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Pierre Wantzel Pierre Laurent Wantzel 5 Juni 1814 in Paris 21 Mai 1848 ebenda war ein französischer Mathematiker Er ist

Pierre Wantzel

Pierre-Laurent Wantzel (* 5. Juni 1814 in Paris; † 21. Mai 1848 ebenda) war ein französischer Mathematiker. Er ist bekannt für die Lösung von zwei der Klassischen Probleme der antiken Mathematik, die jahrhundertelang offen waren: Unmöglichkeitsbeweise für den allgemeinen Fall von Winkeldreiteilung und Würfelverdopplung.

Leben Bearbeiten

Wantzels Eltern waren Frédéric Wantzel, Professor für angewandte Mathematik an der École speciale du Commerce in Paris, und Marie geb. Aldon-Beaulieu. Der Vater entstammte der Frankfurter Bankiers- und Kaufmannsfamilie Wantzel. Pierre verbrachte seine Kindheit in Écouen nahe Paris.

1826 trat Wantzel in die École des Arts et Métiers de Châlons ein, wo er von Étienne Bobillier in Mathematik unterrichtet wurde. 1828 wechselte er zum Collège Charlemagne. Er war ein lebhafter und brillanter Schüler, der sowohl 1831 einen ersten Preis für einen französischen Aufsatz am Collège Charlemagne als auch für einen lateinischen Aufsatz in einem allgemeinen Wettbewerb erhielt. Er war 1832 Erster bei den Zulassungsprüfungen der École polytechnique (und Erster bei den Prüfungen in den Naturwissenschaften für die Zulassung zur École normale supérieure) und studierte ab 1832 an der École polytechnique. 1834 setzte er sein Studium an der École des ponts et chaussées fort, wo er zum Ingenieur ausgebildet wurde. Danach war er Repetitor und ab 1843 Examinator für Analysis an der École polytechnique; seit 1841 war er außerdem Professor für angewandte Mechanik an der École des ponts et chaussées.

Am 21. Februar 1842 heiratete Wantzel die Tochter seines ehemaligen Lehrers für Griechisch und Latein am Collège Charlemagne (mit dem Namen Lievyns) und wurde Vater zweier Töchter.

Seine Interessen waren weitgespannt: Er vertiefte sich in schottische und deutsche Philosophie, befasste sich neben Mathematik mit Geschichte und Musik und nahm eifrig an Debatten teil. Vor seiner Heirat hatte er einen unregelmäßigen Lebenswandel, der letztlich seine Gesundheit ruinierte. Er widmete sich ganz seinen Studien, schlief kaum, aß nur unregelmäßig und hielt sich mit Kaffee und Opium wach, wie Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant in seinem Nachruf nach seinem frühen Tod beklagte.

Werk Bearbeiten

Schon als Schüler im Alter von 15 Jahren (1829) veröffentlichte Wantzel den Beweis einer weitverbreiteten, aber bis dahin noch unbewiesenen Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln für die Neuausgabe eines Schullehrbuchs von Antoine André Louis Reynaud.

Wantzel zeigte in einer Arbeit von 1837, dass es keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal für die Würfelverdopplung und für die Winkeldreiteilung geben kann. Beides läuft auf den Beweis hinaus, dass es im Allgemeinen nicht möglich ist, kubische Irrationale (Lösungen kubischer Gleichungen) durch Ausdrücke mit Quadratwurzeln darzustellen. Häufig wird das heute mit Galoistheorie gezeigt (nach den unveröffentlichten Arbeiten des 1832 ebenfalls jung verstorbenen Évariste Galois) und läuft dann darauf hinaus, dass eine kubische Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen einen durch drei teilbaren Transzendenzgrad hat, die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen aber zu einem Erweiterungskörper mit dem Grad einer Zweierpotenz gehören und somit verschieden sein müssen. Da dies auf elementaren Teilbarkeitsfragen für natürliche Zahlen beruht, ist in diesem Fall die volle gruppentheoretische „Maschinerie“ der Galoistheorie unnötig.

Weiterhin zeigte er, dass die Anzahl der Seiten eines konstruierbaren Polygons die numerische Bedingung erfüllen muss, ein Produkt aus einer Zweierpotenz und (untereinander) verschiedenen Fermatschen Primzahlen zu sein (ist diese Bedingung erfüllt, so hatte bereits Carl Friedrich Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae gezeigt, ist eine Konstruktion möglich).

Genauer zeigte er, dass durch Zirkel und Lineal konstruierbare Zahlen eine irreduzible polynomiale Gleichung vom Grad () erfüllen müssen; dann zeigte er, dass

  • im Fall der Würfelverdopplung die dafür relevante Gleichung irreduzibel ist und dass
  • im Fall der Winkeldreiteilung die hier relevante Gleichung ebenfalls irreduzibel ist.

Beide Gleichungen sind aber vom Grad 3 und nicht vom Grad .

1845 veröffentlichte Wantzel eine Vereinfachung des Beweises von Niels Henrik Abel für die Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen allgemein (und speziell fünften Grades) durch Radikale zu lösen. Er bezog sich dabei auf Abel, Joseph Liouville und Paolo Ruffini (den er wie viele andere auch schwer verständlich fand), war aber vor allem Abel verpflichtet. Der zweite Teil seines Beweises, der Substitutionstheorie benutzt, ist in der Algèbre supérieure von Joseph Serret dargestellt.

Schriften Bearbeiten

  • Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal), Band 2, 1837, S. 366–372.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Für das dritte Problem, die Quadratur des Kreises, wurde viel später der Unmöglichkeitsbeweis von Ferdinand Lindemann erbracht.
  2. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie: Wantzel. Nouvelles Annales de mathématiques, tome 7 (1848), p. 321.
  3. Bobillier ist u. a. bekannt für seine Arbeiten über algebraische Flächen.
  4. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie: Wantzel. Nouvelles Annales de mathématiques, tome 7 (1848), p. 322–324.
  5. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie: Wantzel. Nouvelles Annales de mathématiques, tome 7 (1848), p. 328.
  6. Siehe Formelsammlung Trigonometrie (Abschnitt Winkelfunktionen für weitere Vielfache), .
  7. Liouville veröffentlichte später (1843) erstmals die Arbeiten von Galois und erkannte deren Bedeutung.
  8. Serret, Algèbre superieure, Band 2, 1885, S. 512.
Personendaten
NAME Wantzel, Pierre
ALTERNATIVNAMEN Wantzel, Pierre Laurent
KURZBESCHREIBUNG französischer Mathematiker
GEBURTSDATUM 5. Juni 1814
GEBURTSORT Paris
STERBEDATUM 21. Mai 1848
STERBEORT Paris
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Veröffentlichungsdatum:
Pierre Laurent Wantzel 5 Juni 1814 in Paris 21 Mai 1848 ebenda war ein franzosischer Mathematiker Er ist bekannt fur die Losung von zwei der Klassischen Probleme der antiken Mathematik die jahrhundertelang offen waren Unmoglichkeitsbeweise fur den allgemeinen Fall von Winkeldreiteilung und Wurfelverdopplung 1 Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Werk 3 Schriften 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseLeben BearbeitenWantzels Eltern waren Frederic Wantzel Professor fur angewandte Mathematik an der Ecole speciale du Commerce in Paris und Marie geb Aldon Beaulieu Der Vater entstammte der Frankfurter Bankiers und Kaufmannsfamilie Wantzel Pierre verbrachte seine Kindheit in Ecouen nahe Paris 2 1826 trat Wantzel in die Ecole des Arts et Metiers de Chalons ein wo er von Etienne Bobillier 3 in Mathematik unterrichtet wurde 1828 wechselte er zum College Charlemagne Er war ein lebhafter und brillanter Schuler der sowohl 1831 einen ersten Preis fur einen franzosischen Aufsatz am College Charlemagne als auch fur einen lateinischen Aufsatz in einem allgemeinen Wettbewerb erhielt Er war 1832 Erster bei den Zulassungsprufungen der Ecole polytechnique und Erster bei den Prufungen in den Naturwissenschaften fur die Zulassung zur Ecole normale superieure und studierte ab 1832 an der Ecole polytechnique 1834 setzte er sein Studium an der Ecole des ponts et chaussees fort wo er zum Ingenieur ausgebildet wurde Danach war er Repetitor und ab 1843 Examinator fur Analysis an der Ecole polytechnique seit 1841 war er ausserdem Professor fur angewandte Mechanik an der Ecole des ponts et chaussees 4 Am 21 Februar 1842 heiratete Wantzel die Tochter seines ehemaligen Lehrers fur Griechisch und Latein am College Charlemagne mit dem Namen Lievyns und wurde Vater zweier Tochter 5 Seine Interessen waren weitgespannt Er vertiefte sich in schottische und deutsche Philosophie befasste sich neben Mathematik mit Geschichte und Musik und nahm eifrig an Debatten teil Vor seiner Heirat hatte er einen unregelmassigen Lebenswandel der letztlich seine Gesundheit ruinierte Er widmete sich ganz seinen Studien schlief kaum ass nur unregelmassig und hielt sich mit Kaffee und Opium wach wie Adhemar Jean Claude Barre de Saint Venant in seinem Nachruf nach seinem fruhen Tod beklagte Werk BearbeitenSchon als Schuler im Alter von 15 Jahren 1829 veroffentlichte Wantzel den Beweis einer weitverbreiteten aber bis dahin noch unbewiesenen Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln fur die Neuausgabe eines Schullehrbuchs von Antoine Andre Louis Reynaud Wantzel zeigte in einer Arbeit von 1837 dass es keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal fur die Wurfelverdopplung und fur die Winkeldreiteilung geben kann Beides lauft auf den Beweis hinaus dass es im Allgemeinen nicht moglich ist kubische Irrationale Losungen kubischer Gleichungen durch Ausdrucke mit Quadratwurzeln darzustellen Haufig wird das heute mit Galoistheorie gezeigt nach den unveroffentlichten Arbeiten des 1832 ebenfalls jung verstorbenen Evariste Galois und lauft dann darauf hinaus dass eine kubische Erweiterung des Korpers der rationalen Zahlen einen durch drei teilbaren Transzendenzgrad hat die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen aber zu einem Erweiterungskorper mit dem Grad einer Zweierpotenz gehoren und somit verschieden sein mussen Da dies auf elementaren Teilbarkeitsfragen fur naturliche Zahlen beruht ist in diesem Fall die volle gruppentheoretische Maschinerie der Galoistheorie unnotig Weiterhin zeigte er dass die Anzahl der Seiten eines konstruierbaren Polygons die numerische Bedingung erfullen muss ein Produkt aus einer Zweierpotenz und untereinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen zu sein ist diese Bedingung erfullt so hatte bereits Carl Friedrich Gauss in seinen Disquisitiones Arithmeticae gezeigt ist eine Konstruktion moglich Genauer zeigte er dass durch Zirkel und Lineal konstruierbare Zahlen eine irreduzible polynomiale Gleichung vom Grad 2 k displaystyle 2 k nbsp k 1 displaystyle k geq 1 nbsp erfullen mussen dann zeigte er dass im Fall der Wurfelverdopplung die dafur relevante Gleichung x 3 2 a 3 0 displaystyle x 3 2a 3 0 nbsp irreduzibel ist und dass im Fall der Winkeldreiteilung die hier relevante Gleichung 6 x 3 3 4 x a 4 0 displaystyle x 3 frac 3 4 x frac a 4 0 nbsp ebenfalls irreduzibel ist Beide Gleichungen sind aber vom Grad 3 und nicht vom Grad 2 k displaystyle 2 k nbsp 1845 veroffentlichte Wantzel eine Vereinfachung des Beweises von Niels Henrik Abel fur die Unmoglichkeit algebraische Gleichungen allgemein und speziell funften Grades durch Radikale zu losen Er bezog sich dabei auf Abel Joseph Liouville 7 und Paolo Ruffini den er wie viele andere auch schwer verstandlich fand war aber vor allem Abel verpflichtet Der zweite Teil seines Beweises der Substitutionstheorie benutzt ist in der Algebre superieure von Joseph Serret dargestellt 8 Schriften BearbeitenRecherches sur les moyens de reconnaitre si un Probleme de Geometrie peut se resoudre avec la regle et le compas Journal de mathematiques pures et appliquees Liouville s Journal Band 2 1837 S 366 372 Demonstration de l impossibilite de resoudre toutes les equations algebriques avec des radicaux Nouvelles Annales de mathematiques Band 4 1845 S 57 65 Literatur BearbeitenAdhemar Jean Claude Barre de Saint Venant Biographie Wantzel PDF 813 kB Nouvelles Annales de mathematiques Band 7 1848 S 321 331 Florian Cajori Pierre Laurent Wantzel In Bull Amer Math Soc Band 24 1918 S 339 347 doi 10 1090 S0002 9904 1918 03088 7 Jesper Lutzen Why was Wantzel overlooked for a century The changing importance of an impossibility result In Historia Mathematica 36 2009 S 374 394 Weblinks BearbeitenJohn J O Connor Edmund F Robertson Pierre Wantzel In MacTutor History of Mathematics archive Einzelnachweise Bearbeiten Fur das dritte Problem die Quadratur des Kreises wurde viel spater der Unmoglichkeitsbeweis von Ferdinand Lindemann erbracht Adhemar Jean Claude Barre de Saint Venant Biographie Wantzel Nouvelles 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