Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Abstand Begriffsklarung aufgefuhrt Der Abstand auch Entfernung oder Distanz zweier Punkte ist die Lange der kurzesten Verbindung dieser Punkte Abstand zweier Punkte d A B displaystyle d A B ist die Lange der kurzesten Verbindung von A A nach B BIm euklidischen Raum ist dies die Lange der Strecke zwischen den beiden Punkten Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Lange der kurzesten Verbindungslinie der beiden Objekte also der Abstand der beiden einander nachstliegenden Punkte Werden nicht die einander nachstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der geometrischen Schwerpunkte Die Metrik ist der Teil der Mathematik der sich mit der Abstandsmessung beschaftigt Der Abstand die Entfernung die Distanz zwischen zwei Werten einer Grosse oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet das heisst indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird Der gemessene Abstand ist unabhangig vom gewahlten Referenzpunkt des Koordinatensystems nicht aber von dessen Skalierung siehe auch Massstabsfaktor In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum oder allgemeiner in einem metrischen Raum kann uber die Hausdorff Metrik definiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Euklidischer Abstand 1 1 Abstand in der Ebene 1 1 1 Abstand zwischen Punkt und Gerade 1 2 Abstand im dreidimensionalen Raum 1 2 1 Abstand zwischen Punkt und Gerade 1 2 2 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden 1 2 3 Abstand zwischen Punkt und Ebene 2 Andere Definitionen 2 1 Manhattan Metrik 3 Abstandsmessung auf gekrummten Flachen 4 Dichtestes Punktpaar 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 Anmerkungen 8 EinzelnachweiseEuklidischer Abstand Bearbeiten Hauptartikel Euklidischer Abstand Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand euklidischer Abstand zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras Der Abstand zweier Punkte in der Ebened A B i 1 n a i b i 2 wobei A a 1 a n R n und B b 1 b n R n displaystyle d A B sqrt sum i 1 n a i b i 2 text wobei A a 1 dotsc a n in mathbb R n text und B b 1 dotsc b n in mathbb R n 1 Fur die Ebene A B R 2 displaystyle A B in mathbb R 2 d A B a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 displaystyle d A B sqrt a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 Fur den dreidimensionalen Raum A B R 3 displaystyle A B in mathbb R 3 d A B a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 3 b 3 2 displaystyle d A B sqrt a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 3 b 3 2 2 Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Flache ist der Abstand vom Fusspunkt des darauf gefallten Lots der von einer gekrummten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten Berechnungsmoglichkeiten fur die Abstande von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgefuhrt Abstand in der Ebene Bearbeiten Abstand zwischen Punkt und Gerade Bearbeiten Beispiel Abstand d P g displaystyle d P g zwischen Punkt P P und Geraden g g in der Ebene Der Abstand zwischen dem Punkt P x 0 y 0 displaystyle P x 0 y 0 und der Geraden g g mit der Koordinatenform a x b y c 0 displaystyle ax by c 0 betragt d P g a x 0 b y 0 c a 2 b 2 displaystyle d P g frac ax 0 by 0 c sqrt a 2 b 2 Der Punkt auf der Geraden g g der x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 am nachsten liegt hat die Koordinaten x b b x 0 a y 0 a c a 2 b 2 y a b x 0 a y 0 b c a 2 b 2 displaystyle left x frac b bx 0 ay 0 ac a 2 b 2 y frac a bx 0 ay 0 bc a 2 b 2 right Wenn die Gerade g g durch die Punkte x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 und x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 verlauft ist a y 2 y 1 displaystyle a y 2 y 1 b x 1 x 2 displaystyle b x 1 x 2 c x 2 y 1 x 1 y 2 displaystyle c x 2 y 1 x 1 y 2 Diese Werte konnen in die Formeln eingesetzt werden 3 BeispielEingesetzte Werte fur Gerade g g a 3 b 4 c 10 displaystyle a 3 b 4 c 10 und fur Punkt P x 0 4 y 0 6 displaystyle P x 0 4 y 0 6 d P g 3 4 4 6 10 3 2 4 2 22 5 4 4 displaystyle d P g frac 3 cdot 4 4 cdot 6 10 sqrt 3 2 4 2 frac 22 5 4 4 Abstand im dreidimensionalen Raum Bearbeiten Fur die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusatzliches Hilfsmittel einer Dynamischen Geometrie Software DGS Abstand zwischen Punkt und Gerade Bearbeiten Der Abstand zwischen dem Punkt P 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle P 0 x 0 y 0 z 0 und der Geraden g g die durch die Punkte P 1 x 1 y 1 z 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 z 1 und P 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 z 2 verlauft betragt mit den Vektoren p 0 p 1 p 2 displaystyle vec p 0 vec p 1 vec p 2 d P 0 g p 2 p 1 p 1 p 0 p 2 p 1 p 0 p 1 p 0 p 2 p 2 p 1 displaystyle d P 0 g frac left vec p 2 vec p 1 times vec p 1 vec p 0 right left vec p 2 vec p 1 right frac left vec p 0 vec p 1 times vec p 0 vec p 2 right left vec p 2 vec p 1 right 4 Beispiel Beispiel Abstand d P 0 g displaystyle d P 0 g zwischen Punkt P 0 P 0 und Geraden g g im Raum Konstruktion des Abstandes d P 0 g displaystyle d P 0 g Gegeben sind die Koordinaten der Punkte P 1 3 5 2 5 0 displaystyle P 1 left 3 5 left 2 5 right 0 right und P 2 1 7 0 displaystyle P 2 left 1 left 7 right 0 right durch die die Gerade g g verlauft und der Punkt P 0 5 6 3 5 displaystyle P 0 left 5 left 6 right 3 5 right Nach dem Einzeichnen der Geraden g g durch P 1 P 1 P 2 P 2 und dem Punkt P 0 P 0 werden die Verbindungsvektoren p 1 p 2 displaystyle vec p 1 vec p 2 und p 0 displaystyle vec p 0 eingezeichnet Eine abschliessend errichtete Senkrechte auf die Gerade g g durch Punkt P 0 P 0 liefert den Abstand d P 0 g 4 974 displaystyle d P 0 g 4 974 ldots LE NachrechnungDiese Werte in die Formel eingesetzt ergeben d P 0 g p 2 p 1 p 1 p 0 p 2 p 1 4 5 4 5 0 1 5 3 5 3 5 4 5 4 5 0 15 75 15 75 22 5 4 5 4 5 0 displaystyle d P 0 g frac left vec p 2 vec p 1 times vec p 1 vec p 0 right left vec p 2 vec p 1 right frac left begin pmatrix 4 5 4 5 0 end pmatrix times begin pmatrix 1 5 3 5 3 5 end pmatrix right left begin pmatrix 4 5 4 5 0 end pmatrix right frac left begin pmatrix 15 75 15 75 22 5 end pmatrix right left begin pmatrix 4 5 4 5 0 end pmatrix right 15 75 2 15 75 2 22 5 2 4 5 2 4 5 2 0 2 4 974 displaystyle frac left sqrt 15 75 2 15 75 2 22 5 2 right left sqrt 4 5 2 4 5 2 0 2 right 4 974 ldots LE Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden Bearbeiten Hauptartikel Windschiefe Zwei windschiefe Geraden g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 wobei die eine durch die Punkte P 1 x 1 y 1 z 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 z 1 und P 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 z 2 und die andere durch die Punkte P 3 x 3 y 3 z 3 displaystyle P 3 x 3 y 3 z 3 und P 4 x 4 y 4 z 4 displaystyle P 4 x 4 y 4 z 4 verlauft haben mit den Vektoren p 1 p 2 p 3 p 4 displaystyle vec p 1 vec p 2 vec p 3 vec p 4 folgenden Abstand d g 1 g 2 p 3 p 1 p 2 p 1 p 4 p 3 p 2 p 1 p 4 p 3 displaystyle d g 1 g 2 frac left vec p 3 vec p 1 cdot vec p 2 vec p 1 times vec p 4 vec p 3 right left vec p 2 vec p 1 times vec p 4 vec p 3 right 5 Beispiel Beispiel Konstruktion des Abstandes d g 1 g 2 displaystyle d g 1 g 2 zwischen zwei windschiefen Geraden g 1 g 1 und g 2 g 2 im Raum Konstruktion des Abstandes d g 1 g 2 displaystyle d g 1 g 2 mithilfe einer Hilfsebene Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte P 1 3 5 2 5 0 P 2 1 7 0 P 3 5 6 3 5 displaystyle P 1 left 3 5 left 2 5 right 0 right P 2 left 1 left 7 right 0 right P 3 left 5 left 6 right 3 5 right und P 4 0 2 2 5 6 displaystyle P 4 left 0 2 left 2 5 right 6 right Nach dem Einzeichnen der Geraden g 1 g 1 durch P 1 P 1 P 2 P 2 und g 2 g 2 durch P 3 P 3 P 4 P 4 werden zunachst die Verbindungsvektoren p 1 p 2 p 3 displaystyle vec p 1 vec p 2 vec p 3 und p 4 displaystyle vec p 4 eingezeichnet Fur das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu g 2 g 2 durch P 1 P 1 gezogen und anschliessend der Punkt A A beliebig auf der Parallele markiert Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes A P 1 displaystyle A P 1 und P 2 P 2 wird die Ebene E E generiert Es folgt das Fallen des Lots vom Punkt P 3 P 3 auf die Ebene E E mit Fusspunkt B B und eine Parallele zu g 2 displaystyle g 2 die g 1 g 1 in C C rot schneidet Abschliessend liefert die Parallele zu P 3 B displaystyle overline P 3 B ab dem Punkt C C bis zur Geraden g 2 g 2 den Abstand d g 1 g 2 4 605 displaystyle d g 1 g 2 4 605 ldots LE NachrechnungDiese Werte eingesetzt in die Formel ergeben d g 1 g 2 p 3 p 1 p 2 p 1 p 4 p 3 p 2 p 1 p 4 p 3 1 5 3 5 3 5 4 5 4 5 0 4 8 3 5 2 5 4 5 4 5 0 4 8 3 5 2 5 1 5 3 5 3 5 11 25 11 25 37 35 11 25 11 25 37 35 displaystyle d g 1 g 2 frac left vec p 3 vec p 1 cdot vec p 2 vec p 1 times vec p 4 vec p 3 right left vec p 2 vec p 1 times vec p 4 vec p 3 right frac left begin pmatrix 1 5 3 5 3 5 end pmatrix cdot left begin pmatrix 4 5 4 5 0 end pmatrix times begin pmatrix 4 8 3 5 2 5 end pmatrix right right left begin pmatrix 4 5 4 5 0 end pmatrix times begin pmatrix 4 8 3 5 2 5 end pmatrix right frac left begin pmatrix 1 5 3 5 3 5 end pmatrix cdot begin pmatrix 11 25 11 25 37 35 end pmatrix right left begin pmatrix 11 25 11 25 37 35 end pmatrix right 186 975 11 25 2 11 25 2 37 35 2 4 605 displaystyle frac left 186 975 right left sqrt 11 25 2 11 25 2 37 35 2 right 4 605 ldots LE Abstand zwischen Punkt und Ebene Bearbeiten Der Abstand zwischen dem Punkt P 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle P 0 x 0 y 0 z 0 und der Ebene E E mit der Koordinatenform a x b y c z f 0 displaystyle ax by cz f 0 A 1 betragt 1 d P 0 E a x 0 b y 0 c z 0 f a 2 b 2 c 2 displaystyle 1 d P 0 E frac ax 0 by 0 cz 0 f sqrt a 2 b 2 c 2 A 1 Fur die einzusetzenden Werte gilt 2 a y 1 z 2 y 2 z 1 y 2 z 3 y 3 z 2 y 3 z 1 y 1 z 3 3 b z 1 x 2 z 2 x 1 z 2 x 3 z 3 x 2 z 3 x 1 z 1 x 3 4 c x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 5 f x 1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 3 z 1 x 2 y 1 z 3 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1 displaystyle begin aligned amp left 2 right a y 1 z 2 y 2 z 1 y 2 z 3 y 3 z 2 y 3 z 1 y 1 z 3 amp left 3 right b z 1 x 2 z 2 x 1 z 2 x 3 z 3 x 2 z 3 x 1 z 1 x 3 amp left 4 right c x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 amp left 5 right f x 1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 3 z 1 x 2 y 1 z 3 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1 end aligned Wenn drei Punkte P 1 x 1 y 1 z 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 z 2 P 3 x 3 y 3 z 3 displaystyle P 3 x 3 y 3 z 3 gegeben sind die eine Ebene E E bestimmen siehe Dreipunkteform dann lasst sich der Abstand mithilfe der Vektoren p 1 p 2 p 3 displaystyle vec p 1 vec p 2 vec p 3 mit folgender Formel berechnen 6 d P 0 E p 2 p 1 p 3 p 1 p 2 p 1 p 3 p 1 p 0 p 1 displaystyle 6 d P 0 E left frac vec p 2 vec p 1 times vec p 3 vec p 1 left vec p 2 vec p 1 times vec p 3 vec p 1 right cdot vec p 0 vec p 1 right 6 A 2 Dabei steht displaystyle times fur das Kreuzprodukt displaystyle cdot fur das Skalarprodukt und displaystyle left quad right fur den Betrag des Vektors Beispiel Beispiel Konstruktion des Abstandes d P E displaystyle d P E zwischen dem Punkt P P und der Ebene E E im Raum Konstruktion des Abstandes d P E displaystyle d P E 7 Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene E displaystyle E mit A 1 0 0 B 2 1 1 C 3 0 2 displaystyle A left 1 left 0 right 0 right B left 2 left 1 right 1 right C left 3 left 0 right 2 right sowie des ausserhalb liegenden Punktes P 4 5 3 displaystyle P left 4 left 5 right 3 right Nach dem Eintragen der Punkte A B displaystyle A B und C C sowie des ausserhalb liegenden Punktes P displaystyle P kann die Ebene E 2 x 2 z 2 0 displaystyle E 2x 2z 2 0 generiert werden Anschliessend fallt man das Lot vom Punkt O O des Koordinatenursprungs auf die Ebene E E mit dem Fusspunkt D displaystyle D Durch die Punkte O O und D D verlauft auch der aus der Parameterdarstellung von E E ermittelbare Normalenvektor mit n 2 0 2 displaystyle vec n left 2 left 0 right 2 right Abschliessend liefert die Parallele zu O D displaystyle overline OD ab dem Punkt P P bis zur Ebene E E den Abstand d P E 3 2 4 242 6 displaystyle d P E 3 cdot sqrt 2 4 2426 ldots LE NachrechnungErmittlung der einzusetzenden Werte fur Formel 1 1 2 a 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 2 2 3 b 0 2 1 1 1 3 2 2 2 1 0 3 0 4 c 1 1 2 0 2 0 3 1 3 0 1 0 2 5 f 1 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 2 3 0 1 3 1 0 2 displaystyle begin aligned amp left 2 right a 0 cdot 1 1 cdot 0 1 cdot 2 0 cdot 1 0 cdot 0 0 cdot 2 2 amp left 3 right b 0 cdot 2 1 cdot 1 1 cdot 3 2 cdot 2 2 cdot 1 0 cdot 3 0 amp left 4 right c 1 cdot 1 2 cdot 0 2 cdot 0 3 cdot 1 3 cdot 0 1 cdot 0 2 amp left 5 right f 1 cdot 1 cdot 2 1 cdot 0 cdot 1 2 cdot 0 cdot 0 2 cdot 0 cdot 2 3 cdot 0 cdot 1 3 cdot 1 cdot 0 2 end aligned Diese Werte eingesetzt in 1 1 ergeben schliesslich 1 d P 0 E 2 4 0 5 2 3 2 2 2 0 2 2 2 3 2 4 242 6 displaystyle 1 d P 0 E frac 2 cdot 4 0 cdot 5 2 cdot 3 2 sqrt 2 2 0 2 2 2 3 cdot sqrt 2 4 2426 ldots LE Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels Andere Definitionen BearbeitenDie Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm 2 Norm eines Vektorraums z B des dreidimensionalen euklidischen Raums zugeordnet siehe Metrischer Raum Beispiele Manhattan Metrik Bearbeiten Hauptartikel Manhattan Metrik Die Linien in rot blau und gelb sind drei Beispiele fur die Manhattan Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten je 12 Einheiten lang Die grune Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar der eine Lange von 6 2 8 5 displaystyle 6 sqrt 2 approx 8 5 Einheiten hat Die sogenannte Manhattan Metrik ist eine Metrik in der der Abstand d d zwischen zwei Punkten A A und B B als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird 8 d A B i A i B i displaystyle d A B sum i left A i B i right Die Manhattan Metrik ist die von der Summennorm 1 Norm eines Vektorraums erzeugte Metrik Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien Strassen verlaufen aber nicht durch die quadratischen Gebaudeblocke ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen grosser als der euklidischen Abstand Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten Kreuzungen ist immer eine ganze Zahl So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan Metrik in einem zweidimensionalen Raum sodass sich d A B A 1 B 1 A 2 B 2 0 6 0 6 6 6 12 displaystyle d A B left A 1 B 1 right left A 2 B 2 right left 0 6 right left 0 6 right left 6 right left 6 right 12 ergibt wobei A A 1 A 2 0 0 displaystyle A A 1 A 2 0 0 und B B 1 B 2 6 6 displaystyle B B 1 B 2 6 6 die schwarz markierten Punkte sind Abstandsmessung auf gekrummten Flachen BearbeitenAuf der Kugeloberflache wird der Abstand entlang von Grosskreisen bestimmt und im Gradmass oder Bogenmass angegeben Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flachen benutzt man die geodatische Linie oder den Normalschnitt In der Geodasie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung die metrisch angegeben wird Dichtestes Punktpaar Bearbeiten Die zwei Punkte mit dem kleinsten Abstand sind rot markiert Hauptartikel Dichtestes Punktpaar Das Problem des dichtesten Punktpaares englisch closest pair of points problem ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden Punkten in einer Ebene Gegeben ist eine beliebige Menge von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte sodass der euklidische Abstand minimal ist Ein ahnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene also den zwei Punkten mit dem maximalen euklidischen Abstand Der Brute force Algorithmus berechnet die Abstande zwischen allen moglichen Punktpaaren und wahlt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in O n 2 O n 2 Ein Divide and conquer Algorithmus hat eine Laufzeit die in O n log n displaystyle O n cdot log n liegt Siehe auch BearbeitenEntfernungsmass EntfernungsmessungWeblinks Bearbeiten Wiktionary Abstand Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Wikiquote Abstand ZitateAnmerkungen Bearbeiten a b Um eine Doppelbezeichnung der Konstante d d zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen f f gewahlt Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde fur den Abstand die Bezeichnung d d anstatt D D gewahlt Einzelnachweise Bearbeiten Petra Stein Sven Vollnhals 3 5 1 Spezialfalle der Minkowski Metrik Das euklidische Distanzmass 3 5 Distanz und Ahnlichkeitsmasse fur metrische Variablen In Grundlagen clusteranalytischer Verfahren Universitat Duisburg Essen 1 April 2011 S 15 abgerufen am 19 Oktober 2018 Klaus Hefft 9 1 3 Euklidischer Raum 9 1 Dreidimensionaler euklidischer Raum In MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik Universitat Heidelberg 8 Juli 2018 abgerufen am 19 Oktober 2018 Wolfram MathWorld Point Line Distance 2 Dimensional Wolfram MathWorld Point Line Distance 3 Dimensional Wolfram MathWorld Line Line Distance Wolfram MathWorld Point Plane Distance R Verfurth I 5 7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene Beispiel I 5 6 Mathematik fur Maschinenbauer Bauingenieure und Umwelttechniker I Ruhr Universitat Bochum Dezember 2006 S 37 39 abgerufen am 22 Mai 2021 Wolfram MathWorld Taxicab MetricNormdaten Sachbegriff GND 4228463 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abstand amp oldid 235167392
