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Polygon Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Begriffsklärung aufgeführt Ein von altgr

Polygon

Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘) oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen Bearbeiten

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel von verschiedenen Punkten definiert ist.

  • Die Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit Ecken heißt -Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch -Gon.
  • Die Strecken und bezeichnet man als Seiten des Polygons.
  • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

  • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch , , und , , gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation Bearbeiten

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken Bearbeiten

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon Bearbeiten

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).

Liste regelmäßiger Polygone
  Ecken Bezeichnung Griechisch Zirkel
und
Lineal		 Besonderheit
3 Dreieck Trigon Erste Fermatsche Primzahl 3 = 220+ 1
4 Viereck Tetragon Quadrat
5 Fünfeck Pentagon Zweite Fermatsche Primzahl 5 = 221+ 1
6 Sechseck Hexagon
7 Siebeneck Heptagon Siebeneck nach Archimedes (Näherungskonstruktion)
8 Achteck Oktogon englisch octagon
9 Neuneck Nonagon seltener Enneagon
10 Zehneck Dekagon
11 Elfeck Hendekagon
12 Zwölfeck Dodekagon
13 Dreizehneck Tridekagon
14 Vierzehneck Tetradekagon
15 Fünfzehneck Pentadekagon
16 Sechzehneck Hexadekagon
17 Siebzehneck Heptadekagon Dritte Fermatsche Primzahl 17 = 222+ 1
18 Achtzehneck Oktodekagon englisch octadecagon, octakaidecagon
19 Neunzehneck Nonadekagon englisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20 Zwanzigeck Ikosagon
21 Einundzwanzigeck Ikosihenagon
22 Zweiundzwanzigeck Ikosidigon
23 Dreiundzwanzigeck Ikositrigon
24 Vierundzwanzigeck Ikositetragon
25 Fünfundzwanzigeck Ikosipentagon
26 Sechsundzwanzigeck Ikosihexagon
27 Siebenundzwanzigeck Ikosiheptagon
28 Achtundzwanzigeck Ikosioktogon englisch icosioctagon
29 Neunundzwanzigeck Ikosienneagon
30 Dreißigeck Triakontagon
32 Zweiunddreißigeck Triakontadigon
34 Vierunddreißigeck Triakontatetragon
40 Vierzigeck Tetrakontagon
48 Achtundvierzigeck Tetrakontaoktogon englisch tetracontaoctagon
50 Fünfzigeck Pentakontagon
51 Einundfünfzigeck Pentakontahenagon
56 Sechsundfünfzigeck Pentakontahexagon
60 Sechzigeck Hexakontagon
64 Vierundsechzigeck Hexakontatetragon
68 Achtundsechzigeck Hexakontaoktogon englisch hexacontaoctagon
70 Siebzigeck Heptakontagon
80 Achtzigeck Oktokontagon englisch octacontagon
85 Fünfundachtzigeck Oktokontapentagon englisch octacontapentagon
90 Neunzigeck Enneakontagon
96 Sechsundneunzigeck Enneakontahexagon
100 Hunderteck Hektogon
257 257-Eck Vierte Fermatsche Primzahl 257 = 223+ 1
1 000 Tausendeck Chiliagon
10 000 Zehntausendeck Myriagon
65 537 65 537-Eck Fünfte Fermatsche Primzahl 65537 = 224+ 1
100 000 Hunderttausendeck
1 000 000 Millioneck Megagon
4 294 967 295 4 294 967 295-Eck Das Produkt aus den fünf Fermatschen Primzahlen (3 · 5 · 17 · 257 · 65537 = 4294967295 = 232 - 1) liefert die größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
10100 Googoleck Googolgon Eckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen
∞ Unendlicheck Apeirogon Theoretische Grenzform mit unendlich vielen Seiten

Weitere Typen Bearbeiten

Klassifikation von Polygonen

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Eigenschaften Bearbeiten

Winkel Bearbeiten

In einem nicht überschlagenen, ebenen -Eck ist die Summe der Innenwinkel

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

Diagonalen Bearbeiten

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke zur Ecke ist mit der Verbindung von nach identisch.
  3. Genau Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes -Eck genau Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang Bearbeiten

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

Fläche Bearbeiten

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:

In den Formeln gilt: .

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen Bearbeiten

Flächeninhalt Bearbeiten

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind , , , die Koordinaten der Eckpunkte des Polygons.

Konvexe Hülle Bearbeiten

Konvexe Hülle von Punkten in der Ebene

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von . Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur der Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei .

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

Punkt im Polygon Bearbeiten

Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons befindet.

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.

Verwendung Bearbeiten

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:

Beispiele für Polygone im Maschinenbau Bearbeiten

Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar.

Beispiele für Polygone in der Geographie Bearbeiten

US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen

Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon.

Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Dieter Neßelmann: 1 Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie, Satz 1.1.3. In: Manuskript zur Vorlesung. Universität Rostock, 22. Februar 2010, S. 4–5, abgerufen am 23. Oktober 2021.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Polygon Begriffsklarung aufgefuhrt Ein Polygon von altgriechisch polygwnion polygṓnion Vieleck aus polys polys viel und gwnia gōnia Winkel 1 oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen FlachenEin Polygon ist ein zweidimensionales Polytop Ein Polygon erhalt man indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene nicht kollineare Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug Polygonzug mit ebenso vielen Ecken beispielsweise ein Dreieck 3 Punkte 3 Strecken oder ein Viereck 4 Punkte 4 Strecken Die umschlossene Flache wird oft auch als Polygon bezeichnet so in der Planimetrie Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Bezeichnungen 2 Klassifikation 2 1 Nach Anzahl der Ecken 2 2 Regelmassiges Polygon 2 3 Weitere Typen 3 Eigenschaften 3 1 Winkel 3 2 Diagonalen 3 3 Umfang 3 4 Flache 4 Algorithmen 4 1 Flacheninhalt 4 2 Konvexe Hulle 4 3 Punkt im Polygon 5 Verwendung 6 Beispiele fur Polygone im Maschinenbau 7 Beispiele fur Polygone in der Geographie 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition und Bezeichnungen BearbeitenEin Polygon ist eine Figur die durch ein Tupel P P 1 P 2 P n P i R 2 1 i n displaystyle P left P 1 P 2 dotsc P n right P i in mathbb R 2 1 leq i leq n nbsp von n displaystyle n nbsp verschiedenen Punkten definiert ist Die n displaystyle n nbsp Punkte heissen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons ein Polygon mit n displaystyle n nbsp Ecken heisst n displaystyle n nbsp Eck oder insbesondere in der englischen Literatur auch n displaystyle n nbsp Gon Die Strecken P i P i 1 i 1 n 1 displaystyle overline P i P i 1 left i 1 dotsc n 1 right nbsp und P n P 1 displaystyle overline P n P 1 nbsp bezeichnet man als Seiten des Polygons Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte die keine Seiten sind nennt man Diagonalen Manchmal werden noch weitere Bedingungen fur die Definition eines Polygons vorausgesetzt die aber formal nicht notwendig sind Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte Das schliesst ein Zweieck aus 2 Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden Auch P n displaystyle P n nbsp P 1 displaystyle P 1 nbsp P 2 displaystyle P 2 nbsp und P n 1 displaystyle P n 1 nbsp P n displaystyle P n nbsp P 1 displaystyle P 1 nbsp gelten dabei als angrenzende Eckpunkte Das schliesst Ecken mit gestrecktem Winkel aus Klassifikation Bearbeiten nbsp Historische Abbildung von Vielecken 1699 Nach Anzahl der Ecken Bearbeiten Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken Wertigkeit des Polygons benannt Regelmassiges Polygon Bearbeiten Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel dann wird es als regelmassiges Polygon oder regulares Polygon bezeichnet Viele regelmassige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren Konstruierbares Polygon Liste regelmassiger Polygone Ecken Bezeichnung Griechisch Zirkel und Lineal Besonderheit3 Dreieck Trigon nbsp J Erste Fermatsche Primzahl 3 220 14 Viereck Tetragon nbsp J Quadrat5 Funfeck Pentagon nbsp J Zweite Fermatsche Primzahl 5 221 16 Sechseck Hexagon nbsp J7 Siebeneck Heptagon nbsp N Siebeneck nach Archimedes Naherungskonstruktion 8 Achteck Oktogon nbsp J englisch octagon9 Neuneck Nonagon nbsp N seltener Enneagon10 Zehneck Dekagon nbsp J11 Elfeck Hendekagon nbsp N12 Zwolfeck Dodekagon nbsp J13 Dreizehneck Tridekagon nbsp N14 Vierzehneck Tetradekagon nbsp N15 Funfzehneck Pentadekagon nbsp J16 Sechzehneck Hexadekagon nbsp J17 Siebzehneck Heptadekagon nbsp J Dritte Fermatsche Primzahl 17 222 118 Achtzehneck Oktodekagon nbsp N englisch octadecagon octakaidecagon19 Neunzehneck Nonadekagon nbsp N englisch auch enneadecagon enneakaidecagon20 Zwanzigeck Ikosagon nbsp J21 Einundzwanzigeck Ikosihenagon nbsp N22 Zweiundzwanzigeck Ikosidigon nbsp N23 Dreiundzwanzigeck Ikositrigon nbsp N24 Vierundzwanzigeck Ikositetragon nbsp J25 Funfundzwanzigeck Ikosipentagon nbsp N26 Sechsundzwanzigeck Ikosihexagon nbsp N27 Siebenundzwanzigeck Ikosiheptagon nbsp N28 Achtundzwanzigeck Ikosioktogon nbsp N englisch icosioctagon29 Neunundzwanzigeck Ikosienneagon nbsp N30 Dreissigeck Triakontagon nbsp J32 Zweiunddreissigeck Triakontadigon nbsp J34 Vierunddreissigeck Triakontatetragon nbsp J40 Vierzigeck Tetrakontagon nbsp J48 Achtundvierzigeck Tetrakontaoktogon nbsp J englisch tetracontaoctagon50 Funfzigeck Pentakontagon nbsp N51 Einundfunfzigeck Pentakontahenagon nbsp J56 Sechsundfunfzigeck Pentakontahexagon nbsp N60 Sechzigeck Hexakontagon nbsp J64 Vierundsechzigeck Hexakontatetragon nbsp J68 Achtundsechzigeck Hexakontaoktogon nbsp J englisch hexacontaoctagon70 Siebzigeck Heptakontagon nbsp N80 Achtzigeck Oktokontagon nbsp J englisch octacontagon85 Funfundachtzigeck Oktokontapentagon nbsp J englisch octacontapentagon90 Neunzigeck Enneakontagon nbsp N96 Sechsundneunzigeck Enneakontahexagon nbsp J100 Hunderteck Hektogon nbsp N257 257 Eck nbsp J Vierte Fermatsche Primzahl 257 223 11 000 Tausendeck Chiliagon nbsp N10 000 Zehntausendeck Myriagon nbsp N65 537 65 537 Eck nbsp J Funfte Fermatsche Primzahl 65537 224 1100 000 Hunderttausendeck nbsp N1 000 000 Millioneck Megagon nbsp N4 294 967 295 4 294 967 295 Eck nbsp J Das Produkt aus den funf Fermatschen Primzahlen 3 5 17 257 65537 4294967295 232 1 liefert die grosste bekannte ungerade Eckenanzahl die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist10100 Googoleck Googolgon nbsp N Eckenzahl eine 1 mit 100 Nullen Unendlicheck Apeirogon nbsp N Theoretische Grenzform mit unendlich vielen SeitenWeitere Typen Bearbeiten nbsp Klassifikation von PolygonenUberschlagenes Polygon Bei einfachen Polygonen beruhren sich die Kanten nur in den Eckpunkten bei uberschlagenen Polygonen haben die Kanten zusatzliche Schnittpunkte durch Uberschneidung Nicht uberschlagenes Polygon Nicht uberschlagene Vielecke konnen konvex alle Innenwinkel sind kleiner als 180 oder nichtkonvex mindestens ein Innenwinkel ist grosser als 180 sein Planares Polygon In der Ebene liegendes planares Polygon Nicht planares Polygon Im Raum liegendes nicht planares Polygon Polygone konnen gleichseitig oder gleichwinklig sein Regelmassiges Polygon Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel dann wird es als regelmassiges Polygon oder regulares Polygon bezeichnet Sternpolygon Planare uberschlagene regulare Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet Orthogonales Polygon Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander das heisst der Innenwinkel betragt an jeder Kante entweder 90 oder 270 Eigenschaften BearbeitenWinkel Bearbeiten In einem nicht uberschlagenen ebenen n displaystyle n nbsp Eck ist die Summe der Innenwinkel a 1 a n n 2 180 displaystyle alpha 1 dotsb alpha n n 2 cdot 180 circ nbsp Fur die Summe der Aussenwinkel gilt dann unabhangig von der Zahl der Ecken a 1 a n 360 displaystyle alpha 1 dotsb alpha n 360 circ nbsp Sind daruber hinaus alle Innen und Aussenwinkel gleich gross so haben diese den Wert a n 2 n 180 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ nbsp bzw a 1 n 360 displaystyle alpha frac 1 n cdot 360 circ nbsp Diagonalen Bearbeiten Fur nicht uberschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Uberlegung Jede der n displaystyle n nbsp Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden Die Verbindung von Ecke P a displaystyle P a nbsp zur Ecke P b displaystyle P b nbsp ist mit der Verbindung von P b displaystyle P b nbsp nach P a displaystyle P a nbsp identisch Genau n displaystyle n nbsp Verbindungen sind Seiten des Polygons Also hat ein nicht uberschlagenes n displaystyle n nbsp Eck genau n n 1 2 n n n 3 2 displaystyle tfrac n cdot n 1 2 n tfrac n cdot n 3 2 nbsp Diagonalen Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es im Bereich eines uberstumpfen Innenwinkels Diagonalen ausserhalb des Polygons Umfang Bearbeiten Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten x i y i displaystyle x i y i nbsp gegeben sind kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlangen bestimmt werden U x 1 x n 2 y 1 y n 2 i 1 n 1 x i 1 x i 2 y i 1 y i 2 displaystyle mathrm U sqrt x 1 x n 2 y 1 y n 2 sum i 1 n 1 sqrt x i 1 x i 2 y i 1 y i 2 nbsp Flache Bearbeiten Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten x i y i displaystyle x i y i nbsp gegeben sind kann die Flache des Polygons nach der gaussschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden A 1 2 i 1 n y i y i 1 x i x i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n y i y i 1 x i x i 1 nbsp A 1 2 i 1 n x i y i 1 x i 1 y i 1 2 i 1 n x i x i 1 y i y i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n x i y i 1 x i 1 y i frac 1 2 sum i 1 n begin vmatrix x i amp x i 1 y i amp y i 1 end vmatrix nbsp A 1 2 i 1 n y i x i 1 x i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n y i x i 1 x i 1 nbsp In den Formeln gilt P 0 P n P n 1 P 1 displaystyle P 0 P n P n 1 P 1 nbsp Der Flacheninhalt von Gitterpolygonen deren Ecken alle auf einem Gitter liegen kann mit dem Satz von Pick berechnet werden Algorithmen BearbeitenFlacheninhalt Bearbeiten Insbesondere fur die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaussschen Trapezformel besonders geeignet da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann Die Modulo Funktion ist hier notig um sogenannte Off by one Fehler bei der Array Indizierung auszuschliessen Dabei sind x i y i displaystyle x i y i nbsp i 0 n 1 displaystyle i 0 dotsc n 1 nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp die Koordinaten der n 3 displaystyle n geq 3 nbsp Eckpunkte des Polygons A 1 2 i 0 n 1 y i y i 1 mod n x i x i 1 mod n displaystyle A frac 1 2 left sum i 0 n 1 y i y i 1 bmod n x i x i 1 bmod n right nbsp Konvexe Hulle Bearbeiten nbsp Konvexe Hulle von Punkten in der EbeneAlgorithmen fur die Ermittlung der konvexen Hulle von n displaystyle n nbsp Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von W n log n displaystyle Omega n log n nbsp Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von n displaystyle n nbsp Zahlen siehe Sortierverfahren Liegen nur k displaystyle k nbsp der n displaystyle n nbsp Punkte auf dem Rand der konvexen Hulle ist die Schranke bei W n log k displaystyle Omega n log k nbsp Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hulle Graham Scan Algorithmus Gift Wrapping Algorithmus QuickHull Inkrementeller Algorithmus Chans AlgorithmusPunkt im Polygon Bearbeiten nbsp Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an ob sich der Punkt innerhalb oder ausserhalb des Polygons befindet Es gibt einen einfachen Algorithmus mit dem gepruft werden kann ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist Wenn die Anzahl gerade ist befindet sich der Punkt ausserhalb Verwendung BearbeitenIn der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hulle und das minimal umgebende Rechteck In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen moglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet oder dieser ausgeschlossen erst anschliessend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet In der 3D Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige auch gekrummte Oberflachen als Polygonnetz modelliert Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflachen konnen allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen In der Architektur werden regelmassige Polygone oft als Grundriss verwendet Bekannte Beispiele 5 Eck Pentagon in Arlington Virginia 8 Eck Castel del Monte in Apulien Italien 10 Eck St Gereon Koln Nordrhein Westfalen 12 Eck Saarpolygon Steinkohlebergbau Gedenkmonument in Ensdorf Saar Saarland 16 Eck Leuchtturm Huisduinen bei Den Helder Niederlande 18 Eck Befreiungshalle in Kelheim Bayern 30 Eck Wiener Riesenrad in Wien OsterreichBeispiele fur Polygone im Maschinenbau BearbeitenWeiterhin wird der Begriff Polygon auch analog fur die Verwendung als formschlussige polygonale Welle Nabe Verbindung im Maschinenbau genutzt Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar Beispiele fur Polygone in der Geographie Bearbeiten nbsp US Bundesstaaten mit polygonalen UmrissenDie Grenzen der US Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden naherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons Siehe auch BearbeitenKonstruierbares Polygon PolyederWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Polygon Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Polygon Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wiktionary Vieleck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Polygon In MathWorld englisch Zur Mathematik unregelmassiger Polygone Online Berechnung von ebenen Polygonen mit grafischer AusgabeEinzelnachweise Bearbeiten Wilhelm Gemoll Griechisch Deutsches Schul und Handworterbuch G Freytag Verlag Holder Pichler Tempsky Munchen Wien 1965 Dieter Nesselmann 1 Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie Satz 1 1 3 In Manuskript zur Vorlesung Universitat Rostock 22 Februar 2010 S 4 5 abgerufen am 23 Oktober 2021 Normdaten Sachbegriff GND 4175197 8 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polygon amp oldid 235734605