Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion von lateinisch signum Zeichen ist in der Mathematik eine Funktion die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet Inhaltsverzeichnis 1 Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen 1 1 Definition 1 2 Rechenregeln 1 3 Ableitung und Integral 2 Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen 2 1 Definition 2 2 Rechenregeln 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseVorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen BearbeitenDefinition Bearbeiten nbsp Graph der VorzeichenfunktionDie reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge 1 0 1 displaystyle 1 0 1 nbsp ab und wird in der Regel wie folgt definiert sgn x 1 falls x gt 0 0 falls x 0 1 falls x lt 0 displaystyle operatorname sgn x begin cases 1 amp text falls quad x gt 0 0 amp text falls quad x 0 1 amp text falls quad x lt 0 end cases nbsp Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert 1 den negativen Zahlen den Wert 1 und der 0 den Wert 0 zu Anwendungsabhangig beispielsweise in der Rechentechnik verwendet man alternative Definitionen fur 0 Diese wird dann den positiven sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 1 nbsp negativen sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 1 nbsp beiden Zahlenbereichen entweder wahlweise sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 1 nbsp sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 1 nbsp oder gleichzeitig sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 pm 1 nbsp oder undefiniert sgn 0 u n d e f displaystyle operatorname sgn 0 mathrm undef nbsp 1 2 zugeordnet Da die Null eine Nullmenge unter dem Lebesgue Mass ist ist dies fur praktische Anwendungen oft nicht von Bedeutung Unabhangig von der Definition der Vorzeichenfunktion die variiert wird in der Gleitkommadarstellung ublicherweise dem Vorzeichen ein Bit zugewiesen Fur den Fall dass sgn 0 1 displaystyle operatorname sgn 0 1 nbsp gesetzt wird besteht folgender Zusammenhang zur Heaviside Funktion 8 x displaystyle Theta x nbsp sgn x 2 8 x 1 displaystyle operatorname sgn x 2 Theta x 1 nbsp Rechenregeln Bearbeiten Durch Fallunterscheidung ist leicht beweisbar Fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp mit Betrag x displaystyle x nbsp gilt x x sgn x sowie x sgn x x displaystyle x x cdot operatorname sgn x text sowie x cdot operatorname sgn x x nbsp Die Signumfunktion ist eine ungerade Funktion sgn x sgn x displaystyle operatorname sgn x operatorname sgn x nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp dd Ist k R displaystyle k in mathbb R nbsp eine Konstante und f displaystyle f nbsp eine ungerade Funktion so istf k x f sgn k k x sgn k f k x displaystyle f k cdot x quad f operatorname sgn k cdot k cdot x quad operatorname sgn k cdot f k cdot x nbsp dd Fur x 0 displaystyle x neq 0 nbsp ist der Ubergang zur reziproken Zahl mit der Signumfunktion vertraglich und andert nichts an deren Wert sgn x 1 sgn x 1 sgn x displaystyle operatorname sgn x 1 operatorname sgn x 1 operatorname sgn x nbsp fur alle 0 x R displaystyle 0 neq x in mathbb R nbsp dd Die Signumfunktion ist mit der Multiplikation vertraglich sgn x sgn y sgn x y displaystyle operatorname sgn x cdot operatorname sgn y operatorname sgn x cdot y nbsp fur alle x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp dd Die Signumfunktion ist idempotent sgn sgn x sgn x displaystyle operatorname sgn operatorname sgn x operatorname sgn x nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp dd Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor x j displaystyle x j nbsp durch sgn x j displaystyle operatorname sgn x j nbsp ersetzen lasst ohne den Funktionswert zu andern sgn x j i x i sgn sgn x j i x i displaystyle operatorname sgn bigg x j cdot prod i x i bigg operatorname sgn bigg operatorname sgn x j cdot prod i x i bigg nbsp fur beliebige x i x j R displaystyle x i x j in mathbb R nbsp Ableitung und Integral Bearbeiten nbsp Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar Fur alle anderen Stellen x 0 displaystyle x neq 0 nbsp ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit sgn x 0 displaystyle operatorname sgn prime x 0 nbsp Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar und ihre Ableitung ist 2 d displaystyle 2 delta nbsp wobei d displaystyle delta nbsp die Delta Distribution bezeichnet Ferner gilt fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp x 0 x sgn t d t displaystyle x int 0 x operatorname sgn t dt nbsp Die Vorzeichenfunktion ist daruber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen BearbeitenDefinition Bearbeiten nbsp Signum von vier komplexen ZahlenIm Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet sgn z z z falls z 0 0 falls z 0 displaystyle operatorname sgn z begin cases frac z z amp text falls quad z neq 0 0 amp text falls quad z 0 end cases nbsp Das Ergebnis dieser Funktion liegt fur z 0 displaystyle z neq 0 nbsp auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert insbesondere gilt sgn r e i f e i f f a l l s r gt 0 displaystyle operatorname sgn left r mathrm e mathrm i varphi right mathrm e mathrm i varphi qquad mathrm falls r gt 0 nbsp Beispiel z 1 2 2 i displaystyle z 1 2 2 mathrm i nbsp im Bild rot sgn z 1 sgn 2 2 i 2 2 i 2 2 i 2 2 i 2 2 1 i 2 2 2 2 2 i displaystyle operatorname sgn z 1 operatorname sgn 2 2 mathrm i frac 2 2 mathrm i left 2 2 mathrm i right frac 2 2 mathrm i 2 sqrt 2 frac 1 mathrm i sqrt 2 frac sqrt 2 2 frac sqrt 2 2 mathrm i nbsp Rechenregeln Bearbeiten Fur die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln Fur alle komplexen Zahlen z displaystyle z nbsp und w displaystyle w nbsp gilt z z sgn z displaystyle z z cdot operatorname sgn z nbsp fur alle z displaystyle z nbsp wobei z displaystyle z nbsp den Betrag von z displaystyle z nbsp bezeichnet sgn z sgn z displaystyle operatorname sgn bar z overline operatorname sgn z nbsp wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet sgn z w sgn z sgn w displaystyle operatorname sgn z cdot w operatorname sgn z cdot operatorname sgn w nbsp insbesondere sgn l z sgn z displaystyle operatorname sgn lambda cdot z operatorname sgn z nbsp fur positive reelle l displaystyle lambda nbsp sgn l z sgn z displaystyle operatorname sgn lambda cdot z operatorname sgn z nbsp fur negative reelle l displaystyle lambda nbsp sgn z sgn z displaystyle operatorname sgn z operatorname sgn z nbsp sgn z sgn z 1 falls z 0 0 falls z 0 displaystyle operatorname sgn z operatorname sgn z begin cases 1 amp text falls quad z neq 0 0 amp text falls quad z 0 end cases nbsp Falls z 0 displaystyle z neq 0 nbsp ist gilt auchsgn z 1 sgn z 1 sgn z displaystyle operatorname sgn z 1 operatorname sgn z 1 overline operatorname sgn z nbsp dd Literatur BearbeitenKonigsberger Analysis 1 6 Auflage Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 40371 X S 101 Hildebrandt Analysis 1 2 Auflage Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 25368 8 S 133 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Algorithmensammlung Zahlentheorie Signum Lern und Lehrmaterialien Eric W Weisstein Sign In MathWorld englisch yark matte Cam McLeman Signum function In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eugene D Denman Alex N Beavers The matrix sign function and computations in systems In Applied Mathematics and Computation Band 2 Nr 1 Elsevier Januar 1976 ISSN 0096 3003 S 63 94 doi 10 1016 0096 3003 76 90020 5 Charles S Kenney Alan J Laub The matrix sign function In IEEE Transactions on Automatic Control Band 40 Nr 8 Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE August 1995 S 1330 1348 doi 10 1109 9 402226 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vorzeichenfunktion amp oldid 236251724
