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Fast überall Die Sprechweise dass eine Eigenschaft fast überall gilt stammt aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Math

Fast überall

Die Sprechweise, dass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, und ist eine Abschwächung dafür, dass die Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt.

Sie bezeichnet häufig bei unendlichen Grundmengen, dass die Eigenschaft für alle außer für endliche viele Elemente gilt (siehe Fast alle). Im Folgenden wird die Definition in der Maßtheorie behandelt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum und eine Eigenschaft , die für alle Elemente von sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft fast überall (oder -fast überall oder für -fast alle Elemente) gilt, wenn es eine -Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement der Nullmenge die Eigenschaft haben.

Bemerkung Bearbeiten

Wichtig ist, dass die Eigenschaft wirklich für alle , also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

Beispiele Bearbeiten

Lebesgue-Maß Bearbeiten

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum , das heißt das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

so konvergiert diese auf gegen 0, auf der Punktmenge ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie -fast überall gegen 0.

Die Dirichlet-Funktion

auf dem Einheitsintervall ist -fast überall gleich 0, denn .

Dirac-Maß Bearbeiten

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 (). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall ist eine -Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge -fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist -fast überall gleich 1, denn .

Die Wahl und Angabe des verwendeten Maßes ist also essentiell für die Verwendung der Sprechweise „fast überall“.

Abzählbar-Maß Bearbeiten

Für eine beliebige Menge ist ein Maßraum, wobei für alle definiert wird:

Der Begriff „-fast alle“ bedeutet dann: Für alle Elemente, mit Ausnahme von höchstens abzählbar vielen.

Ein analoger Maßbegriff zu „fast alle“ mit der Bedeutung „für alle Elemente bis auf endlich viele Ausnahmen“ ist über Maße nicht möglich. Eine derartige Funktion

ist für unendliche nicht σ-additiv.

Fast sicher Bearbeiten

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder -fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

Anwendung Bearbeiten

Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum und eine messbare Funktion .

Beweis: Wäre nicht fast überall, so wäre und es gäbe ein mit . Da , folgt , im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss fast überall sein.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Sprechweise dass eine Eigenschaft fast uberall gilt stammt aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik und ist eine Abschwachung dafur dass die Eigenschaft fur alle Elemente einer Menge gilt Sie bezeichnet haufig bei unendlichen Grundmengen dass die Eigenschaft fur alle ausser fur endliche viele Elemente gilt siehe Fast alle Im Folgenden wird die Definition in der Masstheorie behandelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Beispiele 3 1 Lebesgue Mass 3 2 Dirac Mass 3 3 Abzahlbar Mass 4 Fast sicher 5 Anwendung 6 Siehe auch 7 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Massraum W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp und eine Eigenschaft E displaystyle E nbsp die fur alle Elemente von W displaystyle Omega nbsp sinnvoll definiert werden kann Man sagt nun dass die Eigenschaft E displaystyle E nbsp fast uberall oder m displaystyle mu nbsp fast uberall oder fur m displaystyle mu nbsp fast alle Elemente gilt wenn es eine m displaystyle mu nbsp Nullmenge N displaystyle N nbsp gibt sodass alle Elemente im Komplement N C displaystyle N C nbsp der Nullmenge die Eigenschaft haben Bemerkung BearbeitenWichtig ist dass die Eigenschaft E displaystyle E nbsp wirklich fur alle w W displaystyle omega in Omega nbsp also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann Ausserdem wird insbesondere nicht gefordert dass die Menge auf der E displaystyle E nbsp nicht gilt messbar ist Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein Bei vollstandigen Massen fallt beides zusammen Beispiele BearbeitenLebesgue Mass Bearbeiten Betrachten wir als Beispiel den Massraum 0 1 B 0 1 l displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 lambda nbsp das heisst das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1 versehen mit der Borelschen s Algebra und dem Lebesgue Mass Betrachtet man nun die Funktionenfolge f n x x n displaystyle f n x x n nbsp so konvergiert diese auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp gegen 0 auf der Punktmenge 1 displaystyle 1 nbsp ist sie konstant 1 Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue Nullmenge ist und die Funktionenfolge auf dem Komplement im Massraum der 1 gegen 0 konvergiert so konvergiert sie l displaystyle lambda nbsp fast uberall gegen 0 Die Dirichlet Funktion D x 1 wenn x rational 0 wenn x irrational displaystyle D x begin cases 1 amp mbox wenn x mbox rational 0 amp mbox wenn x mbox irrational end cases nbsp auf dem Einheitsintervall ist l displaystyle lambda nbsp fast uberall gleich 0 denn l x 0 1 D x 0 l 0 1 Q 0 displaystyle lambda x in 0 1 D x not 0 lambda 0 1 cap mathbb Q 0 nbsp Dirac Mass Bearbeiten Wir wahlen wieder denselben Massraum wie oben diesmal versehen mit dem Dirac Mass auf der 1 m 2 d 1 displaystyle mu 2 delta 1 nbsp Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Mass genau das gegenteilige Ergebnis Das Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ist eine d 1 displaystyle delta 1 nbsp Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge 1 displaystyle 1 nbsp mit Mass 1 konstant Damit ist die Funktionenfolge d 1 displaystyle delta 1 nbsp fast uberall konstant Die Dirichlet Funktion ist d 1 displaystyle delta 1 nbsp fast uberall gleich 1 denn d 1 x 0 1 D x 1 d 1 0 1 Q 0 displaystyle delta 1 x in 0 1 D x not 1 delta 1 0 1 setminus mathbb Q 0 nbsp Die Wahl und Angabe des verwendeten Masses ist also essentiell fur die Verwendung der Sprechweise fast uberall Abzahlbar Mass Bearbeiten Fur eine beliebige Menge X displaystyle X nbsp ist X P X m ℵ 0 displaystyle X mathcal P X mu leq aleph 0 nbsp ein Massraum wobei fur alle A X displaystyle A subseteq X nbsp definiert wird m ℵ 0 A 0 wenn A abzahlbar wenn A uberabzahlbar displaystyle mu leq aleph 0 A begin cases 0 amp mbox wenn A mbox abzahlbar infty amp mbox wenn A mbox uberabzahlbar end cases nbsp Der Begriff m ℵ 0 displaystyle mu aleph 0 nbsp fast alle bedeutet dann Fur alle Elemente mit Ausnahme von hochstens abzahlbar vielen Ein analoger Massbegriff zu fast alle mit der Bedeutung fur alle Elemente bis auf endlich viele Ausnahmen ist uber Masse nicht moglich Eine derartige Funktion m lt ℵ 0 A 0 wenn A endlich wenn A unendlich displaystyle mu lt aleph 0 A begin cases 0 amp mbox wenn A mbox endlich infty amp mbox wenn A mbox unendlich end cases nbsp ist fur unendliche X displaystyle X nbsp nicht s additiv Fast sicher BearbeitenIn der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp eine Eigenschaft die fast uberall gilt auch als fast sichere oder P displaystyle P nbsp fast sichere Eigenschaft bezeichnet Anwendung BearbeitenAls typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Massraum 0 1 B 0 1 l displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 lambda nbsp und eine messbare Funktion f 0 1 R displaystyle f colon 0 1 rightarrow mathbb R nbsp Aus 0 1 f d l 0 displaystyle int 0 1 f mathrm d lambda 0 nbsp folgt f 0 displaystyle f 0 nbsp fast uberall Beweis Ware nicht f 0 displaystyle f 0 nbsp fast uberall so ware 0 lt l x 0 1 f x 0 l n N x 0 1 f x gt 1 n displaystyle textstyle 0 lt lambda x in 0 1 f x not 0 lambda bigcup n in mathbb N x in 0 1 f x gt tfrac 1 n nbsp und es gabe ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit 0 lt l x 0 1 f x gt 1 n displaystyle textstyle 0 lt lambda x in 0 1 f x gt frac 1 n nbsp Da f 1 n x x 0 1 f x gt 1 n displaystyle textstyle f geq tfrac 1 n chi x in 0 1 f x gt frac 1 n nbsp folgt 0 1 f d l 0 1 1 n x x 0 1 f x gt 1 n d l 1 n l x 0 1 f x gt 1 n gt 0 displaystyle textstyle int 0 1 f mathrm d lambda geq int 0 1 frac 1 n chi x in 0 1 f x gt frac 1 n mathrm d lambda frac 1 n cdot lambda x in 0 1 f x gt tfrac 1 n gt 0 nbsp im Widerspruch zur Voraussetzung Also muss f 0 displaystyle f 0 nbsp fast uberall sein Siehe auch BearbeitenPunktweise Konvergenz m fast uberall Gleichmassige Konvergenz m fast uberall Fast alle bei abzahlbar unendlichen Grundmengen Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 21390 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fast 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