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4294967295 Eck Das regelmäßige 4 Milliarden 294 Millionen 967 Tausend 295 Eck ist das regelmäßige Polygon mit der soweit

4294967295-Eck

Das regelmäßige 4294967295-Eck (4-Milliarden-294-Millionen-967-Tausend-295-Eck) ist das regelmäßige Polygon mit der – soweit bekannt – größten ungeraden Eckenanzahl, welches sich theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.

Die Arbeiten von Gauß und Wantzel Bearbeiten

Seit der Antike war bekannt, dass sich gleichseitige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke mit Lineal und Zirkel, ohne Zuhilfenahme anderer Hilfsmittel, konstruieren lassen. Im Jahr 1796 bewies der damals 19-jährige Carl Friedrich Gauß, dass dies auch für das reguläre Siebzehneck möglich ist. Einige Jahre später führte er in seinen Disquisitiones Arithmeticae den allgemeineren Beweis, dass sich ein regelmäßiges Polygon genau dann konstruieren lässt, wenn seine Eckenanzahl als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen, also Primzahlen der Form , darstellbar ist. Diesen Beweis vervollständigte 1837 der französische Mathematiker Pierre Wantzel.

Zurzeit sind nur die Fermatschen Primzahlen bekannt. Diese 5-elementige Menge hat genau nichtleere Teilmengen, somit lassen sich mit Zirkel und Lineal genau 31 regelmäßige Polygone mit ungerader Eckenanzahl konstruieren. Das größte Produkt aus paarweise voneinander verschiedenen Zahlen dieser Menge ist , die größtmögliche Eckenanzahl ist also 4294967295. Ob sich noch weitere regelmäßige Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruieren lassen, ist unbekannt und hängt von der Frage ab, ob es noch andere als die fünf bekannten Fermatschen Primzahlen gibt – ein bisher ungelöstes mathematisches Problem.

Für regelmäßige Polygone mit gerader Eckenanzahl lässt sich keine maximale Eckenanzahl für die Konstruierbarkeit angeben, weil gemäß der Formel von Gauß für jedes konstruierbare Polygon mit Ecken auch das Polygon mit Ecken konstruierbar ist. Das bedeutet, dass es unendlich viele konstruierbare regelmäßige Polygone mit gerader Eckenanzahl gibt.

Mathematische Zusammenhänge Bearbeiten

Die Ergebnisse zu Seitenlänge, Inkreisradius und Flächeninhalt beziehen sich auf einen Umkreisradius als Längeneinheit (Einheitskreis).

Entsprechend gilt für die Flächeneinheit

Innenwinkel Bearbeiten

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seiten der Länge eingeschlossen, ist die Anzahl der Seiten bzw. Ecken.

Zentriwinkel Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge eingeschlossen.

Seitenlänge Bearbeiten

Die Seitenlänge ist der Abstand zweier benachbarter Eckpunkte.

Beispiel: Bei einem Umkreisradius hat die Seitenlänge den Wert .

Umfang Bearbeiten

Der Umfang weicht von dem des Umkreises um ab.

Inkreisradius Bearbeiten

Der Inkreisradius ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit dem Umkreisradius als Länge der Schenkel gleich und der der Seitenlänge als Grundlinie:

Flächeninhalt Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu . Für die Berechnung des 4294967295-Ecks gilt

Der Flächeninhalt weicht von der Fläche des Umkreises nur um den Faktor

ab. Beim Einheits-Umkreis sind das

Bei einem Umkreisradius von 1000 km ist die Abweichung also nur 1,12 mm².

Veranschaulichungen Bearbeiten

Würde man ein derartiges Polygon in der Mondumlaufbahn (Bahnlänge ≈ 2.400.000 km) platzieren, dann gäbe es ungefähr alle 56 cm eine Ecke.

Würde man eines um den Erdäquator (Länge ≈ 40.000 km) herum platzieren, dann wäre ungefähr alle 9,3 mm eine Ecke zu finden.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zahlenlexikon. (PDF; 3,8 MB) Abgerufen am 10. April 2020: „4294967295. Nur mit Zirkel und Lineal sind genau 31 Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruierbar. Das größte hat 4294967295 Ecken.“
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Veröffentlichungsdatum:
Das regelmassige 4294967295 Eck 4 Milliarden 294 Millionen 967 Tausend 295 Eck ist das regelmassige Polygon mit der soweit bekannt grossten ungeraden Eckenanzahl welches sich theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruieren lasst 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Arbeiten von Gauss und Wantzel 2 Mathematische Zusammenhange 2 1 Innenwinkel 2 2 Zentriwinkel 2 3 Seitenlange 2 4 Umfang 2 5 Inkreisradius 2 6 Flacheninhalt 3 Veranschaulichungen 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDie Arbeiten von Gauss und Wantzel BearbeitenSeit der Antike war bekannt dass sich gleichseitige Dreiecke Vierecke und Funfecke mit Lineal und Zirkel ohne Zuhilfenahme anderer Hilfsmittel konstruieren lassen Im Jahr 1796 bewies der damals 19 jahrige Carl Friedrich Gauss dass dies auch fur das regulare Siebzehneck moglich ist Einige Jahre spater fuhrte er in seinen Disquisitiones Arithmeticae den allgemeineren Beweis dass sich ein regelmassiges Polygon genau dann konstruieren lasst wenn seine Eckenanzahl als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen also Primzahlen der Form 2 2 n 1 displaystyle 2 2 n 1 nbsp darstellbar ist Diesen Beweis vervollstandigte 1837 der franzosische Mathematiker Pierre Wantzel Zurzeit sind nur die Fermatschen Primzahlen 3 5 17 257 65537 displaystyle 3 5 17 257 65537 nbsp bekannt Diese 5 elementige Menge hat genau 2 5 1 31 displaystyle 2 5 1 31 nbsp nichtleere Teilmengen somit lassen sich mit Zirkel und Lineal genau 31 regelmassige Polygone mit ungerader Eckenanzahl konstruieren Das grosste Produkt aus paarweise voneinander verschiedenen Zahlen dieser Menge ist 3 5 17 257 65537 4294967295 2 32 1 displaystyle 3 cdot 5 cdot 17 cdot 257 cdot 65537 4294967295 2 32 1 nbsp die grosstmogliche Eckenanzahl ist also 4294967295 Ob sich noch weitere regelmassige Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruieren lassen ist unbekannt und hangt von der Frage ab ob es noch andere als die funf bekannten Fermatschen Primzahlen gibt ein bisher ungelostes mathematisches Problem Fur regelmassige Polygone mit gerader Eckenanzahl lasst sich keine maximale Eckenanzahl fur die Konstruierbarkeit angeben weil gemass der Formel von Gauss fur jedes konstruierbare Polygon mit n displaystyle n nbsp Ecken auch das Polygon mit 2 n displaystyle 2 cdot n nbsp Ecken konstruierbar ist Das bedeutet dass es unendlich viele konstruierbare regelmassige Polygone mit gerader Eckenanzahl gibt Mathematische Zusammenhange BearbeitenDie Ergebnisse zu Seitenlange Inkreisradius und Flacheninhalt beziehen sich auf einen Umkreisradius als Langeneinheit 1 L E R 1 displaystyle 1 mathrm LE R 1 nbsp Einheitskreis Entsprechend gilt fur die Flacheneinheit 1 F E R 2 1 displaystyle 1 mathrm FE R 2 1 nbsp Innenwinkel Bearbeiten Der Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seiten der Lange a displaystyle a nbsp eingeschlossen n displaystyle n nbsp ist die Anzahl der Seiten bzw Ecken a n 2 n 180 4294967293 4294967295 180 179 286331129 286331153 179 999 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4629180796077718390 ldots cdot 10 9 mathrm R nbsp Beispiel Bei einem Umkreisradius R 1000 k m displaystyle R 1000 mathrm km nbsp hat die Seitenlange a displaystyle a nbsp den Wert 1 46 m m displaystyle 1 46 mathrm mm nbsp Umfang Bearbeiten Der Umfang weicht von dem des Umkreises um 5 602 8454255198359922307980967513 10 19 L E displaystyle 5 6028454255198359922307980967513 cdot 10 19 mathrm LE nbsp ab Inkreisradius Bearbeiten Der Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit dem Umkreisradius R displaystyle R nbsp als Lange der Schenkel gleich und der der Seitenlange a displaystyle a nbsp als Grundlinie r R cos m 2 1 cos 180 4294967295 1 2 675 1616345541138300375831986184 10 19 L E displaystyle r R cdot cos left frac mu 2 right 1 cdot cos left frac 180 circ 4294967295 right 1 2 6751616345541138300375831986184 cdot 10 19 mathrm LE nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu A D 1 2 a h a displaystyle A Delta tfrac 1 2 a cdot h a nbsp Fur die Berechnung des 4294967295 Ecks gilt A R 2 n 2 sin 360 n displaystyle A R 2 cdot frac n 2 cdot sin left frac 360 circ n right nbsp A R 2 4294967295 2 sin 360 4294967295 displaystyle A R 2 cdot frac 4294967295 2 cdot sin left frac 360 circ 4294967295 right nbsp A R 2 3 141 5926535897932373420742981754 displaystyle A R 2 cdot 3 1415926535897932373420742981754 nbsp A 3 141 5926535897932373420742981754 F E displaystyle A 3 1415926535897932373420742981754 mathrm FE nbsp Der Flacheninhalt weicht von der Flache des Umkreises nur um den Faktor 3 566 8821794054759258295065324085 10 19 displaystyle 3 5668821794054759258295065324085 cdot 10 19 nbsp ab Beim Einheits Umkreis sind das D A A p 0 000 00000000000000112 F E 1 12 10 18 F E displaystyle Delta A A pi 0 00000000000000000112 ldots mathrm FE 1 12 ldots cdot 10 18 mathrm FE nbsp Bei einem Umkreisradius von 1000 km ist die Abweichung also nur 1 12 mm Veranschaulichungen BearbeitenWurde man ein derartiges Polygon in der Mondumlaufbahn Bahnlange 2 400 000 km platzieren dann gabe es ungefahr alle 56 cm eine Ecke Wurde man eines um den Erdaquator Lange 40 000 km herum platzieren dann ware ungefahr alle 9 3 mm eine Ecke zu finden Weblinks BearbeitenFolge A045544 in OEISEinzelnachweise Bearbeiten Zahlenlexikon PDF 3 8 MB Abgerufen am 10 April 2020 4294967295 Nur mit Zirkel und Lineal sind genau 31 Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruierbar Das grosste hat 4294967295 Ecken Abgerufen von https de wikipedia org w index php title 4294967295 Eck amp oldid 221759822