit dem griechischen Buchstaben b displaystyle beta ist eine spezielle mathematische Funktion die in der analytischen Zahlentheorie einem Teilgebiet der Mathematik eine Rolle spielt Sie bildet z B die Grundlage fur die analytische Theorie der Verteilung der Primzahlen in den arithmetischen Folgen 4 m 1 displaystyle 4m 1 und 4 m 3 displaystyle 4m 3 1 2 und ist verwandt mit der riemannschen Zeta Funktion Dirichletsche Betafunktion b s Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 1859 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Produktdarstellung 3 Funktionalgleichung 4 Weitere Darstellungen 5 Spezielle Werte 6 Erzeugungsalgorithmus 7 Ableitung 8 Weiteres 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur eine komplexe Zahl s displaystyle s nbsp deren Realteil grosser als 0 ist ist die Beta Funktion definiert uber die Dirichletreihe b s n 0 1 n 2 n 1 s 1 1 3 s 1 5 s 1 7 s 1 9 s displaystyle beta s sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 s 1 frac 1 3 s frac 1 5 s frac 1 7 s frac 1 9 s ldots nbsp Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene H s C R e s gt 0 displaystyle mathbb H s in mathbb C mathrm Re s gt 0 nbsp konvergiert stellt er die Basis fur alle weiteren Darstellungen der Beta Funktion dar Zur Berechnung der Beta Funktion fur alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung Produktdarstellung BearbeitenFur die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung die fur alle komplexen s displaystyle s nbsp deren Realteil grosser als 1 ist konvergiert b s p 1 m o d 4 1 1 p s p 3 m o d 4 1 1 p s displaystyle beta s prod p equiv 1 mathrm mod 4 frac 1 1 p s prod p equiv 3 mathrm mod 4 frac 1 1 p s nbsp Hierbei impliziert p 1 m o d 4 displaystyle p equiv 1 mathrm mod 4 nbsp dass uber alle Primzahlen der Form p 4 m 1 displaystyle p 4m 1 nbsp also p 5 13 17 displaystyle p 5 13 17 nbsp multipliziert wird Analog bedeutet p 3 m o d 4 displaystyle p equiv 3 mathrm mod 4 nbsp dass uber alle Primzahlen welche die Form p 4 m 3 displaystyle p 4m 3 nbsp besitzen also p 3 7 11 displaystyle p 3 7 11 nbsp multipliziert wird Funktionalgleichung BearbeitenFur alle z C displaystyle z in mathbb C nbsp gilt die Funktionalgleichung b 1 z 2 p z sin 1 2 p z G z b z displaystyle beta 1 z left frac 2 pi right z sin left tfrac 1 2 pi z right Gamma z beta z nbsp Hierbei ist G z displaystyle Gamma z nbsp die Gammafunktion Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus Weitere Darstellungen BearbeitenUber die Mellin Transformation der Funktion f x 1 e x e x displaystyle f x tfrac 1 e x e x nbsp erhalt man die Integraldarstellung b s 1 G s 0 x s 1 e x e x d x displaystyle beta s frac 1 Gamma s int limits 0 infty frac x s 1 e x e x mathrm d x nbsp wobei G s displaystyle Gamma s nbsp wieder die Gammafunktion bezeichnet Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhalt man fur alle komplexen s displaystyle s nbsp die Relation b s 4 s z s 1 4 z s 3 4 displaystyle beta s 4 s left zeta left s tfrac 1 4 right zeta left s tfrac 3 4 right right nbsp Eine andere gleichwertige Darstellung fur alle komplexen s displaystyle s nbsp schliesst die transzendente lerchsche Zeta Funktion F displaystyle Phi nbsp ein und lautet b s 2 s F 1 s 1 2 displaystyle beta s 2 s Phi left 1 s tfrac 1 2 right nbsp Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der Abel Plana Formel fur alle Komplexen Zahlen s C displaystyle s in mathbb C nbsp beschrieben werden b s 1 2 0 sin s arctan x 2 x 2 1 s 2 sinh p x 2 d x displaystyle beta s frac 1 2 int 0 infty frac sin s arctan x 2 x 2 1 s 2 sinh pi x 2 mathrm d x nbsp Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor n 0 1 n f n 1 2 f 0 i 0 f i x 2 f i x 2 4 sinh p x 2 d x displaystyle sum limits n 0 infty 1 n f n frac 1 2 f 0 i int limits 0 infty frac f ix 2 f ix 2 4 sinh pi x 2 mathrm d x nbsp f n 1 2 n 1 s displaystyle f n frac 1 2n 1 s nbsp Nach der Eulerschen Formel gilt dieser Zusammenhang i 1 i x 1 s 1 i x 1 s 2 sin s arctan x x 2 1 s 2 displaystyle i biggl frac 1 ix 1 s frac 1 ix 1 s biggr frac 2 sin s arctan x x 2 1 s 2 nbsp Spezielle Werte BearbeitenEinige spezielle Werte der b displaystyle beta nbsp Funktion sind b 0 1 2 displaystyle beta 0 tfrac 1 2 nbsp b 1 arctan 1 p 4 displaystyle beta 1 arctan 1 frac pi 4 nbsp b 2 G displaystyle beta 2 G nbsp b 3 p 3 32 displaystyle beta 3 frac pi 3 32 nbsp b 4 1 768 ps 3 1 4 8 p 4 displaystyle beta 4 frac 1 768 left psi 3 tfrac 1 4 8 pi 4 right nbsp b 5 5 p 5 1536 displaystyle beta 5 frac 5 pi 5 1536 nbsp b 7 61 p 7 184320 displaystyle beta 7 frac 61 pi 7 184320 nbsp Hierbei bezeichnet G displaystyle G nbsp die catalansche Konstante und ps 3 z displaystyle psi 3 z nbsp ist die dritte Polygammafunktion Allgemein gilt fur positive ganze Zahlen k 0 displaystyle k geq 0 nbsp die Darstellung b 2 k 1 1 k E 2 k p 2 k 1 4 k 1 2 k displaystyle beta 2k 1 1 k E 2k pi 2k 1 over 4 k 1 2k nbsp wobei E n displaystyle E n nbsp die n displaystyle n nbsp te Euler Zahl ist Im Fall k 0 displaystyle k leq 0 nbsp gilt b k E k 2 displaystyle beta k E k over 2 nbsp Insbesondere gilt fur naturliche k displaystyle k nbsp b 2 k 1 0 displaystyle beta 2k 1 0 nbsp Erzeugungsalgorithmus BearbeitenZur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln b 2 n 1 1 n m 1 n b 2 m 1 l 2 n 2 2 m displaystyle beta 2n 1 frac 1 n sum m 1 n beta 2m 1 lambda 2n 2 2m nbsp l v 2 v 1 2 v z v displaystyle lambda v frac 2 v 1 2 v zeta v nbsp Die Dirichletsche Lambdafunktion ist das arithmetische Mittel aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion Auf diese Weise konnen kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden b 3 b 1 l 2 p 4 p 2 8 p 3 32 displaystyle beta 3 beta 1 lambda 2 frac pi 4 frac pi 2 8 frac pi 3 32 nbsp b 5 1 2 b 1 l 4 b 3 l 2 1 2 p 4 p 4 96 p 3 32 p 2 8 5 p 5 1536 displaystyle beta 5 frac 1 2 bigl beta 1 lambda 4 beta 3 lambda 2 bigr frac 1 2 bigl frac pi 4 frac pi 4 96 frac pi 3 32 frac pi 2 8 bigr frac 5 pi 5 1536 nbsp b 7 1 3 b 1 l 6 b 3 l 4 b 5 l 2 1 3 p 4 p 6 960 p 3 32 p 4 96 5 p 5 1536 p 2 8 61 p 7 184320 displaystyle beta 7 frac 1 3 bigl beta 1 lambda 6 beta 3 lambda 4 beta 5 lambda 2 bigr frac 1 3 bigl frac pi 4 frac pi 6 960 frac pi 3 32 frac pi 4 96 frac 5 pi 5 1536 frac pi 2 8 bigr frac 61 pi 7 184320 nbsp Ableitung BearbeitenEin Ableitungsausdruck fur alle R e s gt 0 displaystyle mathrm Re s gt 0 nbsp ist gegeben durch b s n 1 1 n 1 ln 2 n 1 2 n 1 s displaystyle beta prime s sum n 1 infty 1 n 1 frac ln 2n 1 2n 1 s nbsp Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind b 1 2 G p 0 583 121 displaystyle beta prime 1 frac 2G pi 0 583121 ldots nbsp b 0 ln G 2 1 4 2 p 2 0 391 594 displaystyle beta prime 0 ln frac Gamma 2 1 4 2 pi sqrt 2 0 391594 ldots nbsp b 1 p 4 g 2 ln 2 3 ln p 4 ln G 1 4 0 192 901 displaystyle beta prime 1 frac pi 4 left gamma 2 ln 2 3 ln pi 4 ln Gamma tfrac 1 4 right 0 192901 ldots nbsp Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der Kummerschen Reihe behandelt vgl Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler Mascheroni Konstante g displaystyle gamma nbsp Ausserdem gilt fur positive ganze Zahlen n displaystyle n nbsp k 1 ln 4 k 1 1 4 k 1 n 4 k 1 1 4 k 1 n b n displaystyle sum k 1 infty ln frac 4k 1 1 4k 1 n 4k 1 1 4k 1 n beta prime n nbsp Weiteres BearbeitenRivoal and Zudilin bewiesen 2003 3 dass mindestens einer der Werte b 2 displaystyle beta 2 nbsp b 4 displaystyle beta 4 nbsp b 6 displaystyle beta 6 nbsp b 8 displaystyle beta 8 nbsp b 10 displaystyle beta 10 nbsp und b 12 displaystyle beta 12 nbsp irrational ist Ausserdem bewiesen Guillera und Sondow 2005 4 folgende Formel 0 1 0 1 ln x y s 1 x 2 y 2 d x d y G s 2 b s 2 displaystyle int limits 0 1 int limits 0 1 frac ln xy s 1 x 2 y 2 mathrm d x mathrm d y Gamma s 2 beta s 2 nbsp Literatur BearbeitenNiels Henrik Abel Solution de quelques problemes a l aide d integrales definies Magazin for Naturvidenskaberne Argang I Bind2 Christina 1823 Olver Frank W J Asymptotics and special functions Reprint of the 1974 original AKP Classics A K Peters Ltd Wellesley MA 1997 ISBN 978 1 56881 069 0Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dirichlet Beta Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Godfrey Harold Hardy E M Wright Einfuhrung in die Zahlentheorie R Oldenbourg Munchen 1958 S 292 arxiv Prime Number Races Tanguy Rivoal Wadim Zudilin Diophantine properties of numbers related to Catalan s constant In Mathematische Annalen Bd 326 2003 Nummer 4 Seiten 705 721 ISSN 0025 5831 vgl PDF des mathematischen Instituts der Universitat Koln Memento vom 13 Januar 2011 im Internet Archive Jesus Guillera Jonathan Sondow Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch s transcendent In Ramanujan Journal An international Journal devoted to the areas of mathematics Bd 16 2008 Nummer 3 Seiten 247 270 ISSN 1382 4090 vgl in arxiv Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichletsche Betafunktion amp oldid 232487312
