Die Heaviside Funktion auch Theta Treppen Schwellenwert Stufen Sprung oder Einheitssprungfunktion genannt ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside 1850 1925 benannt Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Alternative Darstellungen 3 Eigenschaften 3 1 Differenzierbarkeit 3 2 Integration 4 Siehe auch 5 WeblinksAllgemeines BearbeitenDie Heaviside Funktion hat fur jede beliebige negative Zahl den Wert null andernfalls den Wert eins Die Heaviside Funktion ist mit Ausnahme der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp uberall stetig In Formeln geschrieben heisst das nbsp Heaviside Funktion8 R 0 1 x 0 x lt 0 1 x 0 displaystyle begin aligned Theta colon amp mathbb R to 0 1 amp x mapsto begin cases 0 amp x lt 0 1 amp x geq 0 end cases end aligned nbsp Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls 0 displaystyle 0 infty nbsp der nichtnegativen reellen Zahlen In der Fachliteratur sind statt 8 x displaystyle Theta x nbsp auch davon abweichende Notationen gelaufig H x displaystyle H x nbsp welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert s x displaystyle s x nbsp und s x displaystyle sigma x nbsp nach der Bezeichnung Sprungfunktion u x displaystyle u x nbsp nach der Bezeichnung englisch unit step function Auch ϵ x displaystyle epsilon x nbsp wird haufig verwendet In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol 1 x displaystyle 1 x nbsp Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside Funktion ergibt sich eine Funktion die links von x 0 displaystyle x 0 nbsp den Wert Null hat deterministische Funktion rechts davon aber mit der ursprunglichen Funktion ubereinstimmt Alternative Darstellungen BearbeitenDen Wert der Heaviside Funktion an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp kann man auch folgendermassen festlegen Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man 8 c R K x 0 x lt 0 c x 0 1 x gt 0 displaystyle begin aligned Theta c colon amp mathbb R to mathbb K amp x mapsto begin cases 0 amp x lt 0 c amp x 0 1 amp x gt 0 end cases end aligned nbsp mit 0 1 c K displaystyle 0 1 c in mathbb K nbsp Es kann K displaystyle mathbb K nbsp also eine beliebige geordnete Menge darstellen solange sie 0 und 1 enthalt Ublicherweise wird jedoch K 0 1 R displaystyle mathbb K 0 1 subset mathbb R nbsp verwendet Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft dass dann 8 c 0 c displaystyle Theta c 0 c nbsp ist Durch die Wahl c 1 2 displaystyle c tfrac 1 2 nbsp und folglich 8 1 2 0 1 2 displaystyle Theta frac 1 2 0 textstyle frac 1 2 nbsp erreicht man dass die Gleichungen 8 1 2 x 1 2 sgn x 1 displaystyle Theta frac 1 2 x tfrac 1 2 operatorname sgn x 1 nbsp und damit auch 8 1 2 x 1 8 1 2 x displaystyle Theta frac 1 2 x 1 Theta frac 1 2 x nbsp fur alle reellen x displaystyle x nbsp gultig sind Eine Integralreprasentation der Heaviside Sprungfunktion lautet wie folgt 8 x lim e 0 1 2 p i 1 t i e e i x t d t displaystyle Theta x lim varepsilon to 0 1 over 2 pi i int infty infty 1 over tau i varepsilon e ix tau mathrm d tau nbsp Eine weitere Reprasentation ist gegeben durch 8 x lim e 0 1 p arctan x e p 2 displaystyle Theta x lim varepsilon to 0 1 over pi left arctan left x over varepsilon right pi over 2 right nbsp Eigenschaften BearbeitenDifferenzierbarkeit Bearbeiten Die Heaviside Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar Dennoch kann man uber die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren Die Ableitung der Heaviside Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta Distribution die in der Physik zur Beschreibung von punktformigen Quellen von Feldern Verwendung findet d d x 8 x d x displaystyle frac mathrm d mathrm d x Theta x delta x nbsp Eine heuristische Begrundung fur diese Formel erhalt man wenn man 8 x displaystyle Theta x nbsp und d x displaystyle delta x nbsp geeignet approximiert z B durch 8 ϵ x 0 x lt ϵ 1 2 x 2 ϵ x ϵ 1 x gt ϵ displaystyle Theta epsilon x begin cases 0 amp x lt epsilon left frac 1 2 frac x 2 epsilon right amp x leq epsilon 1 amp x gt epsilon end cases nbsp sowie d ϵ x 0 x gt ϵ 1 2 ϵ x ϵ displaystyle delta epsilon x begin cases 0 amp x gt epsilon frac 1 2 epsilon amp x leq epsilon end cases nbsp wobei jeweils der Grenzwert lim ϵ 0 displaystyle lim epsilon searrow 0 nbsp betrachtet wird Alternativ kann eine differenzierbare Annaherung an die Heaviside Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden Integration Bearbeiten Eine Stammfunktion der Heaviside Sprungfunktion erhalt man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fallen x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp und x 0 displaystyle x geq 0 nbsp aus der Fallunterscheidung in der Definition Fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp gilt x 8 t d t x 0 falls t lt 0 1 falls t 0 d t 0 0 falls t lt 0 1 falls t 0 d t 0 x 0 falls t lt 0 1 falls t 0 d t 0 0 d t 0 x 1 d t 0 x 1 d t t 0 x x displaystyle begin aligned int infty x Theta left t right mathrm d t amp int infty x left begin alignedat 2 0 amp text amp quad amp text falls t lt 0 1 amp text amp amp text falls t geq 0 end alignedat right mathrm d t int infty 0 left begin alignedat 2 0 amp text amp quad amp text falls t lt 0 1 amp text amp amp text falls t geq 0 end alignedat right mathrm d t int 0 x left begin alignedat 2 0 amp text amp quad amp text falls t lt 0 1 amp text amp amp text falls t geq 0 end alignedat right mathrm d t amp int infty 0 0 mathrm d t int 0 x 1 mathrm d t int 0 x 1 mathrm d t Big t Big 0 x x end aligned nbsp Fur x 0 displaystyle x leq 0 nbsp tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt x 8 t d t x 0 falls t lt 0 1 falls t 0 d t x 0 d t 0 displaystyle int infty x Theta left t right mathrm d t int infty x left begin alignedat 2 0 amp text amp quad amp text falls t lt 0 1 amp text amp amp text falls t geq 0 end alignedat right mathrm d t int infty x 0 mathrm d t 0 nbsp Zusammengenommen gilt also x 8 t d t 0 falls x 0 x falls x gt 0 displaystyle int infty x Theta left t right mathrm d t left begin alignedat 2 0 amp text amp quad amp text falls x leq 0 x amp text amp amp text falls x gt 0 end alignedat right nbsp beziehungsweise x 8 t d t max 0 x displaystyle int infty x Theta left t right mathrm d t max left 0 x right nbsp Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside Funktion ist damit 8 t d t max 0 x C displaystyle int Theta left t right mathrm d t max left 0 x right C nbsp Siehe auch BearbeitenSprungantwort Schwellenwert Elektronik Schwellenwertverfahren Rechteckfunktion Foppl Klammer Vorzeichenfunktion Fermi VerteilungWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Heaviside Step Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Heaviside Funktion amp oldid 227819042
