Gruppe (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Die Drehungen eines Zauberwürfels bilden eine Gruppe.

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.

Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren. Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.

Einführendes Beispiel

Eine der bekanntesten Gruppen bildet die Menge der ganzen Zahlen , die üblicherweise mit bezeichnet wird, zusammen mit der Addition.

Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition erfüllt einige grundlegende Eigenschaften:

• Für zwei ganze Zahlen und ist die Summe wieder eine ganze Zahl. Würde man hingegen zwei ganze Zahlen miteinander dividieren, so wäre das Ergebnis zumeist eine rationale Zahl und keine ganze Zahl mehr. Da dies bei der Addition nicht passieren kann, sagt man, dass die ganzen Zahlen unter der Addition abgeschlossen sind.
• Für alle ganzen Zahlen , und gilt das Assoziativgesetz

In Worten ausgedrückt heißt dies, dass es egal ist, ob man zuerst und oder und addiert, das Ergebnis ist das gleiche. Diese Eigenschaft wird Assoziativität genannt.

• Für jede ganze Zahl gilt

Die Addition mit Null verändert also die Ausgangszahl nicht. Daher nennt man Null das neutrale Element der Addition.

• Für jede ganze Zahl existiert eine ganze Zahl , so dass gilt. Das heißt, zu jeder ganzen Zahl existiert eine ganze Zahl , so dass ihre Summe null ergibt. Die Zahl heißt in diesem Fall das inverse Element von und wird mit notiert.

Diese vier Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen zusammen mit ihrer Addition werden in der Definition der Gruppe auf andere Mengen mit einer passenden Operation verallgemeinert.

Definitionen

Gruppe

Eine Gruppe ist ein Paar bestehend aus einer Menge und einer inneren zweistelligen Verknüpfung auf . Dabei erfüllt die (in Infixnotation geschriebene) Abbildung

die folgenden, Gruppenaxiome genannten, Forderungen:

Für alle , , gilt:       .	(Assoziativität)
Es gibt ein (einziges) neutrales Element , mit dem für alle gilt:       .	(Existenz des neutralen Elements)
Zu jedem existiert ein (einziges) inverses Element       mit .	(Existenz des inversen Elements)

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.

Wenn eine Gruppe ist, heißen die Elemente der Menge Elemente der Gruppe, kurz Gruppenelemente.

Schwache Gruppenaxiome

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für die Existenz des neutralen Elements und der inversen Elemente folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein , so dass gilt:

• Für alle gilt: – hiermit heißt linksneutrales Element.
• Zu jedem existiert ein mit – so ein Element heißt zum Element linksinverses Element (bezüglich des linksneutralen Elements ).

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.

Beweis

Es erfülle die schwachen Gruppenaxiome. Dann existiert zu jedem Gruppenelement ein Linksinverses und besitzt wiederum ein Linksinverses . Also gilt , womit auch ein Rechtsinverses zu ist. Damit gilt dann auch , also ist auch ein rechtsneutrales Element und somit auch eine Gruppe gemäß der stärkeren Axiomatik. ∎

Gruppe als algebraische Struktur

Eine Gruppe kann auch als eine besondere algebraische Struktur definiert werden. Mit den schwachen Gruppenaxiomen erhält man dann:

Eine Gruppe ist ein Quadrupel bestehend aus einer Menge sowie einer assoziativen zweistelligen Verknüpfung auf , einer nullstelligen Verknüpfung und einer einstelligen Verknüpfung auf , sodass für jedes gilt und .

Abelsche Gruppe

→ Hauptartikel: Abelsche Gruppe

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente und gilt .

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente gibt, für die ist, heißt die Gruppe nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Gruppenordnung

Bei einer Gruppe wird die Mächtigkeit auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe ist die Ordnung also einfach die Anzahl der Gruppenelemente.

Ordnung eines Elementes

→ Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Die Ordnung eines Elementes ist definiert durch , wobei das neutrale Element der Gruppe repräsentiert.

Bemerkungen:

• In jeder Gruppe hat genau das neutrale Element die Ordnung 1.
• Für endliche Gruppen gilt:

Anmerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung das Symbol benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für wird die -fache Verknüpfung eines Gruppenelements mit sich selbst als Potenz geschrieben und man definiert sowie .

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung das Symbol benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch symbolisiert. Das zum Gruppenelement inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch , sondern durch symbolisiert. Eine -fache Summe wird hier mit bezeichnet und man setzt sowie . Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für eine Gruppe häufig nur .

Beispiele

Im Folgenden werden einige Beispiele von Gruppen aufgeführt. So werden Gruppen von Zahlen, eine Gruppe mit genau einem Element und Beispiele von zyklischen Gruppen angeführt. Weitere Beispiele zu Gruppen finden sich in der Liste kleiner (endlicher) Gruppen.

Mengen von Zahlen

• Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition bildet eine (abelsche) Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen allerdings keine Gruppe (das inverse Element zu 2 wäre 1/2).
• Die Menge der rationalen Zahlen beziehungsweise die Menge der reellen Zahlen ist zusammen mit der Addition eine Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation sind die Mengen und ebenfalls Gruppen.

Die triviale Gruppe

→ Hauptartikel: Triviale Gruppe

Die Menge, die nur ein Element hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also . Mittels dieser Gleichheit können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Zyklische Gruppen

→ Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

wobei meint und das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

dargestellt werden können.

Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel . Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen , die die Gleichung

erfüllen. Die Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks visualisiert werden. Für ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um .

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt, zwei zyklische Gruppen mit jeweils Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe der ganzen Zahlen.

Symmetrische Gruppen

→ Hauptartikel: Symmetrische Gruppe

Die symmetrische Gruppe besteht aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer -elementigen Menge. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen, das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ist endlich und besitzt die Ordnung . Sie ist für nicht abelsch.

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

• Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Sind nämlich und neutrale Elemente, dann muss sein, da neutral ist, und , da neutral ist. Somit folgt .
• Es gilt die Kürzungsregel: Aus oder mit den Gruppenelementen folgt jeweils . Dies sieht man durch

• Die Gleichung ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist . Ebenso hat die eindeutige Lösung .
• Das zu einem Gruppenelement inverse Element ist eindeutig bestimmt. Wenn und beide invers zu sind dann folgt:

• Es gilt und .
• Für alle Elemente gilt . Dies folgt aus der Gleichungskette

Somit ist zu invers.

Gruppenhomomorphismus

→ Hauptartikel: Gruppenhomomorphismus

Gruppenhomomorphismen sind Abbildungen, die die Gruppenstruktur erhalten. Eine Abbildung

zwischen zwei Gruppen und heißt Gruppenhomomorphismus oder kurz Homomorphismus, falls die Gleichung

für alle Elemente gilt. Ist die Abbildung zusätzlich bijektiv, so heißt sie Gruppenisomorphismus. In diesem Fall nennt man die Gruppen und isomorph zueinander.

Mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen bildet die Klasse aller Gruppen eine Kategorie, die üblicherweise mit Grp oder Gr bezeichnet wird.

Gegengruppe

Zu jeder Gruppe lässt sich die Gegengruppe bilden, indem man bei der Verknüpfung die Operanden gegenüber vertauscht:

Ist abelsch, so ist .

ist die Gegengruppe der Gegengruppe der Gruppe : .

Ein Antihomomorphismus zwischen zwei Gruppen ist ein Homomorphismus bzw. .

Produkte von Gruppen

In der Gruppentheorie werden verschiedene Produkte von Gruppen betrachtet:

• Das direkte Produkt ist durch das kartesische Produkt der Trägermengen zusammen mit der komponentenweisen Verknüpfung gegeben.

• Das semidirekte Produkt ist eine Verallgemeinerung des direkten Produkts, wobei die eine Gruppe auf der zweiten operiert. Es kann auch als inneres semidirektes Produkt zwischen einem Normalteiler und einer Untergruppe einer gegebenen Gruppe realisiert sein.

• Das Kranzprodukt ist ein spezielles semidirektes Produkt.

• Das Komplexprodukt zweier Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist durch paarweise Verknüpfung der Untergruppenelemente gegeben. Dieses Produkt ist allgemeiner auch für zwei beliebige Teilmengen der Gruppe sinnvoll.

• Das freie Produkt stellt das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Gruppen dar.

• Das amalgamierte Produkt ist eine Verallgemeinerung des freien Produkts, bei dem die Elemente einer gemeinsamen Untergruppe miteinander verschmolzen („amalgamiert“) werden.

Einzelnachweise

1. George G. Hall: Applied group theory. American Elsevier, New York 1967, S. 1.
2. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 358. 
3. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11.
4. Damit ist die klammerlose Schreibweise wohldefiniert.
5. Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist ein neutrales Element, dann ist
6. Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist ein zu inverses Element, dann ist
7. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 14. 
8. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11–12.
9. Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 6.
10. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
11. Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n°1; Paris, Hermann, 1970, p.29.
12. Opposite Group. Planet Math, abgerufen am 2. November 2021 (englisch). 

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