Die Dreiecksfunktion auch tri Funktion triangle Funktion oder tent Funktion ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition Dreiecksfunktion tri t t d e f max 1 t 0 1 t t lt 1 0 ansonsten displaystyle begin aligned operatorname tri t land t quad amp overset underset mathrm def max 1 t 0 amp begin cases 1 t amp t lt 1 0 amp mbox ansonsten end cases end aligned Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion rect displaystyle operatorname rect mit sich selbst definiert werden wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist tri t rect t rect t d e f r e c t t r e c t t t d t r e c t t r e c t t t d t displaystyle begin aligned operatorname tri t operatorname rect t operatorname rect t quad amp overset mathrm def int infty infty mathrm rect tau cdot mathrm rect t tau d tau amp int infty infty mathrm rect tau cdot mathrm rect tau t d tau end aligned Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion Durch einen Parameter a 0 displaystyle a neq 0 kann die Dreiecksfunktion skaliert werden tri t a 1 t a t lt a 0 ansonsten displaystyle begin aligned operatorname tri t a amp begin cases 1 t a amp t lt a 0 amp mbox ansonsten end cases end aligned Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverlaufen Anwendung Sie dient dort neben der Gauss Funktion der Heaviside Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett Fenster Die Fourier Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si Funktion F tri t s i 2 p f displaystyle begin aligned mathcal F operatorname tri t amp mathrm si 2 pi f end aligned Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Form 2 Ableitung 3 Dreieckschwingung 4 QuelleAllgemeine Form BearbeitenIm Allgemeinen mochte man die Dreiecksfunktion skalieren Von Interesse sind hierbei die Streckung in x Richtung sowie die Hohe an der Spitze Fur die Streckung ist T displaystyle T nbsp die halbe Periodendauer also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp Die Hohe an der Stelle t 0 displaystyle t 0 nbsp ist durch a tri t t 0 T displaystyle a cdot operatorname tri left frac t t 0 T right nbsp gegeben Ableitung BearbeitenDie Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen rect displaystyle operatorname rect nbsp dar a T rect t t 0 T 2 T rect t t 0 T 2 T displaystyle frac a T left operatorname rect left frac t t 0 T 2 T right operatorname rect left frac t t 0 T 2 T right right nbsp welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen ϵ displaystyle epsilon nbsp darstellen lassen a T ϵ t t 0 T 2 ϵ t t 0 ϵ t t 0 T displaystyle frac a T left operatorname epsilon t t 0 T 2 operatorname epsilon t t 0 operatorname epsilon t t 0 T right nbsp wobei 2 T displaystyle 2T nbsp die Periodendauer t 0 displaystyle t 0 nbsp den Mittelpunkt und a displaystyle a nbsp die Hohe der Dreiecksfunktion darstellen Der Vorfaktor a T displaystyle tfrac a T nbsp tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf Dreieckschwingung BearbeitenEine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls 1 1 displaystyle 1 1 nbsp ergibt im Allgemeinen erganzt um einen konstanten Offset Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthalt keinen Gleichanteil die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich Die Funktion D t 2 a max 1 2 f t mod 2 1 a displaystyle Delta t 2a cdot left max 1 2f cdot t bmod 2 1 right a nbsp bzw die Fourierreihe 8 a p 2 n 1 cos 2 n 1 w t 2 n 1 2 displaystyle frac 8a pi 2 cdot sum n 1 infty frac cos 2n 1 cdot omega cdot t 2n 1 2 nbsp omega mit a displaystyle a nbsp fur die Amplitude und w displaystyle omega nbsp fur die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form a t a sin w t f displaystyle a t widehat a cdot sin omega t varphi nbsp in Einklang gebracht folgt D t 2 a max 1 2 f t T 2 f p 4 p mod 2 1 a displaystyle Delta t 2a cdot left max 1 2f cdot t T frac 2 varphi pi 4 pi bmod 2 1 right a nbsp Quelle BearbeitenHans Dieter Luke Signalubertragung 6 Auflage Springer Verlag 1995 ISBN 3 540 54824 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreiecksfunktion amp oldid 222177438
