Die Quadratwurzel umgangssprachlich Wurzel englisch square root kurz sqrt einer nichtnegativen Zahl y displaystyle y ist jene eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y displaystyle y ist Das Symbol fur die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen displaystyle sqrt die Quadratwurzel der Zahl y displaystyle y wird also durch y displaystyle sqrt y dargestellt Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term y displaystyle y unter der Wurzel y displaystyle sqrt y als Radikand bezeichnet Weniger verbreitet ist die ausfuhrlichere Schreibweise y 2 displaystyle sqrt 2 y Ausserdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrucken y 1 2 displaystyle y frac 1 2 ist gleichwertig mit y displaystyle sqrt y Zum Beispiel ist wegen 3 2 3 3 9 displaystyle 3 2 3 cdot 3 9 und 3 0 displaystyle 3 geq 0 die Quadratwurzel von 9 displaystyle 9 gleich 3 displaystyle 3 Graph der Quadratwurzelfunktion y x displaystyle y sqrt x In doppeltlogarithmischer Darstellung wird der Graph der Quadratwurzelfunktion zu einer Geraden mit Steigung 1 2 Da die Gleichung x 2 y displaystyle x 2 y fur y gt 0 displaystyle y gt 0 zwei Losungen hat definiert man die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Losungen d h es gilt immer y 0 displaystyle sqrt y geq 0 Damit erreicht man dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist Die beiden Losungen der Gleichung sind somit x 1 y displaystyle x 1 sqrt y und x 2 y displaystyle x 2 sqrt y Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkung zu den Definitionen 2 Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 2 1 Bemerkungen 2 2 Beispiele 2 3 Eigenschaften und Rechenregeln 3 Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 4 Quadratwurzel aus reellen Zahlen mit Zirkel und Lineal 5 Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen 5 1 Definition 5 2 Beispiel Berechnung einer komplexen Quadratwurzel 5 3 Potenzgesetz 6 Quadratwurzeln modulo n 6 1 Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p 6 1 1 Berechnung fur den Fall p mod 4 3 6 1 2 Berechnung fur den Fall p mod 4 1 7 Quadratwurzeln aus Matrizen 8 Quadratwurzel aus einem genaherten Integraloperator 9 Siehe auch 10 Weblinks 11 BelegeVorbemerkung zu den Definitionen BearbeitenBei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berucksichtigen Wenn man sich auf nichtnegative rationale Zahlen beschrankt dann ist die Quadratwurzel in vielen Fallen nicht definiert Schon in der Antike fand man heraus dass etwa die Zahl 2 displaystyle sqrt 2 nbsp keine rationale Zahl sein kann siehe Euklids Beweis der Irrationalitat der Wurzel aus 2 Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl ubereinstimmen Beispielsweise ware wegen 3 2 3 3 9 displaystyle 3 2 3 cdot 3 9 nbsp auch die Zahl 3 displaystyle 3 nbsp ein moglicher Kandidat fur die Quadratwurzel aus 9 displaystyle 9 nbsp Das Symbol fur die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal wahrend des 16 Jahrhunderts benutzt Es wird vermutet dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist das als Abkurzung fur das lateinische Wort radix Wurzel steht Ursprunglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt die waagerechte Verlangerung fehlte Noch Carl Friedrich Gauss verwendete daher Klammern fur kompliziertere Wurzelausdrucke und schrieb zum Beispiel b 2 4 a c displaystyle sqrt b 2 4ac nbsp anstelle von b 2 4 a c displaystyle sqrt b 2 4ac nbsp Im Englischen wird die Quadratwurzel als square root bezeichnet weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung sqrt fur die Quadratwurzelfunktion verwendet wird Quadratwurzeln aus reellen Zahlen Bearbeiten nbsp Schaubild der Quadratfunktion rot und blau Durch Spiegelung allein der blauen Halfte an der Winkelhalbierenden des 1 Quadranten entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion grun Definition Die Quadratwurzel y displaystyle sqrt y nbsp einer nichtnegativen reellen Zahl y displaystyle y nbsp ist diejenige nichtnegative reelle Zahl x displaystyle x nbsp deren Quadrat x 2 x x displaystyle x 2 x cdot x nbsp gleich y displaystyle y nbsp ist Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden Sei q 0 0 x y x 2 displaystyle begin aligned q colon 0 infty amp rightarrow 0 infty x amp mapsto y x 2 end aligned nbsp die bijektive Einschrankung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen Die Umkehrfunktion dieser Funktion q displaystyle q nbsp heisst Quadratwurzelfunktion y x y displaystyle y mapsto x sqrt y nbsp Bemerkungen Bearbeiten Zu beachten ist dass die durch R R x x 2 displaystyle mathbb R rightarrow mathbb R x mapsto x 2 nbsp erklarte Quadratfunktion fur alle reellen Zahlen definiert aber nicht umkehrbar ist Sie ist weder injektiv noch surjektiv Die Einschrankung q displaystyle q nbsp der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von q displaystyle q nbsp auftreten ist die reelle Wurzelfunktion nur fur diese Zahlen definiert Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschrankung von q displaystyle q nbsp auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen Die Einschrankung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von R displaystyle mathbb R nbsp in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben wurde zu anderen Umkehrfunktionen fuhren diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet Beispiele Bearbeiten Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln Radikand Quadratwurzel Radikand Quadratwurzel1 1 121 114 2 144 129 3 169 1316 4 196 1425 5 225 1536 6 256 1649 7 289 1764 8 324 1881 9 361 19100 10 400 20Die Quadratwurzel einer naturlichen Zahl ist entweder ganzzahlig oder irrational Der Beweis erfolgt analog zum Beweis der Irrationalitat der Wurzel aus 2 bei Euklid Eigenschaften und Rechenregeln Bearbeiten Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen eingeschrankten Quadratfunktion a b a b displaystyle sqrt a cdot b sqrt a cdot sqrt b nbsp fur 0 a 0 b displaystyle 0 leq a 0 leq b nbsp a b a b displaystyle sqrt a cdot b sqrt a cdot sqrt b nbsp fur a 0 b 0 displaystyle a leq 0 b leq 0 nbsp 0 a lt b 0 a lt b displaystyle 0 leq a lt b Longleftrightarrow 0 leq sqrt a lt sqrt b nbsp d h die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend a 2 a displaystyle sqrt a 2 a nbsp gilt mit dem reellen Betrag fur beliebige reelle Zahlen a displaystyle a nbsp Dagegen gilt a 2 a displaystyle sqrt a 2 a nbsp nur fur nichtnegatives a displaystyle a nbsp Die Quadratwurzelfunktion ist auf R displaystyle mathbb R nbsp differenzierbar dort gilt d x d x 1 2 x x 2 x displaystyle frac mathrm d sqrt x mathrm d x frac 1 2 sqrt x frac sqrt x 2x nbsp An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar ihr Schaubild besitzt dort eine senkrechte Tangente mit der Gleichung x 0 displaystyle x 0 nbsp Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall a b displaystyle a b nbsp ihres Definitionsbereichs Riemann integrierbar eine ihrer Stammfunktionen ist F x 2 3 x 3 displaystyle F x tfrac 2 3 cdot sqrt x 3 nbsp Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen BearbeitenRationale Naherungs Werte einiger Quadratwurzeln2 49 25 7 5 2 289 144 17 12 2 1681 841 41 29 3 49 16 7 4 3 361 121 19 11 5 81 16 9 4 6 2401 400 49 20 7 64 9 8 3 8 289 36 17 6 10 361 36 19 6 11 100 9 10 3 displaystyle begin array ccccr sqrt 2 amp approx amp sqrt frac 49 25 amp amp frac 7 5 sqrt 2 amp approx amp sqrt frac 289 144 amp amp frac 17 12 sqrt 2 amp approx amp sqrt frac 1681 841 amp amp frac 41 29 sqrt 3 amp approx amp sqrt frac 49 16 amp amp frac 7 4 sqrt 3 amp approx amp sqrt frac 361 121 amp amp frac 19 11 sqrt 5 amp approx amp sqrt frac 81 16 amp amp frac 9 4 sqrt 6 amp approx amp sqrt frac 2401 400 amp amp frac 49 20 sqrt 7 amp approx amp sqrt frac 64 9 amp amp frac 8 3 sqrt 8 amp approx amp sqrt frac 289 36 amp amp frac 17 6 sqrt 10 amp approx amp sqrt frac 361 36 amp amp frac 19 6 sqrt 11 amp approx amp sqrt frac 100 9 amp amp frac 10 3 end array nbsp Selbst dann wenn die Quadratwurzel aus einer naturlichen Zahl gezogen werden soll ist das Ergebnis haufig eine irrationale Zahl deren Dezimalbruchentwicklung also ein nichtperiodischer nicht abbrechender Dezimalbruch ist namlich genau dann wenn das Ergebnis nicht naturlich ist Die Berechnung einer Quadratwurzel die keine rationale Zahl ist besteht also darin einen Naherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen Dazu gibt es eine Reihe von Moglichkeiten Schriftliches Wurzelziehen Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ahnlich dem gangigen Verfahren der schriftlichen Division Intervallschachtelung Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen wenn auch in der praktischen Durchfuhrung sehr muhsam Beispiel Naherungswert fur 2 displaystyle sqrt 2 nbsp Aus 1 2 1 lt 2 displaystyle 1 2 1 lt 2 nbsp und 2 2 4 gt 2 displaystyle 2 2 4 gt 2 nbsp folgt dass 2 displaystyle sqrt 2 nbsp zwischen 1 und 2 liegt Daher probiert man 1 1 2 displaystyle 1 1 2 nbsp 1 2 2 displaystyle 1 2 2 nbsp usw durch Aus 1 4 2 1 96 lt 2 displaystyle 1 4 2 1 96 lt 2 nbsp und 1 5 2 2 25 gt 2 displaystyle 1 5 2 2 25 gt 2 nbsp erkennt man dass 2 displaystyle sqrt 2 nbsp zwischen 1 4 und 1 5 liegen muss Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schliesslich einen Naherungswert mit der gewunschten Genauigkeit 1 414 21356 2 lt 2 lt 1 414 21357 2 2 1 414 21356 displaystyle 1 41421356 2 lt 2 lt 1 41421357 2 Rightarrow sqrt 2 approx 1 41421356 nbsp dd Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren Dieses Iterationsverfahren wird haufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung fur Taschenrechner verwendet da es schnell konvergiert Es handelt sich um das Newton Verfahren zum Auffinden von Nullstellen angewandt auf die Funktion x x 2 a displaystyle x mapsto x 2 a nbsp Taylorreihen Entwicklung Die Taylorreihen Entwicklung der Wurzelfunktion t t displaystyle t mapsto sqrt t nbsp mit Entwicklungsstelle t 1 displaystyle t 1 nbsp kann als Taylor Entwicklung von x 1 x 1 2 displaystyle x mapsto 1 x 1 2 nbsp um die Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp als binomische Reihe n 0 1 2 n x n n 0 2 n n 1 n 1 2 n 1 4 n x n 1 1 2 x 1 8 x 2 1 16 x 3 5 128 x 4 displaystyle sum n 0 infty binom 1 2 n x n sum n 0 infty binom 2n n frac 1 n 1 2n 1 4 n x n 1 frac 1 2 x frac 1 8 x 2 frac 1 16 x 3 frac 5 128 x 4 pm dotsb nbsp dd gefunden werden weil diese Reihe fur x 1 displaystyle x leq 1 nbsp punktweise gegen 1 x displaystyle sqrt 1 x nbsp konvergiert Mit x t 1 displaystyle x t 1 nbsp ergibt dast 1 1 2 t 1 1 8 t 1 2 1 16 t 1 3 5 128 t 1 4 displaystyle sqrt t 1 frac 1 2 t 1 frac 1 8 t 1 2 frac 1 16 t 1 3 frac 5 128 t 1 4 pm dotsb nbsp fur 0 t 2 displaystyle 0 leq t leq 2 nbsp dd Berechnung mittels CORDIC Algorithmus Dieses Verfahren wird vor allem in Rechenwerken FPUs und Mikrocontrollern eingesetzt Quadratwurzel aus reellen Zahlen mit Zirkel und Lineal BearbeitenDie Quadratwurzel kann auch so wie der Potenzwert die Multiplikation und die Division als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden Es ist dabei zu unterscheiden ob eine Zahl a displaystyle a nbsp grosser oder kleiner als die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp ist Im Folgenden werden beide Moglichkeiten beschrieben sowie je ein Beispiel einer Quadratwurzel aus einem Produkt Konstruktion fur a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp Eine Moglichkeit bietet der Kathetensatz Bild 1 Zunachst werden die Zahl a displaystyle a nbsp und die Lange gleich 1 displaystyle 1 nbsp auf einer Zahlengeraden ausgehend von 0 displaystyle 0 nbsp aufgetragen Es folgt ein Halbkreis Thaleskreis uber a A B displaystyle a overline AB nbsp mit Radius r a 2 displaystyle r tfrac a 2 nbsp Nun wird eine Senkrechte auf a displaystyle a nbsp in 1 displaystyle 1 nbsp errichtet die den Halbkreis in C displaystyle C nbsp schneidet Die abschliessende Verbindung des Punktes A displaystyle A nbsp mit C displaystyle C nbsp liefert die Quadratwurzel von a displaystyle a nbsp Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp Gleiches erreicht man mit dem Hohensatz Bild 2 Auf einer Geraden werden zunachst die Lange gleich 1 displaystyle 1 nbsp und die Zahl a displaystyle a nbsp nebeneinander aufgetragen Es folgt der Halbkreis uber die Lange 1 a displaystyle 1 a nbsp Die abschliessende Senkrechte zur Grundlinie in 1 displaystyle 1 nbsp schneidet den Halbkreis Die Lange dieser Senkrechten Hohe eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Quadratwurzel von a displaystyle a nbsp nbsp Bild 1 Wurzel a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp mithilfe des Kathetensatzes nbsp Bild 2 Wurzel a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp mithilfe des Hohensatzes nbsp Bild 3 Wurzel a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp mithilfe des Kathetensatzes Konstruktion fur a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp Hierzu wird der Kathetensatz verwendet Bild 3 Auf einer Zahlengeraden werden zuerst jeweils ausgehend von 0 displaystyle 0 nbsp die Zahl a displaystyle a nbsp sowie die Lange gleich 1 displaystyle 1 nbsp aufgetragen Nach dem Einzeichnen des Halbkreises uber der Lange a 1 displaystyle a 1 nbsp folgt eine Senkrechte auf die Zahlengerade in B displaystyle B nbsp die den Halbkreis in C displaystyle C nbsp schneidet Schliesslich ist die Verbindung des Punktes A displaystyle A nbsp mit C displaystyle C nbsp eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks A 1 C displaystyle A1C nbsp die Quadratwurzel von a displaystyle a nbsp Konstruktion der Quadratwurzel aus einem Produkt nbsp Bild 5 Wurzel aus einem Produkt durch Subtraktion der Faktoren 6 4 mithilfe des Kathetensatzes nbsp Bild 4 Wurzel aus einem Produkt durch Addition der Faktoren 6 4 mithilfe des Hohensatzes oder des geometr Mittels Soll die Quadratwurzel aus einem Produkt ermittelt werden ist dabei zu unterscheiden ob dieses Produkt durch Subtraktion oder durch Addition der Faktoren entstanden ist Zum besseren Verstandnis wurden in den folgenden Beispielen Zahlen fur die Langen a displaystyle a nbsp hellgrun bzw b displaystyle b nbsp dunkelblau eingesetzt Produkt aus Addition der Faktoren mithilfe des Hohensatzes oder des geometrischen Mittels Bild 4 Auf einer Zahlengeraden werden zuerst jeweils ausgehend von 0 displaystyle 0 nbsp die Faktoren 6 displaystyle 6 nbsp und 4 displaystyle 4 nbsp hintereinander aufgetragen Es folgt das Einzeichnen des Halbkreises uber der Strecke 0 10 displaystyle overline 0 10 nbsp Die abschliessende Senkrechte auf die Zahlengerade in 6 displaystyle 6 nbsp liefert als Lange das Ergebnis 24 displaystyle sqrt 24 nbsp Produkt durch Subtraktion der Faktoren und mithilfe des Kathetensatzes Bild 5 Auf einer Zahlengeraden wird zuerst ausgehend von 0 displaystyle 0 nbsp der Faktor 6 displaystyle 6 nbsp aufgetragen und anschliessend der Faktor 4 displaystyle 4 nbsp ausgehend von 6 displaystyle 6 nbsp in Richtung 0 displaystyle 0 nbsp bestimmt dadurch wird der Faktor 6 hellgrun teilweise uberdeckt Es folgt die Senkrechte auf die Zahlengerade in der Differenz 2 displaystyle 2 nbsp sie schneidet den Halbkreis Die abschliessende Verbindung des Faktors 6 displaystyle 6 nbsp mit dem Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Halbkreis liefert als Lange das Ergebnis 24 displaystyle sqrt 24 nbsp Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen Bearbeiten nbsp Das Wurzelziehen entspricht in der komplexen Ebene einer Winkelhalbierung Beispiel i displaystyle sqrt mathrm i nbsp Ist z displaystyle z nbsp eine von Null verschiedene komplexe Zahl so besitzt die Gleichung w 2 z displaystyle w 2 z nbsp genau zwei Losungen fur w displaystyle w nbsp die man auch als Wurzeln oder Quadratwurzeln von z displaystyle z nbsp bezeichnet Diese liegen in der Gaussschen Zahlenebene auf den beiden Schnittpunkten des Kreises um 0 mit dem Radius z textstyle sqrt z nbsp und der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den von 0 displaystyle 0 nbsp ausgehenden Strahlen durch 1 displaystyle 1 nbsp bzw z displaystyle z nbsp Diejenige der beiden Wurzeln die in der rechten Halbebene liegt nennt man den Hauptwert engl principal value der Wurzel Fur negatives reelles z displaystyle z nbsp ist die Wurzel mit positivem Imaginarteil der Hauptwert Schreibt man die komplexe Zahl z displaystyle z nbsp in der Form z r e i f displaystyle z r cdot rm e mathrm i varphi nbsp wobei f displaystyle varphi nbsp und r displaystyle r nbsp reell sind mit r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp und p lt f p displaystyle pi lt varphi leq pi nbsp so gilt fur den Hauptwert der Wurzel w 1 r e i f 2 displaystyle w 1 sqrt r cdot rm e mathrm i varphi 2 nbsp Der zweite Wurzelwert der Nebenwert ergibt sich durch Punktspiegelung 180 Drehung am Nullpunkt w 2 r e i f 2 p displaystyle w 2 sqrt r cdot rm e mathrm i varphi 2 pi nbsp Definition Bearbeiten Die komplexe Funktion Quadriere z q C C z z 2 displaystyle q colon mathbb C rightarrow mathbb C z mapsto z 2 nbsp besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion denn sie ist nicht injektiv aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv das heisst jede komplexe Zahl ist das Quadrat einer komplexen Zahl Man kann daher analog zu den reellen nichtnegativen Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren indem man eine Einschrankung des Definitionsbereichs von q displaystyle q nbsp auf eine Teilmenge D displaystyle D nbsp der komplexen Zahlen vornimmt auf der q displaystyle q nbsp injektiv ist und surjektiv bleibt Je nachdem welche Teilmenge man dafur auswahlt erhalt man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich wenn man als Definitionsbereich von q displaystyle q nbsp D H x i y C x gt 0 oder x 0 und y 0 displaystyle D H x mathrm i y in mathbb C mid x gt 0 text oder x 0 text und y geq 0 nbsp zugrunde legt dies ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene wobei von deren Rand nur die Zahlen mit nichtnegativem Imaginarteil zu D H displaystyle D H nbsp gehoren Die Einschrankung von q displaystyle q nbsp auf D H displaystyle D H nbsp ist eine bijektive Abbildung von D H displaystyle D H nbsp auf die komplexen Zahlen daher ist ihre Umkehrfunktion der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp definiert Den Wert z displaystyle sqrt z nbsp dieser Umkehrfunktion nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von z displaystyle z nbsp Wenn mit z displaystyle sqrt z nbsp eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist dann ist es dieser Hauptwert Ist z displaystyle z nbsp in kartesischen Koordinaten gegeben also z x i y displaystyle z x rm iy nbsp mit reellen Zahlen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp dann ergibt sich z x i y z x 2 i s g n y z x 2 displaystyle sqrt z sqrt x mathrm i y sqrt tfrac z x 2 mathrm i cdot operatorname sgn y cdot sqrt tfrac z x 2 nbsp fur den Hauptwert der Quadratwurzel wobei die Funktion s g n displaystyle operatorname sgn nbsp fur negative y displaystyle y nbsp den Wert 1 und ansonsten also auch fur y 0 displaystyle y 0 nbsp und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion sgn displaystyle operatorname sgn nbsp den Wert 1 hat sgn y 1 fur y 0 1 fur y lt 0 displaystyle operatorname sgn y begin cases 1 amp text fur y geq 0 1 amp text fur y lt 0 end cases nbsp Der einzige Nebenzweig von q displaystyle q nbsp ist z displaystyle sqrt z nbsp Ist z displaystyle z nbsp in Polarkoordinaten gegeben z z e i arg z displaystyle z z cdot mathrm e mathrm i cdot arg z nbsp mit arg z p p displaystyle arg z in pi pi nbsp dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel durch z z e i arg z 2 displaystyle sqrt z sqrt z mathrm e mathrm i cdot arg z 2 nbsp gegeben wobei z textstyle sqrt z nbsp die reelle nichtnegative Quadratwurzel von z displaystyle z nbsp ist Der Nebenwert ergibt sich wieder als z z e i arg z 2 p displaystyle sqrt z sqrt z mathrm e mathrm i cdot arg z 2 pi nbsp Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl Beim Hauptwert wird das Argument arg z displaystyle arg z nbsp der Winkel von z s u halbiert Die andere Losung ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung Das Argument einer komplexen Zahl z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp ist der orientierte Winkel E O Z displaystyle angle EOZ nbsp in der komplexen Zahlenebene die Punkte sind E 1 0 displaystyle E 1 0 nbsp O 0 0 displaystyle O 0 0 nbsp und Z x y displaystyle Z x y nbsp in reellen Koordinaten Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von z displaystyle z nbsp und das Argument von w 1 displaystyle w 1 nbsp farbig gekennzeichnet Komplexe Quadratwurzel nbsp Ein Zweig der Quadratwurzel nbsp Zweiter Zweig nbsp Die Riemannsche Flache der Quadratwurzel lasst erkennen wie die beiden Zweige ineinander ubergehen Beispiel Berechnung einer komplexen Quadratwurzel Bearbeiten nbsp Gesucht sind die Quadratwurzeln aus z 1 i 3 displaystyle z 1 mathrm i sqrt 3 nbsp Zunachst wird der Betrag des Radikanden ermittelt z 1 i 3 1 2 3 2 1 3 4 2 displaystyle z left 1 mathrm i sqrt 3 right sqrt 1 2 sqrt 3 2 sqrt 1 3 sqrt 4 2 nbsp Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu w 1 2 1 2 i s g n 3 2 1 2 1 2 i 1 3 2 2 1 2 i 1 2 3 displaystyle begin aligned w 1 amp sqrt tfrac 2 1 2 mathrm i cdot operatorname sgn sqrt 3 cdot sqrt tfrac 2 1 2 0 3em amp sqrt tfrac 1 2 mathrm i cdot 1 cdot sqrt tfrac 3 2 sqrt 2 cdot left tfrac 1 2 mathrm i cdot tfrac 1 2 sqrt 3 right end aligned nbsp Die andere Wurzel erhalt man durch Vorzeichenumkehr w 2 w 1 2 1 2 i 1 2 3 displaystyle w 2 w 1 sqrt 2 cdot left tfrac 1 2 mathrm i cdot tfrac 1 2 sqrt 3 right nbsp Potenzgesetz Bearbeiten Das Potenzgesetz a b r a r b r P displaystyle a cdot b r a r cdot b r qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad text P nbsp gilt bei r 1 2 displaystyle r 1 2 nbsp nicht fur alle a b C displaystyle a b in mathbb C nbsp auch nicht fur die Hauptwerte der Wurzeln Das sieht man schon an dem sich durch die weitere Spezifizierung a b z displaystyle a b z nbsp ergebenden Spezialfall z 2 z 2 displaystyle sqrt z 2 left sqrt z right 2 nbsp der sich wegen der Identitat z 2 z displaystyle left sqrt z right 2 z nbsp zu z 2 z displaystyle sqrt z 2 z nbsp vereinfachen lasst wonach offenbar schon jede negative Zahl ein Gegenbeispiel liefert etwa z 1 displaystyle z 1 nbsp Wegen 1 2 1 displaystyle 1 2 1 nbsp und arg 1 0 displaystyle arg 1 0 nbsp hat der Hauptwert von 1 2 textstyle sqrt 1 2 nbsp das Argument arg 1 0 2 0 textstyle arg sqrt 1 0 2 0 nbsp wahrend der Hauptwert von 1 displaystyle 1 nbsp das Argument arg 1 p displaystyle arg 1 pi nbsp hat 1 Bemerkungen Da Hauptwerte von Wurzeln aus positiven Radikanden positiv sein mussen zeigt das Gegenbeispiel dass es eine Quadratwurzelfunktion fur die das Potenzgesetz P displaystyle text P nbsp fur alle a b C displaystyle a b in mathbb C nbsp gilt nicht geben kann Fur r 1 2 displaystyle r 1 2 nbsp und beliebige a b C displaystyle a b in mathbb C nbsp kann man in P displaystyle text P nbsp die Vorzeichen von zwei der drei Wurzeln frei wahlen wonach genau eine Moglichkeit fur das Vorzeichen der letzten dritten ubrig bleibt Quadratwurzeln modulo n BearbeitenAuch im Restklassenring Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp lassen sich Quadratwurzeln definieren Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heisst q displaystyle q nbsp eine Quadratwurzel von x displaystyle x nbsp wenn gilt q 2 x mod n displaystyle q 2 equiv x bmod n nbsp Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n displaystyle n nbsp anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln Um die Quadratwurzeln von x displaystyle x nbsp modulo n displaystyle n nbsp zu bestimmen kann man folgendermassen vorgehen Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung n p 1 m 1 p 2 m 2 p k m k displaystyle n p 1 m 1 cdot p 2 m 2 dotsm p k m k nbsp des Moduls n displaystyle n nbsp und anschliessend die Losungen modulo der einzelnen Primzahlpotenzen p m displaystyle p m nbsp Diese Losungen setzt man schliesslich unter Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur gesuchten Losung zusammen Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p Bearbeiten Der Fall p 2 displaystyle p 2 nbsp ist einfach Wegen 0 2 0 1 2 1 displaystyle 0 2 0 1 2 1 nbsp und 1 0 mod 2 displaystyle 1 not equiv 0 bmod 2 nbsp hat modulo 2 jede Zahl eine eindeutig bestimmte Quadratwurzel namlich sich selbst Fur Primzahlen p displaystyle p nbsp ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln von x displaystyle x nbsp so Um zu testen ob x displaystyle x nbsp uberhaupt eine Quadratwurzel in Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp hat berechnet man den Wert des Legendre Symbols x p x p 1 2 mod p displaystyle left frac x p right equiv x frac p 1 2 bmod p nbsp denn es gilt x p 1 wenn x quadratischer Nichtrest modulo p ist 0 wenn x und p nicht teilerfremd sind 1 wenn x ein quadratischer Rest modulo p ist displaystyle left frac x p right begin cases 1 amp text wenn x text quadratischer Nichtrest modulo p text ist 0 amp text wenn x text und p text nicht teilerfremd sind 1 amp text wenn x text ein quadratischer Rest modulo p text ist end cases nbsp Im ersten Falle besitzt x displaystyle x nbsp keine Quadratwurzel in Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0 Der interessante Fall ist also der dritte Fall und daher nehmen wir im Folgenden an dass x p 1 displaystyle bigl tfrac x p bigr 1 nbsp gilt Berechnung fur den Fall p mod 4 3 Bearbeiten Ist das Legendre Symbol x p displaystyle bigl tfrac x p bigr nbsp gleich 1 dann sind q x p 1 4 mod p displaystyle q equiv pm x frac p 1 4 bmod p nbsp die beiden Quadratwurzeln von x displaystyle x nbsp modulo p displaystyle p nbsp Berechnung fur den Fall p mod 4 1 Bearbeiten Ist das Legendre Symbol x p displaystyle bigl tfrac x p bigr nbsp gleich 1 dann sind q x 2 r W p 1 4 W p 3 4 mod p displaystyle q equiv pm frac x 2r left W frac p 1 4 W frac p 3 4 right bmod p nbsp die beiden Quadratwurzeln von x displaystyle x nbsp modulo p displaystyle p nbsp Hierbei wahlt man r displaystyle r nbsp so dass r 2 4 x p 1 displaystyle left frac r 2 4x p right 1 nbsp gilt Dazu kann man einfach verschiedene Werte von r displaystyle r nbsp testen Die Folge W n displaystyle W n nbsp ist rekursiv durch W n r 2 x 2 wenn n 1 W n 2 2 2 wenn n gerade W n 1 2 W n 1 2 W 1 wenn n gt 1 ungerade displaystyle W n begin cases r 2 x 2 amp text wenn n 1 W n 2 2 2 amp text wenn n text gerade W n 1 2 W n 1 2 W 1 amp text wenn n gt 1 text ungerade end cases nbsp definiert Rechenbeispiel fur x 3 displaystyle x 3 nbsp und p 37 displaystyle p 37 nbsp Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von x displaystyle x nbsp durch q x 2 r W 9 W 10 mod 3 7 displaystyle q equiv pm frac x 2r left W 9 W 10 right bmod 3 7 nbsp gegeben Fur r displaystyle r nbsp findet man durch Probieren den Wert r 2 displaystyle r 2 nbsp denn es gilt r 2 4 x p r 2 4 x p 1 2 8 18 36 1 mod 3 7 displaystyle left frac r 2 4x p right equiv r 2 4x frac p 1 2 equiv 8 18 equiv 36 equiv 1 bmod 3 7 nbsp Die Werte fur W 9 displaystyle W 9 nbsp und W 10 displaystyle W 10 nbsp ergeben sich so W 1 r 2 x 2 4 3 2 24 mod 3 7 W 2 W 1 2 2 24 2 2 19 mod 3 7 W 3 W 1 W 2 W 1 24 19 24 25 mod 3 7 W 4 W 2 2 2 19 2 2 26 mod 3 7 W 5 W 2 W 3 W 1 19 25 24 7 mod 3 7 W 9 W 4 W 5 W 1 26 7 24 10 mod 3 7 W 10 W 5 2 2 7 2 2 10 mod 3 7 displaystyle begin matrix W 1 amp equiv amp r 2 x 2 amp equiv amp 4 3 2 amp equiv amp 24 amp bmod 3 7 W 2 amp equiv amp W 1 2 2 amp equiv amp 24 2 2 amp equiv amp 19 amp bmod 3 7 W 3 amp equiv amp W 1 W 2 W 1 amp equiv amp 24 cdot 19 24 amp equiv amp 25 amp bmod 3 7 W 4 amp equiv amp W 2 2 2 amp equiv amp 19 2 2 amp equiv amp 26 amp bmod 3 7 W 5 amp equiv amp W 2 W 3 W 1 amp equiv amp 19 cdot 25 24 amp equiv amp 7 amp bmod 3 7 W 9 amp equiv amp W 4 W 5 W 1 amp equiv amp 26 cdot 7 24 amp equiv amp 10 amp bmod 3 7 W 10 amp equiv amp W 5 2 2 amp equiv amp 7 2 2 amp equiv amp 10 amp bmod 3 7 end matrix nbsp Einsetzen dieser Werte ergibt q x 2 r W 9 W 10 3 4 10 10 15 mod 3 7 displaystyle q equiv pm frac x 2r left W 9 W 10 right equiv pm frac 3 4 10 10 equiv pm 15 bmod 3 7 nbsp Das heisst 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37 Quadratwurzeln aus Matrizen Bearbeiten Hauptartikel Quadratwurzel einer Matrix Als Wurzel einer quadratischen Matrix A displaystyle A nbsp bezeichnet man alle Matrizen B displaystyle B nbsp die mit sich selbst multipliziert A displaystyle A nbsp ergeben A B B B ist Wurzel von A displaystyle A B cdot B Leftrightarrow B text ist Wurzel von A nbsp Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig Betrachtet man aber nur positiv definite symmetrische Matrizen so ist die Wurzelbildung eindeutig Jede positiv definite symmetrische Matrix A displaystyle A nbsp besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel A 1 2 displaystyle A frac 1 2 nbsp Man erhalt sie indem man A displaystyle A nbsp mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert dies ist nach dem Spektralsatz stets moglich und dann die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wahlen Siehe auch Cholesky Zerlegung Die Eindeutigkeit folgt daraus dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist Quadratwurzel aus einem genaherten Integraloperator BearbeitenMan kann die bestimmte Integral Funktion G g i g x i displaystyle G g i g x i nbsp von 0 bis x i displaystyle x i nbsp mit x i i D x displaystyle x i i Delta x nbsp und i 0 1 n 1 displaystyle i 0 1 dotsc n 1 nbsp einer vorgegebenen Funktion F f i f x i displaystyle F f i f x i nbsp die an den aquidistanten Stutzstellen x i displaystyle x i nbsp die Werte f i displaystyle f i nbsp annimmt als Matrizenmultiplikation G F I displaystyle G FI nbsp wie folgt numerisch nahern fur n 4 displaystyle n 4 nbsp G F I g 0 g 1 g 2 g 3 0 g 0 g 1 g 2 0 0 g 0 g 1 0 0 0 g 0 f 0 f 1 f 2 f 3 0 f 0 f 1 f 2 0 0 f 0 f 1 0 0 0 f 0 D x D x D x D x 0 D x D x D x 0 0 D x D x 0 0 0 D x displaystyle G FI begin pmatrix g 0 amp g 1 amp g 2 amp g 3 0 amp g 0 amp g 1 amp g 2 0 amp 0 amp g 0 amp g 1 0 amp 0 amp 0 amp g 0 end pmatrix begin pmatrix f 0 amp f 1 amp f 2 amp f 3 0 amp f 0 amp f 1 amp f 2 0 amp 0 amp f 0 amp f 1 0 amp 0 amp 0 amp f 0 end pmatrix begin pmatrix Delta x amp Delta x amp Delta x amp Delta x 0 amp Delta x amp Delta x amp Delta x 0 amp 0 amp Delta x amp Delta x 0 amp 0 amp 0 amp Delta x end pmatrix nbsp Es ist anschaulich klar dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppelintegral H h i h x i displaystyle H h i h x i nbsp erhalt H G I F I I F I 2 displaystyle H GI FII FI 2 nbsp So kann man die Matrix I displaystyle I nbsp als numerisch genaherten Integraloperator auffassen Die Matrix I displaystyle I nbsp ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet D x 1 0 0 0 D x 1 0 0 0 D x 1 0 0 0 D x displaystyle begin pmatrix Delta x amp 1 amp 0 amp 0 0 amp Delta x amp 1 amp 0 0 amp 0 amp Delta x amp 1 0 amp 0 amp 0 amp Delta x end pmatrix nbsp Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen konnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Losung wie folgt I b a 0 a 1 a 2 a 3 0 a 0 a 1 a 2 0 0 a 0 a 1 0 0 0 a 0 displaystyle I beta begin pmatrix alpha 0 amp alpha 1 amp alpha 2 amp alpha 3 0 amp alpha 0 amp alpha 1 amp alpha 2 0 amp 0 amp alpha 0 amp alpha 1 0 amp 0 amp 0 amp alpha 0 end pmatrix nbsp mit a 0 D x b displaystyle alpha 0 Delta x beta nbsp a k j 1 k G b 1 1 j 1 a k j G j 1 G b j 1 displaystyle alpha k sum j 1 k frac Gamma beta 1 1 j 1 alpha k j Gamma j 1 Gamma beta j 1 nbsp und k 1 2 n 1 displaystyle k 1 2 dotsc n 1 nbsp Darin bezeichnen die Indizes von a displaystyle alpha nbsp die Subdiagonalen 0 ist die Diagonale und der Exponent b displaystyle beta nbsp ist gleich 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp Setzt man D x displaystyle Delta x nbsp als reell und positiv voraus so ist D x 1 2 displaystyle Delta x frac 1 2 nbsp reell und definitionsgemass positiv Damit kann man ein halbes bestimmtes Integral L l i l x i displaystyle L l i l x i nbsp von 0 bis x i displaystyle x i nbsp der Funktion f x displaystyle f x nbsp wie folgt numerisch nahern L F I b l 0 l 1 l 2 l 3 0 l 0 l 1 l 2 0 0 l 0 l 1 0 0 0 l 0 f 0 f 1 f 2 f 3 0 f 0 f 1 f 2 0 0 f 0 f 1 0 0 0 f 0 a 0 a 1 a 2 a 3 0 a 0 a 1 a 2 0 0 a 0 a 1 0 0 0 a 0 displaystyle L FI beta begin pmatrix l 0 amp l 1 amp l 2 amp l 3 0 amp l 0 amp l 1 amp l 2 0 amp 0 amp l 0 amp l 1 0 amp 0 amp 0 amp l 0 end pmatrix begin pmatrix f 0 amp f 1 amp f 2 amp f 3 0 amp f 0 amp f 1 amp f 2 0 amp 0 amp f 0 amp f 1 0 amp 0 amp 0 amp f 0 end pmatrix begin pmatrix alpha 0 amp alpha 1 amp alpha 2 amp alpha 3 0 amp alpha 0 amp alpha 1 amp alpha 2 0 amp 0 amp alpha 0 amp alpha 1 0 amp 0 amp 0 amp alpha 0 end pmatrix nbsp Sucht man alle Operatoren die mit sich selbst multipliziert den angenaherten Integraloperator I displaystyle I nbsp ergeben so muss man zusatzlich das negative Vorzeichen einsetzen das heisst es gibt zwei Losungen I 1 2 displaystyle pm I frac 1 2 nbsp Zum Herleiten der Formel kann man zunachst I displaystyle I nbsp invertieren das Resultat mit b displaystyle beta nbsp potenzieren und zuletzt nochmals invertieren Siehe auch BearbeitenWurzel aus 2 Euklids Beweis fur Irrationalitat von Wurzel 2 Wurzel aus 3 Wurzel Mathematik Modulo Restklassenring Quadratwurzelgesetz von PenroseWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Quadratwurzel Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Quadratwurzel Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenBelege Bearbeiten Die Gultigkeit des Potenzgesetzes P displaystyle text P nbsp fur Quadratwurzeln wird an der zitierten Stelle nicht aber gelegentlich in der Literatur fur negative reelle Radikanden unterstellt Klaus Fritzsche Tutorium Mathematik fur Einsteiger Springer Verlag 2016 ISBN 978 3 662 48910 9 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratwurzel amp oldid 238098281
