Die Rechteckfunktion auch rect Funktion ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition Rechteckfunktion rect t P t 0 wenn t gt 1 2 1 2 wenn t 1 2 1 wenn t lt 1 2 displaystyle operatorname rect t Pi t begin cases 0 amp text wenn t gt frac 1 2 3pt frac 1 2 amp text wenn t frac 1 2 3pt 1 amp text wenn t lt frac 1 2 end cases Alternative Definitionen die vor allem im Bereich der Signalverarbeitung ublich sind legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als 1 r e c t d t 1 wenn t 1 2 0 wenn t gt 1 2 displaystyle operatorname rect d t begin cases 1 amp text wenn t leq frac 1 2 3pt 0 amp text wenn t gt frac 1 2 end cases Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Verschiebung und Skalierung 3 Ableitung 4 Weitere Zusammenhange 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseAllgemeines BearbeitenDie Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside Funktion 8 x displaystyle Theta x nbsp ausgedruckt werden als rect t 8 t 1 2 8 1 2 t 8 t 1 2 8 t 1 2 displaystyle operatorname rect t Theta left t frac 1 2 right cdot Theta left frac 1 2 t right Theta left t frac 1 2 right Theta left t frac 1 2 right nbsp Dabei ist 8 0 1 2 displaystyle Theta 0 tfrac 1 2 nbsp gesetzt Die Fourier Transformation der Rechteckfunktion ergibt die sinc Funktion sinc x sin p x p x displaystyle operatorname sinc x sin pi x pi x nbsp F rect t sinc f displaystyle mathcal F operatorname rect t operatorname sinc f nbsp Das gilt auch fur r e c t d t displaystyle operatorname rect d t nbsp Umgekehrt gilt allerdings formal nicht F sinc t rect f displaystyle mathcal F operatorname sinc t operatorname rect f nbsp Denn es ist sinc L 1 R n displaystyle operatorname sinc notin L 1 mathbb R n nbsp und somit darf die Fouriertransformation nicht angewendet werden Verschiebung und Skalierung BearbeitenEine Rechteckfunktion die bei t 0 displaystyle t 0 nbsp zentriert ist und eine Dauer von T displaystyle T nbsp hat wird ausgedruckt durch rect t t 0 T displaystyle operatorname rect left frac t t 0 T right nbsp Ableitung BearbeitenDie Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta Distribution d displaystyle delta nbsp moglich rect t d t 1 2 d t 1 2 displaystyle operatorname rect t delta left t frac 1 2 right delta left t frac 1 2 right nbsp Weitere Zusammenhange BearbeitenDie Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion die Integration eine Rampenfunktion Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen Die mehrfache Faltung mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp Faltungen rect t rect t rect t n mal displaystyle underbrace operatorname rect t operatorname rect t operatorname rect t dotsm n text mal nbsp ergibt fur n displaystyle n to infty nbsp mit einer geeigneten Skalierung die Gausssche Glockenkurve Siehe auch BearbeitenRechteckschwingungWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Rectangle Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Hans Dieter Luke Signalubertragung Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenubertragungssysteme 6 neubearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 58753 5 S 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rechteckfunktion amp oldid 233774518
