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Formelsammlung analytische Geometrie

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Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise Bearbeiten

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten (gleichwertig zu ), (gleichwertig zu ), (gleichwertig zu ) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch .

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene Bearbeiten

Bezeichnungen Bearbeiten

Im Folgenden habe der Punkt die Koordinaten ; die Punkte in dieser Reihenfolge

Punkte Bearbeiten

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

Ortsvektor des Punktes :

Verbindungsvektor zweier Punkte :

Mittelpunkt der Strecke (als Ortsvektor):

Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke im Verhältnis teilt:

Schwerpunkt eines Dreiecks :

Geraden Bearbeiten

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und . und müssen verschieden sein.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise:

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung durch den Punkt der -Achse:

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur -Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte (auf der -Achse) und (auf der -Achse):

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss und gelten.

Abstände Bearbeiten

Abstand der Punkte :

Abstand des Punktes von der Geraden mit der Normalengleichung (siehe Hessesche Normalform):

Abstand zweier paralleler Geraden und mit den Normalengleichungen bzw. :

Projektionen Bearbeiten

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Parameterform :

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Normalenform :

Parallelprojektion in Richtung eines Punkts auf eine Gerade in Normalenform :

Winkel Bearbeiten

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren und (vergleiche Skalarprodukt):

Flächen Bearbeiten

Fläche des Dreiecks (siehe Kreuzprodukt):

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken :

Kreise Bearbeiten

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

  • des Einheitskreises
  • allgemein: Mittelpunkt in , Radius

in Parameterform (allgemein):

Gleichung des Kreises durch drei Punkte

Gleichung der Kreistangente im Punkt

  • Einheitskreis
  • Allgemein:

Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis :

Mittelpunkt des Kreises durch drei Punkte die nicht auf einer Geraden liegen:

Kegelschnitte Bearbeiten

Kegelschnitt Ellipse Hyperbel Parabel
Eigenschaften
Definition: Menge aller Punkte, für die … die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant gleich 2a ist. die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist. der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
Lineare Exzentrizität --
Koordinaten
Kartesische Koordinaten
Achsenparallele Lage
Parameterform mit
Geraden
Tangente in
Normale durch
Schnittpunkt mit der Geraden











Flächeninhalt

Ebene Kurven mit ausgezeichneter Krümmung Bearbeiten

Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt, kann eine ausgezeichnete (symmetrische) Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewählt werden. Insbesondere ist somit jede ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krümmung (in jedem Punkt) eindeutig beschrieben. In den folgenden Formeln sind beliebige, aber feste Konstanten und bezeichnet stets die Bogenlänge (bei natürlicher Parametrisierung).

Kurve Definitionsbereich analytische Funktionsgleichung Krümmung Charakterisierung ihrer Krümmung
Gerade


explizit kartesisch

explizit polar parametrisch 		null
Kreis explizit polar konstant
gleichseitige Hyperbel implizit polar umgekehrt proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Lemniskate implizit polar proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Logarithmische Spirale explizit polar

umgekehrt proportional zum Abstand

umgekehrt proportional zur Bogenlänge
Klothoide kartesisch parametrisch proportional zu ihrer Bogenlänge
Katenoide

explizit kartesisch

umgekehrt proportional zum Quadrat
ihres x-Achsenabstandes

Kreisevolvente explizit polar parametrisch umgekehrt proportional zur Wurzel ihrer Bogenlänge

Hier bezeichnen und die Fresnelschen Integrale.

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes Bearbeiten

Bezeichnungen Bearbeiten

Im Folgenden haben die Punkte in dieser Reihenfolge die Koordinaten .

Punkte Bearbeiten

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

Ortsvektor

Verbindungsvektor zweier Punkte :

Mittelpunkt der Strecke :

Teilungspunkt , der die Strecke im Verhältnis teilt:

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken :

Geraden Bearbeiten

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein.

Ebenen Bearbeiten

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit den Richtungsvektoren und :

Die Parameter und können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren müssen linear unabhängig sein (d. h. und ist kein skalares Vielfaches von )

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte :

Die beiden Parameter und können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte und dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise:

Koordinatengleichung

Überführen der Formen ineinander

  • Parameterform in Normalenform:
  • Normalenform und Koordinatengleichung:
  • Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:
  • Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:

Abstände Bearbeiten

Abstand der Punkte

Abstand des Punkts von der Geraden in Parameterform :

Abstand des Punktes von der Ebene mit der Normalengleichung (siehe Hessesche Normalform):

Abstand des Punktes von der Ebene in Parameterform :

Abstand der parallelen Ebenen und mit den Normalengleichungen bzw. :

Projektionen Bearbeiten

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Parameterform :

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene in Normalenform :

Parallelprojektion in Richtung eines Punkts auf eine Ebene in Normalenform :

Winkel Bearbeiten

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren und :

Schnittwinkel zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor und einer Geraden mit dem Richtungsvektor :

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und :

Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst x n displaystyle sqrt n x Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema analytische Geometrie Es werden mathematische Symbole verwendet die im Artikel Liste mathematischer Symbole erlautert werden Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen zur Schreibweise 2 Analytische Geometrie der euklidischen Ebene 2 1 Bezeichnungen 2 2 Punkte 2 3 Geraden 2 4 Abstande 2 5 Projektionen 2 6 Winkel 2 7 Flachen 2 8 Kreise 2 9 Kegelschnitte 2 10 Ebene Kurven mit ausgezeichneter Krummung 3 Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes 3 1 Bezeichnungen 3 2 Punkte 3 3 Geraden 3 4 Ebenen 3 5 Abstande 3 6 Projektionen 3 7 Winkel 3 8 Volumina 3 9 Kugeln 3 10 Flachen zweiter OrdnungVorbemerkungen zur Schreibweise BearbeitenIm Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten x 1 displaystyle x 1 nbsp gleichwertig zu x displaystyle x nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp gleichwertig zu y displaystyle y nbsp x 3 displaystyle x 3 nbsp gleichwertig zu z displaystyle z nbsp verwendet Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert Ortsvektoren werden mit demselben Grossbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte Das Skalarprodukt wird durch displaystyle cdot nbsp ausgedruckt das Kreuzprodukt Vektorprodukt durch displaystyle times nbsp Analytische Geometrie der euklidischen Ebene BearbeitenBezeichnungen Bearbeiten Im Folgenden habe der Punkt P displaystyle P nbsp die Koordinaten p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp die Punkte A B C displaystyle A B C nbsp in dieser Reihenfolge a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 displaystyle a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 nbsp Punkte Bearbeiten Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben Koordinatendarstellung eines Punktes P p 1 p 2 displaystyle P p 1 p 2 nbsp oder P p 1 p 2 displaystyle P p 1 p 2 nbsp Ortsvektor des Punktes P p 1 p 2 displaystyle P p 1 p 2 nbsp P p 1 p 2 displaystyle vec P begin pmatrix p 1 p 2 end pmatrix nbsp Verbindungsvektor zweier Punkte A B displaystyle A B nbsp A B B A b 1 a 1 b 2 a 2 displaystyle overrightarrow AB vec B vec A begin pmatrix b 1 a 1 b 2 a 2 end pmatrix nbsp Mittelpunkt der Strecke A B displaystyle AB nbsp als Ortsvektor M 1 2 A B 1 2 a 1 b 1 a 2 b 2 displaystyle vec M tfrac 1 2 left vec A vec B right tfrac 1 2 begin pmatrix a 1 b 1 a 2 b 2 end pmatrix nbsp Teilungspunkt Der Punkt der die Strecke A B displaystyle AB nbsp im Verhaltnis l displaystyle lambda nbsp teilt T 1 1 l A l B 1 1 l a 1 l b 1 a 2 l b 2 displaystyle vec T frac 1 1 lambda left vec A lambda vec B right frac 1 1 lambda begin pmatrix a 1 lambda b 1 a 2 lambda b 2 end pmatrix nbsp Schwerpunkt eines Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp S 1 3 A B C 1 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 displaystyle vec S tfrac 1 3 left vec A vec B vec C right tfrac 1 3 begin pmatrix a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 end pmatrix nbsp Geraden Bearbeiten Parametergleichung der Geraden Punkt Richtungs Form durch den Punkt A a 1 a 2 displaystyle A a 1 a 2 nbsp mit dem Richtungsvektor u u 1 u 2 displaystyle vec u begin pmatrix u 1 u 2 end pmatrix nbsp X A l u a 1 a 2 l u 1 u 2 displaystyle vec X vec A lambda vec u begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix lambda begin pmatrix u 1 u 2 end pmatrix nbsp Der Parameter l displaystyle lambda nbsp kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und u displaystyle vec u nbsp darf nicht der Nullvektor sein Parametergleichung der Geraden Zwei Punkte Form durch die Punkte A B displaystyle A B nbsp X A l B A a 1 a 2 l b 1 a 1 b 2 a 2 displaystyle vec X vec A lambda left vec B vec A right begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix lambda begin pmatrix b 1 a 1 b 2 a 2 end pmatrix nbsp Der Parameter l displaystyle lambda nbsp kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp mussen verschieden sein Normalengleichung der Geraden durch den Punkt A displaystyle A nbsp mit dem Normalenvektor n n 1 n 2 displaystyle vec n begin pmatrix n 1 n 2 end pmatrix nbsp in vektorieller Schreibweise n X A 0 displaystyle vec n cdot left vec X vec A right 0 nbsp bzw n 1 n 2 x 1 a 1 x 2 a 2 0 displaystyle begin pmatrix n 1 n 2 end pmatrix cdot begin pmatrix x 1 a 1 x 2 a 2 end pmatrix 0 nbsp Koordinatengleichung explizite Form der Geraden mit der Steigung m displaystyle m nbsp durch den Punkt 0 t displaystyle 0 t nbsp der x 2 displaystyle x 2 nbsp Achse x 2 m x 1 t displaystyle x 2 mx 1 t nbsp Einschrankung Die Gerade darf nicht parallel zur x 2 displaystyle x 2 nbsp Achse sein Koordinatengleichung Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte s 0 displaystyle s 0 nbsp auf der x 1 displaystyle x 1 nbsp Achse und 0 t displaystyle 0 t nbsp auf der x 2 displaystyle x 2 nbsp Achse x 1 s x 2 t 1 displaystyle frac x 1 s frac x 2 t 1 nbsp Einschrankung Die gegebenen Punkte durfen nicht mit dem Ursprung ubereinstimmen d h es muss s 0 displaystyle s neq 0 nbsp und t 0 displaystyle t neq 0 nbsp gelten Abstande Bearbeiten Abstand der Punkte A B displaystyle A B nbsp A B B A b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 displaystyle overline AB left vec B vec A right sqrt b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 nbsp Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp von der Geraden g displaystyle g nbsp mit der Normalengleichung n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 nbsp siehe Hessesche Normalform d P g n 1 p 1 n 2 p 2 n 0 n 1 2 n 2 2 displaystyle d P g frac left n 1 p 1 n 2 p 2 n 0 right sqrt n 1 2 n 2 2 nbsp Abstand zweier paralleler Geraden g displaystyle g nbsp und g displaystyle g nbsp mit den Normalengleichungen n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 nbsp bzw n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 0 nbsp d g g n 0 n 0 n 1 2 n 2 2 displaystyle d g g frac left n 0 n 0 right sqrt n 1 2 n 2 2 nbsp Projektionen Bearbeiten Orthogonalprojektion eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Gerade g displaystyle g nbsp in Parameterform X A l u displaystyle vec X vec A lambda vec u nbsp P g A B A u u u u displaystyle vec P g vec A frac vec B vec A cdot vec u vec u cdot vec u vec u nbsp Orthogonalprojektion eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Gerade g displaystyle g nbsp in Normalenform X A n 0 displaystyle vec X vec A cdot vec n 0 nbsp P g B B A n n n n displaystyle vec P g vec B frac vec B vec A cdot vec n vec n cdot vec n vec n nbsp Parallelprojektion in Richtung v displaystyle vec v nbsp eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Gerade g displaystyle g nbsp in Normalenform X A n 0 displaystyle vec X vec A cdot vec n 0 nbsp P g v B B A n v n v displaystyle vec P g vec v vec B frac vec B vec A cdot vec n vec v cdot vec n vec v nbsp Winkel Bearbeiten Schnittwinkel kleinerer Winkel ϵ displaystyle epsilon nbsp zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp vergleiche Skalarprodukt cos ϵ u v u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 1 2 u 2 2 v 1 2 v 2 2 displaystyle cos epsilon frac left vec u cdot vec v right left vec u right left vec v right frac left u 1 v 1 u 2 v 2 right sqrt u 1 2 u 2 2 sqrt v 1 2 v 2 2 nbsp Flachen Bearbeiten Flache des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp siehe Kreuzprodukt F A B C 1 2 A B A C 1 2 B A C A 1 2 a 1 b 2 a 2 b 1 b 1 c 2 b 2 c 1 c 1 a 2 c 2 a 1 displaystyle begin aligned F ABC amp tfrac 1 2 left overrightarrow AB times overrightarrow AC right tfrac 1 2 left left vec B vec A right times left vec C vec A right right amp tfrac 1 2 left a 1 b 2 a 2 b 1 b 1 c 2 b 2 c 1 c 1 a 2 c 2 a 1 right end aligned nbsp Flache des nicht uberschlagenen Polygons mit den Ecken P 1 p 11 p 12 P n p n 1 p n 2 displaystyle P 1 p 11 p 12 dotsc P n p n1 p n2 nbsp A 1 2 p 11 p 22 p 21 p 32 p n 1 1 p n 2 p n 1 p 12 p 21 p 12 p 31 p 22 p n 1 p n 1 2 p 11 p n 2 displaystyle begin aligned A Big tfrac 1 2 cdot amp left p 11 p 22 p 21 p 32 dotsb p n 1 1 p n2 p n1 p 12 right amp left p 21 p 12 p 31 p 22 dotsb p n1 p n 1 2 p 11 p n2 right Big end aligned nbsp Kreise Bearbeiten Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten des Einheitskreisesx 1 2 x 2 2 1 displaystyle x 1 2 x 2 2 1 nbsp allgemein Mittelpunkt in c d displaystyle c d nbsp Radius r displaystyle r nbsp x c 2 y d 2 r 2 displaystyle x c 2 y d 2 r 2 nbsp in Parameterform allgemein x 1 x 2 r cos t c r sin t d displaystyle begin pmatrix x 1 x 2 end pmatrix begin pmatrix r cos t c r sin t d end pmatrix nbsp mit 0 t 2 p displaystyle 0 leq t leq 2 pi nbsp Gleichung des Kreises durch drei Punkte P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 displaystyle P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 nbsp x 2 y 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 y 3 2 x 3 y 3 1 0 displaystyle begin vmatrix x 2 y 2 amp x amp y amp 1 x 1 2 y 1 2 amp x 1 amp y 1 amp 1 x 2 2 y 2 2 amp x 2 amp y 2 amp 1 x 3 2 y 3 2 amp x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix 0 nbsp Gleichung der Kreistangente im Punkt B b 1 b 2 displaystyle B b 1 b 2 nbsp Einheitskreis b 1 x 1 b 2 x 2 1 displaystyle b 1 x 1 b 2 x 2 1 nbsp Allgemein x c b 1 c y d b 2 d r 2 displaystyle x c b 1 c y d b 2 d r 2 nbsp Schnittpunkt der Geraden y m x c displaystyle y mx c nbsp mit dem Kreis x 2 y 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 r 2 nbsp x 1 2 c m 1 m 2 1 1 m 2 r 2 1 m 2 c 2 displaystyle x 1 2 frac cm 1 m 2 pm frac 1 1 m 2 sqrt r 2 1 m 2 c 2 nbsp y 1 2 c 1 m 2 m 1 m 2 r 2 1 m 2 c 2 displaystyle y 1 2 frac c 1 m 2 pm frac m 1 m 2 sqrt r 2 1 m 2 c 2 nbsp Mittelpunkt X displaystyle vec X nbsp des Kreises durch drei Punkte P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 displaystyle P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 nbsp die nicht auf einer Geraden liegen X x 1 x 2 1 2 x 1 x 3 y 1 y 3 x 2 x 3 y 2 y 3 1 P 1 P 1 P 3 P 3 P 2 P 2 P 3 P 3 displaystyle vec X left begin array c x 1 x 2 end array right frac 1 2 left begin array ccc x 1 x 3 amp y 1 y 3 x 2 x 3 amp y 2 y 3 end array right 1 left begin array c vec P 1 cdot vec P 1 vec P 3 cdot vec P 3 vec P 2 cdot vec P 2 vec P 3 cdot vec P 3 end array right nbsp Kegelschnitte Bearbeiten Kegelschnitt Ellipse Hyperbel ParabelEigenschaftenDefinition Menge aller Punkte fur die die Summe der Abstande zu den Brennpunkten F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp konstant gleich 2a ist die Differenz der Abstande den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist Lineare Exzentrizitat a 2 b 2 displaystyle sqrt a 2 b 2 nbsp a 2 b 2 displaystyle sqrt a 2 b 2 nbsp KoordinatenKartesische Koordinaten x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp y 2 2 p x displaystyle y 2 2px nbsp Achsenparallele LageM c d displaystyle M c d nbsp x c 2 a 2 y d 2 b 2 1 displaystyle frac x c 2 a 2 frac y d 2 b 2 1 nbsp x c 2 a 2 y d 2 b 2 1 displaystyle frac x c 2 a 2 frac y d 2 b 2 1 nbsp y d 2 2 p x c displaystyle y d 2 2p x c nbsp Parameterform x y a cos t b sin t displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix begin pmatrix a cos t b sin t end pmatrix nbsp mit 0 t 2 p displaystyle 0 leq t leq 2 pi nbsp x a cos t y b tan t displaystyle x frac a cos t y pm b tan t nbsp x a cosh t y b sinh t displaystyle x pm a cosh t y b sinh t nbsp GeradenTangente in P 1 p 1 p 2 displaystyle P 1 p 1 p 2 nbsp x p 1 a 2 y p 2 b 2 1 displaystyle frac xp 1 a 2 frac yp 2 b 2 1 nbsp x p 1 a 2 y p 2 b 2 1 displaystyle frac xp 1 a 2 frac yp 2 b 2 1 nbsp y p 2 p y p 2 displaystyle yp 2 p y p 2 nbsp Normale durch P 1 p 1 p 2 displaystyle P 1 p 1 p 2 nbsp y p 2 a 2 p 2 b 2 p 1 x p 1 displaystyle y p 2 frac a 2 p 2 b 2 p 1 x p 1 nbsp y p 2 a 2 p 2 b 2 p 1 x p 1 displaystyle y p 2 frac a 2 p 2 b 2 p 1 x p 1 nbsp y p 2 p 2 p x p 1 displaystyle y p 2 frac p 2 p x p 1 nbsp Schnittpunkt mit der Geraden y m x C displaystyle y mx C nbsp x 1 2 a 2 m a b D displaystyle x 1 2 a 2 m alpha pm beta cdot sqrt D nbsp y 1 2 b 2 a m b D displaystyle y 1 2 b 2 alpha pm m beta cdot sqrt D nbsp a C b 2 a 2 m 2 b a b b 2 a 2 m 2 displaystyle alpha frac C b 2 a 2 m 2 beta frac ab b 2 a 2 m 2 nbsp D a 2 m 2 b 2 C 2 displaystyle D a 2 m 2 b 2 C 2 nbsp x 1 2 a 2 m a b D displaystyle x 1 2 a 2 m alpha pm beta cdot sqrt D nbsp y 1 2 b 2 a m b D displaystyle y 1 2 b 2 alpha pm m beta cdot sqrt D nbsp a C b 2 a 2 m 2 b a b b 2 a 2 m 2 displaystyle alpha frac C b 2 a 2 m 2 beta frac ab b 2 a 2 m 2 nbsp D b 2 c 2 a 2 m 2 displaystyle D b 2 c 2 a 2 m 2 nbsp x 1 2 p C m m 2 1 m 2 D displaystyle x 1 2 frac p Cm m 2 pm frac 1 m 2 cdot sqrt D nbsp y 1 2 p m 1 m D displaystyle y 1 2 frac p m pm frac 1 m cdot sqrt D nbsp D p p 2 m C displaystyle D p cdot p 2mC nbsp FlacheninhaltEbene Kurven mit ausgezeichneter Krummung Bearbeiten Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt kann eine ausgezeichnete symmetrische Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewahlt werden Insbesondere ist somit jede ebene zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krummung in jedem Punkt eindeutig beschrieben In den folgenden Formeln sind a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp beliebige aber feste Konstanten und s displaystyle s nbsp bezeichnet stets die Bogenlange bei naturlicher Parametrisierung Kurve Definitionsbereich analytische Funktionsgleichung Krummung k displaystyle kappa nbsp Charakterisierung ihrer KrummungGerade x R displaystyle x in mathbb R nbsp s R displaystyle s in mathbb R nbsp y x a x displaystyle y x ax nbsp r s f s s b displaystyle begin pmatrix r s varphi s end pmatrix begin pmatrix s b end pmatrix nbsp explizit kartesischexplizit polar parametrisch 0 displaystyle 0 nbsp nullKreis f 0 2 p displaystyle varphi in 0 2 pi nbsp r f a displaystyle r varphi a nbsp explizit polar 1 a displaystyle tfrac 1 a nbsp konstantgleichseitige Hyperbel f p 4 p 4 displaystyle varphi in left tfrac pi 4 tfrac pi 4 right nbsp r f 2 2 a 2 cos 2 f displaystyle r varphi 2 tfrac 2a 2 cos 2 varphi nbsp implizit polar 1 r displaystyle tfrac 1 r nbsp umgekehrt proportional zum vorzeichenbehafteten Abstand Lemniskate f p 4 p 4 displaystyle varphi in left tfrac pi 4 tfrac pi 4 right nbsp r f 2 2 a 2 cos 2 f displaystyle r varphi 2 2a 2 cos 2 varphi nbsp implizit polar 3 r 2 a 2 displaystyle tfrac 3r 2a 2 nbsp proportional zum vorzeichenbehafteten Abstand Logarithmische Spirale f R displaystyle varphi in mathbb R nbsp r f a e b f displaystyle r varphi ae b varphi nbsp explizit polar 1 r 1 b 2 displaystyle tfrac 1 r sqrt 1 b 2 nbsp 1 b s displaystyle tfrac 1 bs nbsp umgekehrt proportional zum Abstandumgekehrt proportional zur BogenlangeKlothoide s R displaystyle s in mathbb R nbsp x s y s C b s S b s displaystyle begin pmatrix x s y s end pmatrix begin pmatrix C b s S b s end pmatrix nbsp kartesisch parametrisch 2 b s displaystyle 2bs nbsp proportional zu ihrer BogenlangeKatenoide x R displaystyle x in mathbb R nbsp y x a cosh x a displaystyle y x a cosh tfrac x a nbsp s x a sinh x a displaystyle s x a sinh tfrac x a nbsp explizit kartesisch a y 2 displaystyle tfrac a y 2 nbsp a a 2 s 2 displaystyle tfrac a a 2 s 2 nbsp umgekehrt proportional zum Quadrat ihres x AchsenabstandesKreisevolvente s R 0 displaystyle s in mathbb R 0 nbsp r s f s a 1 2 s 2 s arctan 2 s displaystyle begin pmatrix r s varphi s end pmatrix begin pmatrix a sqrt 1 2s sqrt 2s arctan sqrt 2s end pmatrix nbsp explizit polar parametrisch 1 a 2 s displaystyle tfrac 1 a sqrt 2s nbsp umgekehrt proportional zur Wurzel ihrer BogenlangeHier bezeichnen C b x displaystyle C b x nbsp und S b x displaystyle S b x nbsp die Fresnelschen Integrale Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes BearbeitenBezeichnungen Bearbeiten Im Folgenden haben die Punkte X P A B C displaystyle X P A B C nbsp in dieser Reihenfolge die Koordinaten x 1 x 2 x 3 p 1 p 2 p 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 2 c 1 c 2 c 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 p 1 p 2 p 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 2 c 1 c 2 c 3 nbsp Punkte Bearbeiten Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben Koordinatendarstellung P p 1 p 2 p 3 displaystyle P p 1 p 2 p 3 nbsp Ortsvektor P p 1 p 2 p 3 displaystyle vec P begin pmatrix p 1 p 2 p 3 end pmatrix nbsp Verbindungsvektor zweier Punkte A B displaystyle AB nbsp A B B A b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 displaystyle overrightarrow AB vec B vec A begin pmatrix b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 end pmatrix nbsp Mittelpunkt der Strecke A B displaystyle AB nbsp M 1 2 A B 1 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 displaystyle vec M tfrac 1 2 left vec A vec B right tfrac 1 2 begin pmatrix a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 end pmatrix nbsp Teilungspunkt der die Strecke A B displaystyle AB nbsp im Verhaltnis l displaystyle lambda nbsp teilt T 1 1 l A l B 1 1 l a 1 l b 1 a 2 l b 2 a 3 l b 3 displaystyle vec T frac 1 1 lambda left vec A lambda vec B right frac 1 1 lambda begin pmatrix a 1 lambda b 1 a 2 lambda b 2 a 3 lambda b 3 end pmatrix nbsp Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken A B C displaystyle A B C nbsp S 1 3 A B C 1 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 displaystyle vec S tfrac 1 3 left vec A vec B vec C right tfrac 1 3 begin pmatrix a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 end pmatrix nbsp Geraden Bearbeiten Parametergleichung einer Geraden Punkt Richtungs Form durch den Punkt A displaystyle A nbsp mit dem Richtungsvektor u u 1 u 2 u 3 displaystyle vec u begin pmatrix u 1 u 2 u 3 end pmatrix nbsp X A l u a 1 a 2 a 3 l u 1 u 2 u 3 displaystyle vec X vec A lambda vec u begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix lambda begin pmatrix u 1 u 2 u 3 end pmatrix nbsp Der Parameter l displaystyle lambda nbsp kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und u displaystyle vec u nbsp darf nicht der Nullvektor sein Ebenen Bearbeiten Parametergleichung der Ebene Punkt Richtungs Form durch den Punkt A displaystyle A nbsp mit den Richtungsvektoren u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp X A l u m v a 1 a 2 a 3 l u 1 u 2 u 3 m v 1 v 2 v 3 displaystyle vec X vec A lambda vec u mu vec v begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix lambda begin pmatrix u 1 u 2 u 3 end pmatrix mu begin pmatrix v 1 v 2 v 3 end pmatrix nbsp Die Parameter l displaystyle lambda nbsp und m displaystyle mu nbsp konnen alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren u v displaystyle vec u vec v nbsp mussen linear unabhangig sein d h u v 0 displaystyle vec u vec v neq 0 nbsp und u displaystyle vec u nbsp ist kein skalares Vielfaches von v displaystyle vec v nbsp Parametergleichung einer Ebene Drei Punkte Form durch die Punkte A B C displaystyle A B C nbsp X A l B A m C A a 1 a 2 a 3 l b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 m c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 displaystyle vec X vec A lambda left vec B vec A right mu left vec C vec A right begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix lambda begin pmatrix b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 end pmatrix mu begin pmatrix c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 end pmatrix nbsp Die beiden Parameter l displaystyle lambda nbsp und m displaystyle mu nbsp konnen alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte A B displaystyle A B nbsp und C displaystyle C nbsp durfen nicht auf einer Geraden liegen Normalengleichung der Ebene durch den Punkt A displaystyle A nbsp mit dem Normalenvektor n n 1 n 2 n 3 0 displaystyle vec n begin pmatrix n 1 n 2 n 3 end pmatrix neq 0 nbsp in vektorieller Schreibweise n X A 0 displaystyle vec n cdot left vec X vec A right 0 nbsp bzw n 1 n 2 n 3 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 0 displaystyle begin pmatrix n 1 n 2 n 3 end pmatrix cdot begin pmatrix x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 end pmatrix 0 nbsp Koordinatengleichung a b c x 1 x 2 x 3 a x 1 b x 2 c x 3 d displaystyle begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix begin pmatrix x 1 x 2 x 3 end pmatrix ax 1 bx 2 cx 3 d nbsp mit a b c displaystyle a b c nbsp nicht alle gleich 0 Uberfuhren der Formen ineinander Parameterform in Normalenform n u v displaystyle vec n vec u times vec v nbsp Normalenform und Koordinatengleichung Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung nur ein wenig anders aufgeschrieben Explizit a n 1 b n 2 c n 3 displaystyle a n 1 b n 2 c n 3 nbsp und d n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 displaystyle d n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 nbsp Von der Parameterform zur Koordinatengleichung x 1 x 2 x 3 X A l u m v displaystyle begin pmatrix x 1 x 2 x 3 end pmatrix vec X vec A lambda vec u mu vec v nbsp definiert drei Gleichungen man lose eine davon nach l displaystyle lambda nbsp und eine andere nach m displaystyle mu nbsp auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein Von der Koordinatengleichung zur Parameterform Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei Punkte Form der Parametergleichung ein Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz Da a b c displaystyle a b c nbsp nicht alle gleich 0 sind sagen wir c 0 displaystyle c neq 0 nbsp lasst sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflosen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen x 3 x 1 x 2 1 c d a x 1 b x 2 displaystyle x 3 x 1 x 2 tfrac 1 c left d ax 1 bx 2 right nbsp Man findet nun drei nicht kollineare Punkte in der Ebene indem man nacheinander x 1 x 2 0 0 displaystyle x 1 x 2 0 0 nbsp x 1 x 2 1 0 displaystyle x 1 x 2 1 0 nbsp und x 1 x 2 0 1 displaystyle x 1 x 2 0 1 nbsp einsetzt D h explizit setzt man A 0 0 x 3 0 0 displaystyle vec A begin pmatrix 0 0 x 3 0 0 end pmatrix nbsp B 1 0 x 3 1 0 displaystyle vec B begin pmatrix 1 0 x 3 1 0 end pmatrix nbsp und C 0 1 x 3 0 1 displaystyle vec C begin pmatrix 0 1 x 3 0 1 end pmatrix nbsp in die Drei Punkte Form der Parametergleichung ein Abstande Bearbeiten Abstand der Punkte A B displaystyle A B nbsp A B B A b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 b 3 a 3 2 displaystyle left vert overrightarrow AB right vert left vec B vec A right sqrt b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 b 3 a 3 2 nbsp Abstand des Punkts P displaystyle P nbsp von der Geraden g displaystyle g nbsp in Parameterform X A l u displaystyle vec X vec A lambda vec u nbsp d P g P A u u displaystyle d P g frac vec P vec A times vec u vec u nbsp Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp von der Ebene ϵ displaystyle epsilon nbsp mit der Normalengleichung n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 nbsp siehe Hessesche Normalform d P ϵ n 1 p 1 n 2 p 2 n 3 p 3 n 0 n 1 2 n 2 2 n 3 2 displaystyle d P epsilon frac left n 1 p 1 n 2 p 2 n 3 p 3 n 0 right sqrt n 1 2 n 2 2 n 3 2 nbsp Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp von der Ebene ϵ displaystyle epsilon nbsp in Parameterform X A l u m v displaystyle vec X vec A lambda vec u mu vec v nbsp d P ϵ P A u v u v displaystyle d P epsilon frac vec P vec A cdot vec u times vec v vec u times vec v nbsp Abstand der parallelen Ebenen ϵ displaystyle epsilon nbsp und ϵ displaystyle epsilon nbsp mit den Normalengleichungen n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 nbsp bzw n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 displaystyle n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 0 0 nbsp d ϵ ϵ n 0 n 0 n 1 2 n 2 2 n 3 2 displaystyle d epsilon epsilon frac left n 0 n 0 right sqrt n 1 2 n 2 2 n 3 2 nbsp Projektionen Bearbeiten Orthogonalprojektion eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Gerade g displaystyle g nbsp in Parameterform X A l u displaystyle vec X vec A lambda vec u nbsp P g A B A u u u u displaystyle vec P g vec A frac vec B vec A cdot vec u vec u cdot vec u vec u nbsp Orthogonalprojektion eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Ebene ϵ displaystyle epsilon nbsp in Normalenform X A n 0 displaystyle vec X vec A cdot vec n 0 nbsp P ϵ B B A n n n n displaystyle vec P epsilon vec B frac vec B vec A cdot vec n vec n cdot vec n vec n nbsp Parallelprojektion in Richtung v displaystyle vec v nbsp eines Punkts B displaystyle B nbsp auf eine Ebene ϵ displaystyle epsilon nbsp in Normalenform X A n 0 displaystyle vec X vec A cdot vec n 0 nbsp P ϵ v B B A n v n v displaystyle vec P epsilon vec v vec B frac vec B vec A cdot vec n vec v cdot vec n vec v nbsp Winkel Bearbeiten Schnittwinkel kleinerer Winkel ϵ displaystyle epsilon nbsp zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp cos ϵ u v u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 1 2 u 2 2 u 3 2 v 1 2 v 2 2 v 3 2 displaystyle cos epsilon frac left vec u cdot vec v right left vec u right left vec v right frac left u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 right sqrt u 1 2 u 2 2 u 3 2 sqrt v 1 2 v 2 2 v 3 2 nbsp Schnittwinkel ϵ displaystyle epsilon nbsp zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp und einer Geraden mit dem Richtungsvektor u displaystyle vec u nbsp sin ϵ n u n u n 1 u 1 n 2 u 2 n 3 u 3 n 1 2 n 2 2 n 3 2 u 1 2 u 2 2 u 3 2 displaystyle sin epsilon frac left vec n cdot vec u right left vec n right left vec u right frac left n 1 u 1 n 2 u 2 n 3 u 3 right sqrt n 1 2 n 2 2 n 3 2 sqrt u 1 2 u 2 2 u 3 2 nbsp Schnittwinkel ϵ displaystyle epsilon nbsp zwischen zwei Ebenenmit den Normalenvektoren m displaystyle vec m nbsp und n displaystyle vec n nbsp cos ϵ m n m n mo