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Nullstellenmenge Eine ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches einer Funktion und enthält alle Argumente die auf die

Nullstellenmenge

Eine Nullstellenmenge ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches einer Funktion und enthält alle Argumente, die auf die Null abgebildet werden. Nullstellenmengen finden sich in vielen Teilbereichen der Mathematik. So ist die Bestimmung der Nullstellenmenge einer Funktion sowohl Teil der Schulmathematik als auch Teil der Riemannschen Vermutung und damit eines der Millennium-Probleme.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Funktion mit Definitionsbereich und Zielmenge , wobei ein speziell ausgezeichnetes Nullelement sei. Dann heißt die Menge

die Nullstellenmenge der Funktion .

Bemerkungen Bearbeiten

  • Die Nullstellenmenge enthält alle Nullstellen der Funktion und ist somit genau die Niveaumenge der Funktion zum Wert .
  • Wegen handelt es sich bei der Nullstellenmenge von um einen Wert der zu gehörenden Urbildfunktion. Weil deren Argument hier einelementig ist, handelt es sich bei um die Faser von über .
  • Die Zielmenge muss mindestens die Struktur eines Magmas mit Eins, also einer Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung und einem neutralen Element , besitzen. Beispiele für solche Strukturen sind Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume. In den meisten Fällen entspricht die Zielmenge den reellen oder komplexen Zahlen.
  • Bei einem Gruppenhomomorphismus mit einer (additiv geschriebenen) Gruppe nennt man die Nullstellenmenge von auch den Kern von . Das gilt insbesondere auch für solche Gruppen erweiternde algebraische Strukturen wie zum Beispiel Ringe oder Vektorräume als Zielmengen.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Funktion mit

Varietäten Bearbeiten

Ist ein Körper, der Polynomring in n Veränderlichen über und ist eine Teilmenge, so betrachtet man in der algebraischen Geometrie die Nullstellenmenge von :

Man nennt diese die Varietät von . Dabei handelt es sich um den Durchschnitt der Nullstellenmengen aller Polynomfunktionen von Polynomen aus .

Z-Mengen Bearbeiten

Ist ein topologischer Raum, so heißt eine Teilmenge eine Z-Menge, falls sie die Nullstellenmenge einer stetigen Funktion ist, also falls für eine stetige Funktion gilt. Das Z in Z-Menge kommt vom englischen Wort zero für Null her. Da eine abgeschlossene Menge ist und da Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder abgeschlossen sind, müssen alle Z-Mengen abgeschlossen sein.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, Definition 1.7.
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 4.6.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Nullstellenmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Eine Nullstellenmenge ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches einer Funktion und enthalt alle Argumente die auf die Null abgebildet werden Nullstellenmengen finden sich in vielen Teilbereichen der Mathematik So ist die Bestimmung der Nullstellenmenge einer Funktion sowohl Teil der Schulmathematik als auch Teil der Riemannschen Vermutung und damit eines der Millennium Probleme Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Beispiele 4 Varietaten 5 Z Mengen 6 Einzelnachweise 7 WeblinksDefinition BearbeitenGegeben sei eine Funktion f D Z displaystyle f colon D to Z nbsp mit Definitionsbereich D displaystyle D nbsp und Zielmenge Z displaystyle Z nbsp wobei 0 Z displaystyle 0 in Z nbsp ein speziell ausgezeichnetes Nullelement sei Dann heisst die Menge N x D f x 0 displaystyle N x in D mid f x 0 nbsp die Nullstellenmenge der Funktion f displaystyle f nbsp Bemerkungen BearbeitenDie Nullstellenmenge enthalt alle Nullstellen der Funktion und ist somit genau die Niveaumenge der Funktion zum Wert 0 displaystyle 0 nbsp Wegen N f 1 0 displaystyle N f 1 0 nbsp handelt es sich bei der Nullstellenmenge von f displaystyle f nbsp um einen Wert der zu f displaystyle f nbsp gehorenden Urbildfunktion Weil deren Argument 0 displaystyle 0 nbsp hier einelementig ist handelt es sich bei N displaystyle N nbsp um die Faser von f displaystyle f nbsp uber 0 displaystyle 0 nbsp Die Zielmenge muss mindestens die Struktur eines Magmas mit Eins also einer Menge mit einer zweistelligen Verknupfung und einem neutralen Element 0 displaystyle 0 nbsp besitzen Beispiele fur solche Strukturen sind Gruppen Ringe Korper und Vektorraume In den meisten Fallen entspricht die Zielmenge den reellen oder komplexen Zahlen Bei einem Gruppenhomomorphismus f G H displaystyle f colon G to H nbsp mit einer additiv geschriebenen Gruppe H displaystyle H nbsp nennt man die Nullstellenmenge von f displaystyle f nbsp auch den Kern ker f displaystyle ker f nbsp von f displaystyle f nbsp Das gilt insbesondere auch fur solche Gruppen erweiternde algebraische Strukturen wie zum Beispiel Ringe oder Vektorraume als Zielmengen Beispiele BearbeitenDie Polynomfunktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp mitf x x 2 1 displaystyle f x x 2 1 nbsp dd besitzt die Nullstellenmenge N 1 1 displaystyle N 1 1 nbsp Die Sinusfunktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp mitf x sin x displaystyle f x sin x nbsp dd besitzt die Nullstellenmenge N p k k Z displaystyle N pi k k in mathbb Z nbsp Die Funktion f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp mitf x y x 2 y 2 1 displaystyle f x y x 2 y 2 1 nbsp dd besitzt als Nullstellenmenge den Einheitskreis Varietaten BearbeitenIst K displaystyle K nbsp ein Korper K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp der Polynomring in n Veranderlichen uber K displaystyle K nbsp und ist I K X 1 X n displaystyle I subset K X 1 ldots X n nbsp eine Teilmenge so betrachtet man in der algebraischen Geometrie die Nullstellenmenge von I displaystyle I nbsp V I x 1 x n K n f x 1 x n 0 fur alle f I displaystyle mathfrak V I x 1 ldots x n in K n f x 1 ldots x n 0 text fur alle f in I nbsp Man nennt diese die Varietat von I displaystyle I nbsp 1 Dabei handelt es sich um den Durchschnitt der Nullstellenmengen aller Polynomfunktionen K n K displaystyle K n rightarrow K nbsp von Polynomen aus I displaystyle I nbsp Z Mengen BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum so heisst eine Teilmenge Y X displaystyle Y subset X nbsp eine Z Menge falls sie die Nullstellenmenge einer stetigen Funktion f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nbsp ist also falls Y x X f x 0 displaystyle Y x in X mid f x 0 nbsp fur eine stetige Funktion f displaystyle f nbsp gilt Das Z in Z Menge kommt vom englischen Wort zero fur Null her Da 0 R displaystyle 0 subset mathbb R nbsp eine abgeschlossene Menge ist und da Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder abgeschlossen sind mussen alle Z Mengen abgeschlossen sein 2 Einzelnachweise Bearbeiten Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Kapitel I Definition 1 7 Johann Cigler Hans Christian Reichel Topologie Eine Grundvorlesung Bibliographisches Institut Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 00121 6 BI Hochschultaschenbucher 121 4 6 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Nullstellenmenge Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Zero Set in Mathworld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nullstellenmenge amp oldid 211773780