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Unitärer Operator Ein unitärer Operator ist in der Mathematik ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträum

Unitärer Operator

Ein unitärer Operator ist in der Mathematik ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Unitäre Operatoren sind damit spezielle orthogonale oder unitäre Abbildungen und stets normerhaltend, abstandserhaltend, beschränkt und, falls beide Hilberträume gleich sind, normal. Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator. Die Eigenwerte eines unitären Operators in einem Hilbertraum haben alle den Betrag eins. Unitäre Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension können nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch unitäre Matrizen dargestellt werden. Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Funktionenräumen sind die Fouriertransformation und die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

Definition Bearbeiten

Ein unitärer Operator ist ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen und , sodass

für alle Vektoren gilt. Ein unitärer Operator ist demnach ein Isomorphismus zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Ein unitärer Operator zwischen zwei reellen Hilberträumen wird gelegentlich auch als orthogonaler Operator bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

Im Folgenden werden die Zusätze bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

Grundeigenschaften Bearbeiten

Jeder unitäre Operator stellt eine unitäre Abbildung (im reellen Fall orthogonale Abbildung) dar. Die Linearität folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden. Ein unitärer Operator erhält weiterhin die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt, es gilt

und damit auch den Abstand zweier Vektoren. Die Abbildung stellt somit eine Isometrie dar und die beiden Räume und sind daher isometrisch isomorph. Die Eigenwerte eines unitären Operators haben alle den Betrag eins. Allgemeiner liegt das Spektrum eines unitären Operators im Rand des Einheitskreises.

Operatornorm Bearbeiten

Für die Operatornorm eines unitären Operators gilt aufgrund der Normerhaltung

Ein unitärer Operator ist demnach immer beschränkt und damit stetig.

Inverse Bearbeiten

Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator , also

denn es gilt

Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators überein, dann ist dieser unitär, denn es gilt

Normalität Bearbeiten

Aufgrund der Übereinstimmung von Inverser und Adjungierter ist ein unitärer Operator im Fall stets normal, das heißt

Für unitäre Operatoren auf komplexen Hilberträumen und selbstadjungierte unitäre Operatoren auf reellen Hilberträumen gilt damit der Spektralsatz.

Basistransformation Bearbeiten

Ist ein unitärer Operator und ist eine Hilbertbasis (ein vollständiges Orthonormalsystem) von , dann ist eine Hilbertbasis von , denn es gilt

Sind umgekehrt und Hilbertbasen von und und ist linear, so folgt daraus die Unitarität von , denn man erhält

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21381-3.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein unitarer Operator ist in der Mathematik ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilbertraumen der das Skalarprodukt erhalt Unitare Operatoren sind damit spezielle orthogonale oder unitare Abbildungen und stets normerhaltend abstandserhaltend beschrankt und falls beide Hilbertraume gleich sind normal Der inverse Operator eines unitaren Operators ist gleich seinem adjungierten Operator Die Eigenwerte eines unitaren Operators in einem Hilbertraum haben alle den Betrag eins Unitare Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorraumen gleicher Dimension konnen nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch unitare Matrizen dargestellt werden Wichtige Beispiele fur unitare Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Funktionenraumen sind die Fouriertransformation und die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Grundeigenschaften 2 2 Operatornorm 2 3 Inverse 2 4 Normalitat 2 5 Basistransformation 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenEin unitarer Operator ist ein bijektiver linearer Operator T V W displaystyle T colon V to W nbsp zwischen zwei Hilbertraumen V V displaystyle V langle cdot cdot rangle V nbsp und W W displaystyle W langle cdot cdot rangle W nbsp sodass T u T v W u v V displaystyle langle Tu Tv rangle W langle u v rangle V nbsp fur alle Vektoren u v V displaystyle u v in V nbsp gilt Ein unitarer Operator ist demnach ein Isomorphismus zwischen zwei Hilbertraumen der das Skalarprodukt erhalt Ein unitarer Operator zwischen zwei reellen Hilbertraumen wird gelegentlich auch als orthogonaler Operator bezeichnet Eigenschaften BearbeitenIm Folgenden werden die Zusatze V W displaystyle V W nbsp bei den Skalarprodukten weggelassen da durch das Argument klar wird um welchen Raum es sich jeweils handelt Grundeigenschaften Bearbeiten Jeder unitare Operator stellt eine unitare Abbildung im reellen Fall orthogonale Abbildung dar Die Linearitat folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden Ein unitarer Operator erhalt weiterhin die Skalarproduktnorm eines Vektors das heisst es gilt T v T v T v v v v displaystyle Tv sqrt langle Tv Tv rangle sqrt langle v v rangle v nbsp und damit auch den Abstand zweier Vektoren Die Abbildung T displaystyle T nbsp stellt somit eine Isometrie dar und die beiden Raume V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp sind daher isometrisch isomorph Die Eigenwerte eines unitaren Operators T V V displaystyle T colon V to V nbsp haben alle den Betrag eins Allgemeiner liegt das Spektrum eines unitaren Operators im Rand des Einheitskreises Operatornorm Bearbeiten Fur die Operatornorm eines unitaren Operators T displaystyle T nbsp gilt aufgrund der Normerhaltung T sup v 1 T v sup v 1 v 1 displaystyle T sup v 1 Tv sup v 1 v 1 nbsp Ein unitarer Operator ist demnach immer beschrankt und damit stetig Inverse Bearbeiten Der inverse Operator T 1 displaystyle T 1 nbsp eines unitaren Operators T displaystyle T nbsp ist gleich seinem adjungierten Operator T displaystyle T ast nbsp also T 1 T displaystyle T 1 T ast nbsp denn es gilt u T v T u v T u T T 1 v u T 1 v displaystyle langle u T ast v rangle langle Tu v rangle langle Tu TT 1 v rangle langle u T 1 v rangle nbsp Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators uberein dann ist dieser unitar denn es gilt T u T v u T T v u T 1 T v u v displaystyle langle Tu Tv rangle langle u T ast Tv rangle langle u T 1 Tv rangle langle u v rangle nbsp Normalitat Bearbeiten Aufgrund der Ubereinstimmung von Inverser und Adjungierter ist ein unitarer Operator im Fall V W displaystyle V W nbsp stets normal das heisst T T T T I displaystyle T ast T TT ast I nbsp Fur unitare Operatoren auf komplexen Hilbertraumen und selbstadjungierte unitare Operatoren auf reellen Hilbertraumen gilt damit der Spektralsatz Basistransformation Bearbeiten Ist T displaystyle T nbsp ein unitarer Operator und ist v i i I displaystyle v i i in I nbsp eine Hilbertbasis ein vollstandiges Orthonormalsystem von V displaystyle V nbsp dann ist T v i i I displaystyle Tv i i in I nbsp eine Hilbertbasis von W displaystyle W nbsp denn es gilt T v i T v j v i v j d i j displaystyle langle Tv i Tv j rangle langle v i v j rangle delta ij nbsp Sind umgekehrt v i i I displaystyle v i i in I nbsp und T v i i I displaystyle Tv i i in I nbsp Hilbertbasen von V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp und ist T displaystyle T nbsp linear so folgt daraus die Unitaritat von T displaystyle T nbsp denn man erhalt T u T v T i l i v i T j m j v j i l i T v i j m j T v j i j l i m j T v i T v j i j l i m j d i j i j l i m j v i v j i l i v i j m j v j u v displaystyle begin aligned langle Tu Tv rangle amp big langle T big textstyle sum i lambda i v i big T big textstyle sum j mu j v j big big rangle big langle textstyle sum i lambda i Tv i textstyle sum j mu j Tv j big rangle textstyle sum i textstyle sum j lambda i bar mu j big langle Tv i Tv j big rangle amp textstyle sum i textstyle sum j lambda i bar mu j delta ij textstyle sum i textstyle sum j lambda i bar mu j langle v i v j rangle big langle textstyle sum i lambda i v i textstyle sum j mu j v j big rangle langle u v rangle end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenHilbert Schmidt Operator Hilbertraum DarstellungLiteratur BearbeitenHans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis Eine anwendungsorientierte Einfuhrung 5 Auflage Springer 2008 ISBN 3 540 34186 2 Dirk Werner Funktionalanalysis 5 Auflage Springer 2005 ISBN 3 540 21381 3 Weblinks BearbeitenV I Sobolev Unitary operator In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Unitary In MathWorld englisch asteroid Unitary In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unitarer Operator amp oldid 213144591