Dieser Artikel behandelt eine Folge ganzer Zahlen Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe Eulersche Zahlen Begriffsklarung Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler Zahlen nach Leonhard Euler sind eine Folge E n displaystyle E n ganzer Zahlen die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus sech x 1 cosh x 2 e x e x n 0 E n x n n displaystyle operatorname sech x frac 1 cosh x frac 2 e x e x sum n 0 infty E n frac x n n definiert sind Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler Zahlen E n k displaystyle E n k Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenwerte 2 Eigenschaften 2 1 Asymptotisches Verhalten 2 2 Rekursionsgleichung 2 3 Geschlossene Darstellungen 3 Eulersche Polynome 4 Vorkommen 4 1 Taylorreihen 4 2 Integrale 4 3 Permutationen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseZahlenwerte BearbeitenDie ersten Eulerschen Zahlen E n 0 displaystyle E n neq 0 nbsp lauten n displaystyle n nbsp E n displaystyle E n nbsp 0 12 14 56 618 138510 5052112 270276514 19936098116 1939151214518 240487967544120 370371188237525Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null wahrend diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben Ferner besitzen die positiven Werte mit Ausnahme von E0 bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest 1 bzw Wert 9 Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg halbieren die Indizes sozusagen da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden und definieren ihre Euler Zahlen als verbleibende Folge Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert dass sie alle positiv sind sprich unseren 1 n E 2 n displaystyle 1 n E 2n nbsp entsprechen Eigenschaften BearbeitenAsymptotisches Verhalten Bearbeiten Fur das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt E 2 n 1 n 8 n p 4 n p e 2 n 1 n e 2 4 n p e 2 n 1 2 displaystyle E 2n sim 1 n 8 sqrt frac n pi left frac 4n pi e right 2n 1 n frac sqrt e 2 left frac 4n pi e right 2n frac 1 2 nbsp oder praziser E 2 n 2 n 2 1 n 2 p 2 n 1 displaystyle frac E 2n 2n sim 2 1 n left frac 2 pi right 2n 1 nbsp mit der Aquivalenz Notation Rekursionsgleichung Bearbeiten Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert E 0 1 displaystyle E 0 1 nbsp lautet n N E 1 n E 1 n 0 displaystyle forall n in mathbb N colon quad E 1 n E 1 n 0 nbsp wobei E n displaystyle E n nbsp als E n displaystyle E n nbsp zu interpretieren ist und woraus n N k 0 n 1 1 n k n k E k 0 displaystyle forall n in mathbb N colon quad sum k 0 n left 1 1 n k right n choose k E k 0 nbsp bzw durch Indextransformation die explizite Gestalt n N E n k 1 n 2 n 2 k E n 2 k displaystyle forall n in mathbb N colon quad E n sum k 1 lfloor n 2 rfloor n choose 2k E n 2k nbsp folgt Geschlossene Darstellungen Bearbeiten Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt 1 n N 0 E 2 n 2 n 2 2 n 2 1 n p 2 n 1 k 0 1 k 2 k 1 2 n 1 2 n 2 1 n 2 p 2 n 1 z 2 n 1 1 4 z 2 n 1 3 4 displaystyle forall n in mathbb N 0 colon quad E 2n frac 2n 2 2n 2 1 n pi 2n 1 sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 2n 1 frac 2n 2 1 n 2 pi 2n 1 left zeta 2n 1 tfrac 1 4 zeta 2n 1 tfrac 3 4 right nbsp mittels der Hurwitzschen Zetafunktion z displaystyle zeta nbsp falls n 0 displaystyle n not 0 nbsp ist darstellen Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung dort mit m 1 n 4 die elegante Beziehung E 2 n 4 2 n 1 z 2 n 1 4 displaystyle E 2n 4 2n 1 zeta 2n tfrac 1 4 nbsp aufstellen die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf C 1 displaystyle mathbb C setminus 1 nbsp holomorphen Funktion identifiziert Somit erhalten wir auch E 2 n 4 2 n 1 B 2 n 1 1 4 2 n 1 displaystyle E 2n 4 2n 1 frac B 2n 1 tfrac 1 4 2n 1 nbsp was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli Polynomen B n x displaystyle B n x nbsp und somit zu den Bernoulli Zahlen herstellt Ausserdem gilt E 2 n 1 n 4 n 1 2 n p 2 n 1 b 2 n 1 displaystyle E 2n frac 1 n 4 n 1 2n pi 2n 1 cdot beta 2n 1 nbsp wobei b s displaystyle beta s nbsp die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet Eulersche Polynome BearbeitenNicht zu verwechseln mit den Euler PolynomenDie Eulerschen Polynome E n R R displaystyle text E n colon mathbb R to mathbb R nbsp werden meistens durch ihre erzeugende Funktion 2 e x t e t 1 n 0 E n x t n n displaystyle frac 2e xt e t 1 sum n 0 infty text E n x frac t n n nbsp implizit definiert Die ersten lauten E 0 x 1 displaystyle text E 0 x 1 nbsp E 1 x x 1 2 displaystyle text E 1 x x tfrac 1 2 nbsp E 2 x x 2 x x x 1 displaystyle text E 2 x x 2 x x x 1 nbsp E 3 x x 3 3 2 x 2 1 4 1 4 2 x 1 2 x 2 2 x 1 displaystyle text E 3 x x 3 tfrac 3 2 x 2 tfrac 1 4 tfrac 1 4 2x 1 2x 2 2x 1 nbsp E 4 x x 4 2 x 3 x x x 1 x 2 x 1 displaystyle text E 4 x x 4 2x 3 x x x 1 x 2 x 1 nbsp E 5 x x 5 5 2 x 4 5 2 x 2 1 2 1 2 2 x 1 x 2 x 1 2 displaystyle text E 5 x x 5 tfrac 5 2 x 4 tfrac 5 2 x 2 tfrac 1 2 tfrac 1 2 2x 1 x 2 x 1 2 nbsp E 6 x x 6 3 x 5 5 x 3 3 x x x 1 x 4 2 x 3 2 x 2 3 x 3 displaystyle text E 6 x x 6 3x 5 5x 3 3x x x 1 x 4 2x 3 2x 2 3x 3 nbsp Man kann sie aber auch zu E 0 x 1 displaystyle text E 0 x 1 nbsp und dann fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp uber die Gleichung E n x c x n E n 1 t d t displaystyle text E n x int c x n text E n 1 t text d t nbsp induktiv definieren wobei die untere Integrationsgrenze c displaystyle c nbsp fur ungerades n displaystyle n nbsp 1 2 ist und fur gerades n displaystyle n nbsp Null ist Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp d h E n 1 2 x 1 n E n 1 2 x bzw E n x 1 1 n E n x displaystyle text E n tfrac 1 2 x 1 n text E n tfrac 1 2 x qquad text bzw qquad text E n x 1 1 n text E n x nbsp und ihre Funktionswerte an den Stellen 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp der Beziehung E n 1 2 2 n E n displaystyle text E n tfrac 1 2 2 n E n nbsp und E n 1 0 2 n 1 2 B n n displaystyle text E n 1 0 2 n 1 2 frac B n n nbsp genugen wobei B n displaystyle B n nbsp die Bernoulli Zahl zweiter Art bezeichnet Ferner haben wir die Identitat E n x 1 E n x 2 x n displaystyle text E n x 1 text E n x 2x n nbsp Das Eulersche Polynom E n displaystyle text E n nbsp hat fur n gt 5 displaystyle n gt 5 nbsp weniger als n displaystyle n nbsp reelle Nullstellen So hat zwar E 5 displaystyle text E 5 nbsp funf allerdings zwei doppelte sprich nur drei verschiedene aber schon E 6 displaystyle text E 6 nbsp nur die zwei trivialen Nullstellen bei 0 und bei 1 Sei R n x R E n x 0 displaystyle R n x in mathbb R colon text E n x 0 nbsp die Nullstellenmenge Dann ist 1 2 R n 1 min R n max R n 1 2 R n displaystyle tfrac 1 2 R n 1 leq min R n leq max R n leq tfrac 1 2 R n nbsp wobei im Fall n 5 die Anzahl R 5 displaystyle R 5 nbsp als 5 zu bewerten ist da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezahlt werden mussen und es gilt lim n R n n 2 p e 0 234 2 displaystyle lim n to infty frac R n n frac 2 pi e approx 0 2342 nbsp wobei die Funktion displaystyle cdot nbsp angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt Vorkommen BearbeitenTaylorreihen Bearbeiten Die Folge der Eulerschen Zahlen E n displaystyle E n nbsp tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von sec x 1 cos x 1 cosh i x n 0 1 n E 2 n x 2 n 2 n displaystyle sec x frac 1 cos x frac 1 cosh mathrm i x sum n 0 infty 1 n E 2n frac x 2n 2n nbsp auf Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli Zahlen B n displaystyle B n nbsp was man auch an der Darstellung csch x 1 sinh x n 0 2 2 n B n x n 1 n displaystyle operatorname csch x frac 1 sinh x sum n 0 infty 2 2 n B n frac x n 1 n nbsp erkennt Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans funktion der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp von p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp folgt aus dem Wurzelkriterium das lim sup log E n n n log 2 p displaystyle limsup log left tfrac E n n right sim n log left tfrac 2 pi right nbsp asymptotisch gelten muss Sie treten naturlich auch in den Taylorreihen der hoheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw der Gudermannfunktion auf Integrale Bearbeiten Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf beispielsweise bei dem Integral 0 ln n x 1 x 2 d x E n p 2 n 1 displaystyle int limits 0 infty frac ln n x 1 x 2 dx E n left frac pi 2 right n 1 nbsp Permutationen Bearbeiten Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zahlen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte a 1 a 2 a 2 n displaystyle a 1 a 2 ldots a 2n nbsp so dass diese Permutation kein Tripel a j 1 a j a j 1 displaystyle a j 1 a j a j 1 nbsp mit 1 lt j lt 2 n displaystyle 1 lt j lt 2n nbsp enthalt das geordnet ist Allgemein gilt fur die Anzahl A 2 n displaystyle A 2n nbsp der alternierenden Permutationen von 2 n displaystyle 2n nbsp Elementen die vergleichbar sind A 2 n 2 E 2 n displaystyle A 2n 2 E 2n nbsp wobei der Faktor zwei dadurch entsteht dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation uberfuhren kann Fur eine beliebige also auch ungerade Anzahl n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp gilt A n 2 n a n displaystyle A n 2 n alpha n nbsp mit a 0 a 1 1 displaystyle alpha 0 alpha 1 1 nbsp und a n 1 2 n j 0 n 1 a j a n 1 j displaystyle alpha n frac 1 2n sum j 0 n 1 alpha j alpha n 1 j nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der E 2 n displaystyle E 2n nbsp erhalt Fur ungerades n displaystyle n nbsp werden die Werte A n 2 displaystyle tfrac A n 2 nbsp auch Tangentenzahlen genannt Literatur BearbeitenJ M Borwein P B Borwein K Dilcher Pi Euler Numbers and Asymptotic Expansions AMM V 96 No 8 Oct 1989 pp 681 687Weblinks BearbeitenNIST Digital Library of Mathematical Functions Eric W Weisstein Eulersche Zahlen In MathWorld englisch Folge A122045 in OEISEinzelnachweise Bearbeiten M Abramowitz and I Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover N Y 1964 p 807 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eulersche Zahlen amp oldid 226476132
