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Pauli Lubanski Pseudovektor Der W μ displaystyle W mu ist nach Wolfgang Pauli und Józef Lubański benannt Er tritt in der

Pauli-Lubanski-Pseudovektor

Der Pauli-Lubanski-Pseudovektor ist nach Wolfgang Pauli und Józef Lubański benannt. Er tritt in der speziellen Relativitätstheorie und der zugehörigen Quantentheorie auf. Sein Quadrat ist bei massiven Teilchen das (negative) Quadrat ihres Spins mal dem Quadrat ihrer Masse. Bei masselosen Teilchen ist er dem Viererimpuls mit einem Faktor proportional, der die Helizität des Teilchens ist.

Der Pauli-Lubanski-Pseudovektor ist definiert als

wobei

Die Komponenten des Pauli-Lubanski-Pseudovektors können auch als

geschrieben werden, wobei der Drehimpulsoperator und ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Weil das Levi-Civita-Symbol total antisymmetrisch ist, ist der Pauli-Lubanski-Pseudovektor senkrecht auf dem Viererimpuls

und vertauscht mit ihm

Mit dem Drehimpulstensor hat der Pauli-Lubanski-Pseudovektor die Kommutatorrelation

wobei der metrische Tensor ist, und mit sich selbst

Daher vertauscht das Quadrat des Pauli-Lubanski-Pseudovektors mit allen Erzeugenden und der Poincaré-Gruppe. Also ist ein Casimir-Operator der Algebra dieser Erzeugenden. Insbesondere sind alle Impulswellenfunktionen eines Teilchens Eigenfunktionen von mit demselben Eigenwert. Ebenso ist das Quadrat seines Impulses ein Casimir-Operator. Die Eigenwerte von beiden bestimmen die Masse und den Spin des Teilchens, oder, wenn die Masse verschwindet, seine Helizität.

Wirkung auf Einteilchen-Zustände Bearbeiten

Massive Teilchen Bearbeiten

Für ein massives Teilchen mit Masse gibt es Zustände, deren Impulswellenfunktion bei nicht verschwinden. Dort gilt

wobei der Spin des Teilchens ist.

Als Casimir-Operator wirkt auf jeder irreduziblen Darstellung der Poincaré-Gruppe nach dem Lemma von Schur als Vielfaches der .

Folglich gilt nicht nur bei , sondern für alle Impulse und für jede Wellenfunktion des Teilchens.

Daher ist das Quadrat des Spins.

Masselose Teilchen Bearbeiten

Für ein masseloses Teilchen mit gibt es Zustände, deren Impulswellenfunktionen bei nicht verschwinden. Dort gilt

Der Casimir-Operator ist also für alle Impulse und für alle masselose Zustände nicht-positiv.

Allerdings enthalten masselose Darstellungen der Poincaré-Gruppe mit unendlich viele Helizitäten , oder . Solche Teilchen (irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe) sind nie beobachtet worden und ergäben eine unendliche Wärmekapazität jedes Hohlraums. Also ist auf physikalischen, masselosen Teilchen , so wie es im Grenzfall massiver Teilchen bei festgehaltenem Spin gilt. Aus der expliziten Form der Erzeugenden folgt für alle Wellenfunktionen

zunächst bei . Wegen Lorentzinvarianz gilt dies aber ebenso bei jedem nicht verschwindenden Impuls des Vorwärtslichtkegels.

Der Faktor ist die Helizität des Teilchens.

Literatur Bearbeiten

  • Edouard B. Manoukian: Quantum Field Theory I: Foundations and Abelian and Non-Abelian Gauge Theories. Springer, 2016, ISBN 978-3-319-30938-5, S. 141–146.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Pauli Lubanski Pseudovektor W m displaystyle W mu ist nach Wolfgang Pauli und Jozef Lubanski benannt Er tritt in der speziellen Relativitatstheorie und der zugehorigen Quantentheorie auf Sein Quadrat ist bei massiven Teilchen das negative Quadrat ihres Spins mal dem Quadrat ihrer Masse Bei masselosen Teilchen ist er dem Viererimpuls mit einem Faktor proportional der die Helizitat des Teilchens ist Der Pauli Lubanski Pseudovektor ist definiert als W m 1 2 e m n r s P n M r s displaystyle W mu frac 1 2 varepsilon mu nu rho sigma P nu M rho sigma wobei e displaystyle varepsilon das Levi Civita Symbol P displaystyle P den Impulsoperator und M displaystyle M den Drehimpulstensor bezeichnen Die Komponenten des Pauli Lubanski Pseudovektors konnen auch als W 0 P J W P 0 J P N displaystyle W 0 vec P cdot vec J vec W P 0 vec J vec P times vec N geschrieben werden wobei J displaystyle vec J der Drehimpulsoperator und N k M 0 k displaystyle N k M 0k ist Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Wirkung auf Einteilchen Zustande 2 1 Massive Teilchen 2 2 Masselose Teilchen 3 LiteraturEigenschaften BearbeitenWeil das Levi Civita Symbol total antisymmetrisch ist ist der Pauli Lubanski Pseudovektor senkrecht auf dem Viererimpuls P m W m 0 displaystyle P mu W mu 0 nbsp und vertauscht mit ihm P m W n 0 displaystyle P mu W nu 0 nbsp Mit dem Drehimpulstensor hat der Pauli Lubanski Pseudovektor die Kommutatorrelation M m n W r i g m r W n g n r W m displaystyle M mu nu W rho mathrm i left g mu rho W nu g nu rho W mu right nbsp wobei g displaystyle g nbsp der metrische Tensor ist und mit sich selbst W m W n i e m n r s W r P s displaystyle W mu W nu mathrm i varepsilon mu nu rho sigma W rho P sigma nbsp Daher vertauscht das Quadrat des Pauli Lubanski Pseudovektors W 2 W m W m displaystyle W 2 W mu W mu nbsp mit allen Erzeugenden P m displaystyle P mu nbsp und M m n displaystyle M mu nu nbsp der Poincare Gruppe Also ist W 2 displaystyle W 2 nbsp ein Casimir Operator der Algebra dieser Erzeugenden Insbesondere sind alle Impulswellenfunktionen eines Teilchens PS p PS p displaystyle Psi p mapsto Psi p nbsp Eigenfunktionen von W 2 displaystyle W 2 nbsp mit demselben Eigenwert Ebenso ist das Quadrat seines Impulses P 2 displaystyle P 2 nbsp ein Casimir Operator Die Eigenwerte von beiden bestimmen die Masse und den Spin des Teilchens oder wenn die Masse verschwindet seine Helizitat Wirkung auf Einteilchen Zustande BearbeitenMassive Teilchen Bearbeiten Fur ein massives Teilchen mit Masse m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp gibt es Zustande deren Impulswellenfunktion PS displaystyle Psi nbsp bei p m 0 0 0 displaystyle underline p bigl m 0 0 0 bigr nbsp nicht verschwinden Dort gilt W 2 PS p m 2 J 2 PS p m 2 s s 1 PS p displaystyle W 2 Psi underline p m 2 vec J 2 Psi underline p m 2 s s 1 Psi underline p nbsp wobei s displaystyle s nbsp der Spin des Teilchens ist Als Casimir Operator wirkt W 2 displaystyle W 2 nbsp auf jeder irreduziblen Darstellung der Poincare Gruppe nach dem Lemma von Schur als Vielfaches der 1 displaystyle 1 nbsp Folglich gilt W 2 PS m 2 s s 1 PS displaystyle W 2 Psi m 2 s s 1 Psi nbsp nicht nur bei p displaystyle underline p nbsp sondern fur alle Impulse p displaystyle p nbsp und fur jede Wellenfunktion des Teilchens Daher ist W 2 m 2 displaystyle W 2 m 2 nbsp das Quadrat des Spins Masselose Teilchen Bearbeiten Fur ein masseloses Teilchen mit m 0 displaystyle m 0 nbsp gibt es Zustande deren Impulswellenfunktionen PS displaystyle Psi nbsp bei p E 0 0 E displaystyle underline p bigl E 0 0 E bigr nbsp nicht verschwinden Dort gilt W 2 PS p E 2 J 1 N 2 2 PS J 2 N 1 2 PS p displaystyle W 2 Psi underline p E 2 Bigl J 1 N 2 2 Psi J 2 N 1 2 Psi Bigr underline p nbsp Der Casimir Operator W 2 displaystyle W 2 nbsp ist also fur alle Impulse p displaystyle p nbsp und fur alle masselose Zustande nicht positiv Allerdings enthalten masselose Darstellungen der Poincare Gruppe mit W 2 lt 0 displaystyle W 2 lt 0 nbsp unendlich viele Helizitaten h displaystyle h nbsp h Z displaystyle h mathbb Z nbsp oder h Z 1 2 displaystyle h mathbb Z 1 2 nbsp Solche Teilchen irreduzible Darstellungen der Poincare Gruppe sind nie beobachtet worden und ergaben eine unendliche Warmekapazitat jedes Hohlraums Also ist auf physikalischen masselosen Teilchen W 2 0 displaystyle W 2 0 nbsp so wie es im Grenzfall m 0 displaystyle m rightarrow 0 nbsp massiver Teilchen bei festgehaltenem Spin gilt Aus der expliziten Form der Erzeugenden M m n displaystyle M mu nu nbsp folgt fur alle Wellenfunktionen W m h P m displaystyle W mu hP mu nbsp zunachst bei p displaystyle underline p nbsp Wegen Lorentzinvarianz gilt dies aber ebenso bei jedem nicht verschwindenden Impuls p displaystyle p nbsp des Vorwartslichtkegels Der Faktor h P J P displaystyle h vec P vec J vec P nbsp ist die Helizitat des Teilchens Literatur BearbeitenEdouard B Manoukian Quantum Field Theory I Foundations and Abelian and Non Abelian Gauge Theories Springer 2016 ISBN 978 3 319 30938 5 S 141 146 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pauli Lubanski Pseudovektor amp oldid 231790402