www.wikidata.de-de.nina.az

Poincaré Gruppe Die benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Henri Poincaré 1 ist eine spezielle Gruppe

Poincaré-Gruppe

Die Poincaré-Gruppe (benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Henri Poincaré) ist eine spezielle Gruppe in der Mathematik, die Anwendungen in der Physik gefunden hat. In älteren Publikationen wird auch von der "inhomogenen Lorentzgruppe" gesprochen.

Historisches Bearbeiten

Die Poincaré-Gruppe taucht historisch zum ersten Mal bei der Untersuchung der Invarianzen der Elektrodynamik durch Poincaré, Lorentz und andere auf und spielte eine entscheidende Rolle bei der Formulierung der speziellen Relativitätstheorie. Insbesondere wurde die Poincaré-Gruppe nach der Formalisierung der Relativitätstheorie durch Hermann Minkowski zu einer wichtigen mathematischen Struktur in allen relativistischen Theorien, darunter in der Quantenelektrodynamik bzw. Quantenfeldtheorie.

Geometrische Definition Bearbeiten

Die Poincaré-Gruppe ist die affine Invarianzgruppe des pseudo-euklidischen Minkowskiraumes , insbesondere ist der Minkowskiraum bezüglich der Poincaré-Gruppe ein homogener Raum, dessen Geometrie sie im Sinne des Erlanger Programms definiert. Sie unterscheidet sich von der Lorentz-Gruppe, die die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraums ist, durch die Hinzunahme von Translationen. Sie ähnelt daher in ihrer Struktur der euklidischen Gruppe im dreidimensionalen Raum, die alle geometrischen Kongruenzabbildungen enthält. Tatsächlich ist die Euklidische Gruppe als Untergruppe in der Poincaré-Gruppe enthalten. Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Poincaré-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie sogenannte Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.

Algebraische Definition Bearbeiten

Die Poincaré-Gruppe ist das semidirekte Produkt der Lorentzgruppe und der Gruppe der Translationen im . Jedes Element der Poincaré-Gruppe ist also als Paar

darstellbar, und die Gruppenmultiplikation ist durch

gegeben, wobei die Lorentztransformation in ihrer natürlichen Wirkung als Automorphismus auf wirkt.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Die Poincaré-Gruppe ist eine 10-dimensionale nicht-kompakte Liegruppe. Sie ist ein Beispiel einer nicht halbeinfachen Gruppe.

Die Lie-Algebra der Poincaré-Gruppe wird durch die folgenden Relationen definiert:

wobei die vier infinitesimalen Erzeuger der Translationen und die sechs infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Transformationen sind.

Die beiden Casimir-Operatoren der Poincaré-Gruppe, die mit allen Generatoren vertauschen, sind

Physikalisch sind dies das Quadrat des Viererimpulses und das Quadrat des Pauli-Lubanski-Pseudovektors . Der Faktor ist Konvention.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Henri Poincaré: Sur la dynamique de l‘électron. In: Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. Band 21, 1906, S. 129–176 (französisch, wikisource.org).
  2. Hans Joos: Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentzgruppe als Grundlage quantenmechanischer Kinematik. In: Fortschritte der Physik. Band 10, Nr. 3, 1962, S. 65–146, doi:10.1002/prop.2180100302 (wiley.com [abgerufen am 20. April 2023]).
  3. E. Wigner: On unitary representations of the inhomogeneous lorentz group. In: Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. Band 6, März 1989, S. 9–64, doi:10.1016/0920-5632(89)90402-7 (englisch, elsevier.com [abgerufen am 20. April 2023]).
  4. Arthur I. Miller: A Study of Henri Poincaré’s “Sur la Dynamique de l’Électron”. In: Frontiers of Physics: 1900–1911. Birkhäuser Boston, Boston, MA 1973, ISBN 978-0-8176-3203-8, S. 29–150, doi:10.1007/978-1-4684-0548-4_2 (englisch, springer.com [abgerufen am 22. März 2023]).
  5. Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Band 1908, 1908, S. 52–111 (wikisource.org).
  6. Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. In: Mathematische Annalen. Band 68, Nr. 4, Dezember 1910, ISSN 0025-5831, S. 472–525, doi:10.1007/BF01455871 (springer.com [abgerufen am 22. März 2023]).
  7. Steven Weinberg: The Quantum Theory of Fields I. 1. Auflage. Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-67053-1, doi:10.1017/cbo9781139644167 (englisch, cambridge.org [abgerufen am 22. März 2023]).
  8. ↑ Jakob Schwichtenberg: Durch Symmetrie die moderne Physik verstehen: Ein neuer Zugang zu den fundamentalen Theorien. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-53811-1, S. 93–95.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Poincare Gruppe benannt nach dem franzosischen Mathematiker und Physiker Henri Poincare 1 ist eine spezielle Gruppe in der Mathematik die Anwendungen in der Physik gefunden hat In alteren Publikationen wird auch von der inhomogenen Lorentzgruppe gesprochen 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Historisches 2 Geometrische Definition 3 Algebraische Definition 4 Weitere Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseHistorisches BearbeitenDie Poincare Gruppe taucht historisch zum ersten Mal bei der Untersuchung der Invarianzen der Elektrodynamik durch Poincare Lorentz und andere auf und spielte eine entscheidende Rolle bei der Formulierung der speziellen Relativitatstheorie 4 Insbesondere wurde die Poincare Gruppe nach der Formalisierung der Relativitatstheorie durch Hermann Minkowski zu einer wichtigen mathematischen Struktur in allen relativistischen Theorien 5 6 darunter in der Quantenelektrodynamik bzw Quantenfeldtheorie 7 Geometrische Definition BearbeitenDie Poincare Gruppe ist die affine Invarianzgruppe des pseudo euklidischen Minkowskiraumes R 3 1 displaystyle mathbb R 3 1 nbsp insbesondere ist der Minkowskiraum bezuglich der Poincare Gruppe ein homogener Raum dessen Geometrie sie im Sinne des Erlanger Programms definiert Sie unterscheidet sich von der Lorentz Gruppe die die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraums ist durch die Hinzunahme von Translationen Sie ahnelt daher in ihrer Struktur der euklidischen Gruppe im dreidimensionalen Raum die alle geometrischen Kongruenzabbildungen enthalt Tatsachlich ist die Euklidische Gruppe als Untergruppe in der Poincare Gruppe enthalten Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin dass die Poincare Gruppe nicht die Langen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhalt sondern die bezuglich des indefiniten Pseudo Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Langen und Winkel Insbesondere erhalt sie sogenannte Eigenzeitabstande in der speziellen Relativitatstheorie Algebraische Definition BearbeitenDie Poincare Gruppe ist das semidirekte Produkt der Lorentzgruppe O 3 1 displaystyle O 3 1 nbsp und der Gruppe der Translationen im R 3 1 displaystyle mathbb R 3 1 nbsp Jedes Element der Poincare Gruppe ist also als Paar L a L O 3 1 a R 3 1 displaystyle Lambda mathbf a quad Lambda in O 3 1 mathbf a in mathbb R 3 1 nbsp darstellbar und die Gruppenmultiplikation ist durch L a L a L L a L a displaystyle Lambda mathbf a cdot Lambda mathbf a Lambda cdot Lambda mathbf a Lambda mathbf a nbsp gegeben wobei die Lorentztransformation L displaystyle Lambda nbsp in ihrer naturlichen Wirkung als Automorphismus auf R 3 1 displaystyle mathbb R 3 1 nbsp wirkt Weitere Eigenschaften BearbeitenDie Poincare Gruppe ist eine 10 dimensionale nicht kompakte Liegruppe Sie ist ein Beispiel einer nicht halbeinfachen Gruppe Die Lie Algebra der Poincare Gruppe wird durch die folgenden Relationen definiert 8 P m P n 0 M m n P k h m k P n h n k P m M m n M k l h m k M n l h m l M n k h n k M m l h n l M m k displaystyle begin aligned P mu P nu amp 0 M mu nu P kappa amp eta mu kappa P nu eta nu kappa P mu M mu nu M kappa lambda amp eta mu kappa M nu lambda eta mu lambda M nu kappa eta nu kappa M mu lambda eta nu lambda M mu kappa end aligned nbsp wobei P m displaystyle P mu nbsp die vier infinitesimalen Erzeuger der Translationen und M m n displaystyle M mu nu nbsp die sechs infinitesimalen Erzeuger der Lorentz Transformationen sind Die beiden Casimir Operatoren der Poincare Gruppe die mit allen Generatoren vertauschen sind P a P a W a W a 1 4 e a b g d e a n r s P b M g d P n M r s displaystyle begin aligned amp P alpha P alpha amp W alpha W alpha frac 1 4 varepsilon alpha beta gamma delta varepsilon alpha nu rho sigma P beta M gamma delta P nu M rho sigma end aligned nbsp Physikalisch sind dies das Quadrat des Viererimpulses P a P a displaystyle P alpha P alpha nbsp und das Quadrat des Pauli Lubanski Pseudovektors W a W a displaystyle W alpha W alpha nbsp 8 Der Faktor 1 4 displaystyle 1 4 nbsp ist Konvention Literatur BearbeitenSiehe auch Gruppentheorie Theoretische Physik und QuantenfeldtheorieEinzelnachweise Bearbeiten Henri Poincare Sur la dynamique de l electron In Rendiconti del Circolo matematico di Palermo Band 21 1906 S 129 176 franzosisch wikisource org Hans Joos Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentzgruppe als Grundlage quantenmechanischer Kinematik In Fortschritte der Physik Band 10 Nr 3 1962 S 65 146 doi 10 1002 prop 2180100302 wiley com abgerufen am 20 April 2023 E Wigner On unitary representations of the inhomogeneous lorentz group In Nuclear Physics B Proceedings Supplements Band 6 Marz 1989 S 9 64 doi 10 1016 0920 5632 89 90402 7 englisch elsevier com abgerufen am 20 April 2023 Arthur I Miller A Study of Henri Poincare s Sur la Dynamique de l Electron In Frontiers of Physics 1900 1911 Birkhauser Boston Boston MA 1973 ISBN 978 0 8176 3203 8 S 29 150 doi 10 1007 978 1 4684 0548 4 2 englisch springer com abgerufen am 22 Marz 2023 Hermann Minkowski Die Grundgleichungen fur die elektromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern In Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen Band 1908 1908 S 52 111 wikisource org Hermann Minkowski Die Grundgleichungen fur die elektromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern In Mathematische Annalen Band 68 Nr 4 Dezember 1910 ISSN 0025 5831 S 472 525 doi 10 1007 BF01455871 springer com abgerufen am 22 Marz 2023 Steven Weinberg The Quantum Theory of Fields I 1 Auflage Cambridge University Press 1995 ISBN 978 0 521 67053 1 doi 10 1017 cbo9781139644167 englisch cambridge org abgerufen am 22 Marz 2023 a b Jakob Schwichtenberg Durch Symmetrie die moderne Physik verstehen Ein neuer Zugang zu den fundamentalen Theorien 1 Auflage Springer Spektrum 2017 ISBN 978 3 662 53811 1 S 93 95 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poincare Gruppe amp oldid 233010396