Absolut stetige Funktion In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft de

Absolut stetige Funktion

In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft der Stetigkeit. Der Begriff wurde 1905 von Giuseppe Vitali eingeführt und erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue-Integralen.

Definition Bearbeiten

Es sei ein endliches reelles Intervall und eine komplexwertige Funktion auf .

Die Funktion heißt absolut stetig, falls es für jedes ein gibt, welches derart klein ist, dass für jede endliche Folge paarweise disjunkter Teilintervalle von , deren Gesamtlänge ist, gilt

Beziehung zu anderen Stetigkeitsbegriffen Bearbeiten

Absolut stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Die Umkehrung gilt nicht, so ist die Cantor-Funktion stetig, aber nicht absolut stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Absolute Stetigkeit von Maßen Bearbeiten

Von besonderer Bedeutung für die Maßtheorie sind die reellwertigen absolut stetigen Funktionen. Es bezeichne das Lebesgue-Maß. Für monoton steigende reellwertige Funktionen sind folgende Eigenschaften äquivalent:

Die Funktion ist absolut stetig auf .
Die Funktion bildet -Nullmengen wieder auf Nullmengen ab, d. h. für alle messbare Mengen gilt .
Die Funktion ist -fast überall differenzierbar, die Ableitungsfunktion ist integrierbar und für alle gilt .

Daraus folgt ein enger Zusammenhang zwischen den absolut stetigen Funktionen und den absolut stetigen Maßen, dieser wird durch die Verteilungsfunktionen vermittelt.

Zwei Maße nennt man äquivalent, wenn beide absolut stetig bezüglich einander sind

Lebesgue-Integrale Bearbeiten

Die absolut stetigen Funktionen finden auch Anwendung in der Integrationstheorie, sie dienen dort dazu den Fundamentalsatz der Analysis auf Lebesgue-Integrale auszudehnen. Jenseits der obigen Äquivalenz sind nämlich auch nicht-monotone absolut stetige Funktionen fast überall differenzierbar und es gilt . Außerdem ist schwach differenzierbar und die schwache Ableitung stimmt (fast überall) mit überein. Dies liefert tatsächlich eine Charakterisierung der Lebesgue-Integrierbarkeit, denn die folgende Umkehrung gilt ebenfalls für beliebige Funktionen:

Optimale Steuerung Bearbeiten

In der Theorie der optimalen Steuerungen wird gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

Literatur Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

Giuseppe Vitali: Opere sull'analisi reale e complessa. Edizioni Cremonese, Bologna 1984
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 281.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 00:25 am

In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verscharfung der Eigenschaft der Stetigkeit Der Begriff wurde 1905 von Giuseppe Vitali eingefuhrt 1 2 und erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue Integralen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beziehung zu anderen Stetigkeitsbegriffen 3 Absolute Stetigkeit von Massen 4 Lebesgue Integrale 5 Optimale Steuerung 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein endliches reelles Intervall und f I C displaystyle f colon I to mathbb C nbsp eine komplexwertige Funktion auf I displaystyle I nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst absolut stetig falls es fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp gibt welches derart klein ist dass fur jede endliche Folge paarweise disjunkter Teilintervalle x k y k 1 k n displaystyle x k y k 1 leq k leq n nbsp von I displaystyle I nbsp deren Gesamtlange k 1 n y k x k lt d displaystyle textstyle sum k 1 n y k x k lt delta nbsp ist gilt k 1 n f y k f x k lt e displaystyle sum k 1 n left f y k f x k right lt varepsilon nbsp Beziehung zu anderen Stetigkeitsbegriffen BearbeitenAbsolut stetige Funktionen sind gleichmassig stetig und damit insbesondere stetig Die Umkehrung gilt nicht so ist die Cantor Funktion stetig aber nicht absolut stetig Andererseits ist jede Lipschitz stetige Funktion auch absolut stetig Absolute Stetigkeit von Massen BearbeitenVon besonderer Bedeutung fur die Masstheorie sind die reellwertigen absolut stetigen Funktionen Es bezeichne l displaystyle lambda nbsp das Lebesgue Mass Fur monoton steigende reellwertige Funktionen f I a b R displaystyle f colon I a b to mathbb R nbsp sind folgende Eigenschaften aquivalent Die Funktion f displaystyle f nbsp ist absolut stetig auf I displaystyle I nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp bildet l displaystyle lambda nbsp Nullmengen wieder auf Nullmengen ab d h fur alle messbare Mengen A I displaystyle A subseteq I nbsp gilt l A 0 l f A 0 displaystyle lambda A 0 implies lambda f A 0 nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp ist l displaystyle lambda nbsp fast uberall differenzierbar die Ableitungsfunktion f L 1 l displaystyle f in L 1 lambda nbsp ist integrierbar und fur alle x I displaystyle x in I nbsp gilt f x f a a x f t d l t displaystyle textstyle f x f a int a x f t mathrm d lambda t nbsp Daraus folgt ein enger Zusammenhang zwischen den absolut stetigen Funktionen und den absolut stetigen Massen dieser wird durch die Verteilungsfunktionen vermittelt Ein Mass m displaystyle mu nbsp ist genau dann absolut stetig bzgl l displaystyle lambda nbsp wenn jede Einschrankung der Verteilungsfunktion von m displaystyle mu nbsp auf ein endliches Intervall I R displaystyle I subset mathbb R nbsp eine absolut stetige Funktion auf I displaystyle I nbsp ist Zwei Masse nennt man aquivalent wenn beide absolut stetig bezuglich einander sind m l m l l m displaystyle mu sim lambda iff mu ll lambda wedge lambda ll mu nbsp Lebesgue Integrale BearbeitenDie absolut stetigen Funktionen finden auch Anwendung in der Integrationstheorie sie dienen dort dazu den Fundamentalsatz der Analysis auf Lebesgue Integrale auszudehnen Jenseits der obigen Aquivalenz sind namlich auch nicht monotone absolut stetige Funktionen fast uberall differenzierbar und es gilt f x f a a x f d l displaystyle textstyle f x f a int a x f mathrm d lambda nbsp Ausserdem ist f displaystyle f nbsp schwach differenzierbar und die schwache Ableitung stimmt fast uberall mit f displaystyle f nbsp uberein Dies liefert tatsachlich eine Charakterisierung der Lebesgue Integrierbarkeit denn die folgende Umkehrung gilt ebenfalls fur beliebige Funktionen Besitzt eine Funktion f I a b R displaystyle f colon I a b to mathbb R nbsp eine integrierbare Ableitungsfunktion f L 1 displaystyle f in L 1 nbsp und gilt fur alle x I displaystyle x in I nbsp dass f x f a a x f t d l t displaystyle textstyle f x f a int a x f t mathrm d lambda t nbsp so ist f displaystyle f nbsp notwendig absolut stetig auf I displaystyle I nbsp Optimale Steuerung BearbeitenIn der Theorie der optimalen Steuerungen wird gefordert dass die Losungstrajektorien absolut stetig sind Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 21390 2 Walter Rudin Real and Complex Analysis 3 Auflage McGraw Hill New York 1987 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Giuseppe Vitali Opere sull analisi reale e complessa Edizioni Cremonese Bologna 1984 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 21390 2 S 281 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Absolut stetige Funktion amp oldid 234018138