Der Impulsoperator p displaystyle hat p ist in der Quantenmechanik der Operator zur Impulsmessung von Teilchen In der Ortsdarstellung ist der Impulsoperator in einer Dimension gegeben durch p x i ℏ x ℏ i x displaystyle hat p x mathrm i hbar frac partial partial x frac mathrm hbar i frac partial partial x Dabei bezeichnet i displaystyle mathrm i die Imaginare Einheit ℏ displaystyle hbar die reduzierte Planck Konstante und x displaystyle frac partial partial x die partielle Ableitung in Richtung der Ortskoordinate x displaystyle x Mit dem Nabla Operator displaystyle nabla erhalt man in drei Dimensionen den Vektor p i ℏ displaystyle hat mathbf p mathrm i hbar nabla Der physikalische Zustand PS displaystyle Psi eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehorigen Vektor eines Hilbertraumes H displaystyle mathcal H gegeben Dieser Zustand wird folglich in der Bra Ket Notation durch den Vektor PS displaystyle Psi rangle beschrieben Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H displaystyle mathcal H dargestellt Speziell ist der Impuls Operator die Zusammenfassung der drei Observablen p p 1 p 2 p 3 displaystyle hat mathbf p hat p 1 hat p 2 hat p 3 so dass E p j PS p j PS j 1 2 3 displaystyle E hat p j langle Psi hat p j Psi rangle quad j 1 2 3 der Mittelwert Erwartungswert der Messergebnisse der j ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand PS displaystyle Psi ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Eigenschaften 2 Warum ist der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition und Eigenschaften BearbeitenBei der kanonischen Quantisierung deutet man die Phasenraumkoordinaten also den Ort x displaystyle x nbsp und den Impuls p displaystyle p nbsp des klassischen Systems als selbstadjungierte Operatoren eines Hilbertraums und fordert fur diese Orts und Impulsoperatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen x i p j i ℏ d i j x i x j 0 p i p j i j 1 2 3 displaystyle hat x i hat p j mathrm i hbar delta ij quad hat x i hat x j 0 hat p i hat p j quad i j in 1 2 3 nbsp dd in Analogie zu den Poisson Klammern der Hamiltonschen Formulierung x i p j d i j x i x j 0 p i p j displaystyle x i p j delta ij quad x i x j 0 p i p j nbsp dd Der Faktor ℏ displaystyle hbar nbsp ist aus Dimensionsgrunden erforderlich denn Ort mal Impuls hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung Die imaginare Einheit i displaystyle rm i nbsp muss auftreten da x i displaystyle hat x i nbsp und p j displaystyle hat p j nbsp selbstadjungiert sind und ihr Kommutator daher bei Adjunktion sein Vorzeichen wechselt Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen folgt dass die drei Komponenten des Impulses gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum Bereich der moglichen Messwerte aus dem gesamten Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp besteht Die moglichen Impulse sind also nicht quantisiert sondern kontinuierlich Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert Der Hilbertraum H L 2 R 3 C displaystyle mathcal H L 2 mathbb R 3 mathbb C nbsp ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp jeder Zustand PS displaystyle Psi nbsp ist durch eine Ortswellenfunktion ps x displaystyle psi mathbf x nbsp gegeben Die Ortsoperatoren x x 1 x 2 x 3 displaystyle hat mathbf x hat x 1 hat x 2 hat x 3 nbsp sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen d h der Ortsoperator x i displaystyle hat x i nbsp wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x i displaystyle x i nbsp x i ps x x i ps x displaystyle hat x i psi mathbf x x i psi mathbf x nbsp dd Der mathematische Satz von Stone und von Neumann 1 besagt dann dass bei geeigneter Wahl von Phasen der Impulsoperator der in den kanonischen Vertauschungsrelationen auftritt auf Ortswellenfunktionen als Differentialoperator wirkt p j ps x i ℏ x j ps x displaystyle hat p j psi mathbf x rm i hbar left frac partial partial x j psi right mathbf x nbsp dd Sein Erwartungswert ist E p j PS p j PS ps x i ℏ x j ps x d 3 x displaystyle E hat p j langle Psi hat p j Psi rangle int overline psi mathbf x left mathrm i hbar frac partial partial x j psi mathbf x right mathrm d 3 x nbsp dd In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf quadratintegrierbare Impulswellenfunktionen ps p displaystyle tilde psi mathbf p nbsp p j ps p p j ps p displaystyle hat p j tilde psi mathbf p p j tilde psi mathbf p nbsp dd und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator x i ps p i ℏ p i ps p displaystyle hat x i tilde psi mathbf p mathrm i hbar left frac partial partial p i tilde psi right mathbf p nbsp dd Die Orts und Impulsoperatoren sind Linearkombinationen von Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren x i l i a i a i 2 p j ℏ l j a j a j 2 i displaystyle hat x i l i frac a i a i dagger sqrt 2 quad hat p j frac hbar l j frac a j a j dagger sqrt 2 mathrm i nbsp dd Dabei sind l 1 l 2 l 3 displaystyle l 1 l 2 l 3 nbsp frei wahlbare Langen grosser Null und die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren genugen den kanonischen Vertauschungsrelationen a i a j d i j a i a j 0 a i a j i j 1 2 3 displaystyle a i a j dagger delta ij quad a i a j 0 a i dagger a j dagger quad i j in 1 2 3 nbsp dd Warum ist der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator BearbeitenNach dem Noether Theorem gehort zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgrosse Umgekehrt impliziert jede Erhaltungsgrosse die Existenz einer mindestens infinitesimalen Symmetrie der Wirkung Beispielsweise ist der Impuls genau dann erhalten wenn die Wirkung translationsinvariant ist In der Hamiltonschen Formulierung erzeugt die Erhaltungsgrosse die Symmetrietransformation im Phasenraum durch ihre Poisson Klammer der Impuls erzeugt Verschiebungen Auf eine Wellenfunktion ps displaystyle psi nbsp angewendet ergibt jede Verschiebung um a displaystyle a nbsp die verschobene Funktion T a ps displaystyle T a psi nbsp die an jeder Stelle x displaystyle x nbsp den Wert hat den ps displaystyle psi nbsp am Urbild x a displaystyle x a nbsp hatte T a ps x ps x a n 0 1 n a x n ps exp a x ps displaystyle T a psi x psi x a sum n 0 infty frac 1 n left a frac partial partial x right n psi exp left a frac partial partial x right psi nbsp also uber Taylorreihe zu einer formalen Exponentialfunktion Der infinitesimale Erzeuger dieser einparametrigen Schar von Verschiebungen definiert also bis auf einen Faktor i ℏ displaystyle mathrm i hbar nbsp den Impuls das heisst der Impuls p x displaystyle hat p x nbsp erfullt definitionsgemass T a ps exp a x ps exp i a p x ℏ ps displaystyle T a psi exp left a frac partial partial x right psi exp left rm i a frac hat p x hbar right psi nbsp Dabei tritt der Faktor ℏ displaystyle hbar nbsp aus Dimensionsgrunden auf denn das Produkt von Impuls und Ort hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung Die imaginare Einheit i displaystyle mathrm i nbsp ist erforderlich da T a displaystyle T a nbsp ein unitarer Operator ist und der Impuls selbstadjungiert sein soll Leitet man die Gleichung exp i p j a j ℏ ps x ps x a displaystyle left exp left rm i frac hat p j a j hbar right psi right x psi x a nbsp nach a j displaystyle a j nbsp bei a 0 displaystyle a 0 nbsp ab so ergibt sich der Impulsoperator als Ableitung nach dem Ort p j ps x i ℏ a j a 0 ps x a i ℏ x j ps x displaystyle hat p j psi x left mathrm i hbar frac partial partial a j right a 0 psi x a mathrm i hbar frac partial partial x j psi x nbsp Dass der Impulsoperator im Ortsraum diese Form annimmt lasst sich auch ohne die Kenntnis des zugehorigen unitaren Operators T a displaystyle T a nbsp wie folgt aus dem Noether Theorem ablesen Man rekonstruiert zunachst aus der Schrodingergleichung die zugehorige Lagrange Dichte und bestimmt dann explizit den bei einer infinitesimalen Verschiebung der Wellenfunktion erhaltenen Erwartungswert Literatur BearbeitenTorsten Fliessbach Quantenmechanik Lehrbuch zur Theoretischen Physik III Spektrum Akademischer Verlag 2008 ISBN 978 3 8274 2020 6 Richard Feynman Feynman Vorlesungen uber Physik Bd 3 Quantenmechanik Oldenbourg 2007 ISBN 978 3 486 58109 6 Einzelnachweise Bearbeiten siehe z B die Originalarbeit von John von Neumann 1931 Die Eindeutigkeit der Schrodingerschen Operatoren In eudml org Abgerufen am 9 April 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Impulsoperator amp oldid 236611507
