Eine schwache Ableitung ist in der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik eine Erweiterung des Begriffs der gewohnlichen klassischen Ableitung Er ermoglicht es Funktionen eine Ableitung zuzuordnen die nicht stark bzw im klassischen Sinne differenzierbar sind Schwache Ableitungen spielen eine grosse Rolle in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Raume schwach differenzierbarer Funktionen sind die Sobolev Raume Ein noch allgemeinerer Begriff der Ableitung ist die Distributionenableitung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Schwache Ableitung fur reelle Funktionen 1 2 Hohere schwache Ableitungen 1 3 Erweiterungen 2 Eigenschaften 2 1 Eindeutigkeit 2 2 Beziehung zur klassischen starken Ableitung 2 3 Existenz 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenSchwache Ableitung fur reelle Funktionen Bearbeiten Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall I a b displaystyle I a b nbsp klassisch differenzierbare Funktion f displaystyle f nbsp deren Ableitung f displaystyle f prime nbsp eine L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp Funktion lokal in I displaystyle I nbsp integrierbar ist und eine Testfunktion f C c I displaystyle varphi in C c infty I nbsp das heisst f displaystyle varphi nbsp ist beliebig oft differenzierbar und besitzt einen kompakten Trager dann gilt I f t f t d t I f t f t d t displaystyle int I f prime t varphi t mathrm d t int I f t varphi prime t mathrm d t nbsp Hierbei wurde die partielle Integration verwendet wobei die Randterme auf Grund der Eigenschaften der Testfunktionen wegfallen f a 0 f b 0 displaystyle left varphi a 0 varphi b 0 right nbsp Lasst man die Forderung an die Integrabilitat der Ableitung weg ist das Integral auf der linken Seite der obigen Gleichung im Allgemeinen nicht wohldefiniert Ist f displaystyle f nbsp selbst eine L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp Funktion dann kann auch wenn f displaystyle f nbsp nicht differenzierbar ist eine Funktion g L l o c 1 I displaystyle g in L mathrm loc 1 I nbsp existieren die die Gleichung I g t f t d t I f t f t d t displaystyle int I g t varphi t mathrm d t int I f t varphi prime t mathrm d t nbsp fur jede Testfunktion f displaystyle varphi nbsp erfullt Eine solche Funktion g displaystyle g nbsp heisst schwache Ableitung von f displaystyle f nbsp Man schreibt wie bei der klassischen Ableitung f g displaystyle f prime g nbsp Hohere schwache Ableitungen Bearbeiten Sinngemass zum oben beschriebenen Fall konnen schwache Ableitungen auch fur Funktionen auf hoherdimensionalen Raumen definiert werden Entsprechend kann man auch die hoheren schwachen Ableitungen definieren Es seien W R n displaystyle Omega subseteq mathbb R n nbsp f W R displaystyle f colon Omega rightarrow mathbb R nbsp eine lokal integrierbare Funktion das heisst f L l o c 1 W displaystyle f in L mathrm loc 1 Omega nbsp und a a 1 a n N 0 n displaystyle alpha alpha 1 dotsc alpha n in mathbb N 0 n nbsp ein Multiindex Eine Funktion g L l o c 1 W displaystyle g in L mathrm loc 1 Omega nbsp heisst a displaystyle alpha nbsp te schwache Ableitung von f displaystyle f nbsp falls fur alle Testfunktionen f displaystyle varphi nbsp gilt W g x f x d x 1 a W f x D a f x d x displaystyle int Omega g x varphi x mathrm d x 1 alpha int Omega f x D alpha varphi x mathrm d x nbsp Hierbei ist a i 1 n a i displaystyle textstyle alpha sum i 1 n alpha i nbsp und D a a a 1 x 1 a n x n displaystyle D alpha frac partial alpha partial alpha 1 x 1 dotso partial alpha n x n nbsp Haufig schreibt man g D a f displaystyle g D alpha f nbsp Man kann statt f g L l o c 1 W displaystyle f g in L mathrm loc 1 Omega nbsp offenbar auch nur f g L p W displaystyle f g in L p Omega nbsp fur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp fordern Die Teilmenge der Funktionen aus L p displaystyle L p nbsp in der n 1 displaystyle n geq 1 nbsp schwache Ableitungen existieren ist ein sogenannter Sobolev Raum Liegt eine Funktion f W R m displaystyle f colon Omega rightarrow mathbb R m nbsp vor so fordert man die schwache Differenzierbarkeit in jeder der m displaystyle m nbsp Bildkomponenten Erweiterungen Bearbeiten Die Definition der schwachen Ableitung lasst sich auf unbeschrankte Mengen also ganz R displaystyle mathbb R nbsp oder R n displaystyle mathbb R n nbsp Raume periodischer Funktionen oder Raume auf der Kugel oder hoherdimensionalen Spharen erweitern In einer weiteren Verallgemeinerung lassen sich auch Ableitungen gebrochener Ordnung gewinnen Eigenschaften BearbeitenEindeutigkeit Bearbeiten Die schwache Ableitung ist wenn sie existiert eindeutig Gabe es zwei schwache Ableitungen g 1 displaystyle g 1 nbsp und g 2 displaystyle g 2 nbsp dann musste nach der Definition I g 1 t g 2 t f t d t 0 displaystyle int I g 1 t g 2 t varphi t mathrm d t 0 nbsp fur alle Testfunktionen f displaystyle varphi nbsp gelten was aber nach dem Lemma von Du Bois Reymond g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 nbsp bedeutet im L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp Sinne d h fast uberall da die Testfunktionen dicht in L p displaystyle L p nbsp liegen fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp Beziehung zur klassischen starken Ableitung Bearbeiten Bei jeder klassisch differenzierbaren Funktion f displaystyle f nbsp deren Ableitung f displaystyle f prime nbsp eine L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp Funktion ist existiert die schwache Ableitung und stimmt mit der klassischen Ableitung uberein so dass man von einer Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs sprechen kann Im Gegensatz zur klassischen Ableitung ist die schwache Ableitung aber nicht punktweise sondern nur fur die ganze Funktion definiert Punktweise muss eine schwache Ableitung nicht einmal existieren Gleichheit ist daher im L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp Sinne zu verstehen d h fast uberall Es lasst sich zeigen dass hinreichend oft vorhandene schwache Differenzierbarkeit auch wieder Differenzierbarkeit im klassischen Sinne nach sich zieht Dies ist gerade die Aussage des Einbettungssatz von Sobolew Unter gewissen Bedingungen existieren Einbettungen eines Sobolew Raums mit n displaystyle n nbsp schwachen Ableitungen in Raume k displaystyle k nbsp fach differenzierbarer Funktionen C k displaystyle C k nbsp mit n gt k 0 displaystyle n gt k geq 0 nbsp Existenz Bearbeiten Eine absolutstetige Funktion besitzt eine schwache Ableitung Beispiele Bearbeiten nbsp Schwache Ableitung AbsolutbetragDie Betragsfunktion f x x displaystyle f x x nbsp vgl Beispiel nicht differenzierbare Funktion ist in jedem Punkt ausser x 0 displaystyle x 0 nbsp klassisch differenzierbar und besitzt daher in dem Intervall a b displaystyle a b nbsp fur a lt 0 lt b displaystyle a lt 0 lt b nbsp keine klassische Ableitung Allerdings gilt fur f a b R displaystyle f prime colon a b to mathbb R nbsp mitf x 1 x lt 0 0 x 0 1 x gt 0 displaystyle f prime x begin cases 1 amp x lt 0 0 amp x 0 1 amp x gt 0 end cases nbsp dd und einer beliebigen Testfunktion f a b R displaystyle varphi colon a b to mathbb R nbsp gerade a b f x f x d x a 0 f x x d x 0 b f x x d x a 0 f x 1 d x 0 b f x 1 d x a b f x f x d x displaystyle begin aligned int a b varphi x cdot f x mathrm d x amp int a 0 varphi x x mathrm d x int 0 b varphi x x mathrm d x amp left int a 0 varphi x cdot 1 mathrm d x int 0 b varphi x cdot 1 mathrm d x right amp int a b varphi x cdot f prime x mathrm d x end aligned nbsp dd Somit ist f displaystyle f prime nbsp eine schwache Ableitung von f displaystyle f nbsp Da 0 displaystyle 0 nbsp eine Nullmenge ist und daher bei der Integration unbedeutend ist kann man den Wert an der Stelle 0 beliebig setzen Die oben gewahlte Ableitung ist die Signumfunktion Die Signumfunktion selbst ist nicht mehr schwach differenzierbar aber man kann sie im Sinne von Distributionen ableiten Die Funktionf x x 2 sin 1 x 2 x 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases x 2 sin left frac 1 x 2 right amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp dd ist klassisch differenzierbar auf dem Intervall I 1 1 displaystyle I 1 1 nbsp aber nicht schwach differenzierbar Das Problem ist dass die Ableitungf x 2 x sin 1 x 2 2 x cos 1 x 2 x 0 0 x 0 displaystyle f prime x begin cases 2x sin left frac 1 x 2 right frac 2 x cos left frac 1 x 2 right amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp dd auf jeder beliebigen 0 displaystyle 0 nbsp enthaltenden kompakten Teilmenge von I displaystyle I nbsp nicht Lebesgue integrierbar ist Damit ist insbesondere das Integral I f t f t d t displaystyle int I f prime t varphi t mathrm d t nbsp nicht fur alle Testfunktionen f C c I displaystyle varphi in C c infty I nbsp wohldefiniert Literatur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin ISBN 978 3 540 72533 6 Lawrence Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society ISBN 0 8218 0772 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwache Ableitung amp oldid 236224403
