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Dirichlet Funktion Die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet manchmal auch als Dirichletsche Sp

Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion. Eine ihrer Eigenschaften ist es, Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar zu sein.

Graphische Darstellung der Dirichlet-Funktion, zwei parallele, scheinbar durchgezogene Linien. Die blaue (bzw. rote) Linie stellt die in den reellen Zahlen dicht liegenden rationalen (bzw. irrationalen) Zahlen dar. Der Graph enthält entlang der blauen (bzw. roten) Linie überabzählbar (bzw. abzählbar) viele Löcher ohne Ausdehnung, weshalb sie in der Darstellung nicht sichtbar sind.

Definition Bearbeiten

Die Dirichlet-Funktion wird üblicherweise mit bezeichnet. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. Somit ist sie definiert als:

Eigenschaften Bearbeiten

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

Riemann-Integrierbarkeit Bearbeiten

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung im Teilintervall stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit Bearbeiten

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall wie folgt schreiben:

wobei für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist stets 0, da die Punktmenge der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine -Nullmenge ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

Verwandte Funktion Bearbeiten

Eine verwandte Funktion ist auf wie folgt definiert:

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.

Weblinks Bearbeiten

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Die Dirichlet Funktion nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet ist eine mathematische Funktion Eine ihrer Eigenschaften ist es Lebesgue integrierbar aber nicht Riemann integrierbar zu sein Graphische Darstellung der Dirichlet Funktion zwei parallele scheinbar durchgezogene Linien Die blaue bzw rote Linie stellt die in den reellen Zahlen dicht liegenden rationalen bzw irrationalen Zahlen dar Der Graph enthalt entlang der blauen bzw roten Linie uberabzahlbar bzw abzahlbar viele Locher ohne Ausdehnung weshalb sie in der Darstellung nicht sichtbar sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Riemann Integrierbarkeit 4 Lebesgue Integrierbarkeit 5 Verwandte Funktion 6 WeblinksDefinition BearbeitenDie Dirichlet Funktion wird ublicherweise mit D displaystyle D nbsp bezeichnet Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen Somit ist sie definiert als D R R x D x 1 wenn x rational 0 wenn x irrational displaystyle D colon mathbb R to mathbb R quad x mapsto D x begin cases 1 amp mbox wenn x mbox rational 0 amp mbox wenn x mbox irrational end cases nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Dirichlet Funktion ist ein Beispiel fur eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire D x lim m lim n cos 2 n m p x displaystyle D x lim m to infty lim n to infty cos 2n m pi x nbsp dd eine Lebesgue integrierbare Funktion die aber nicht Riemann integrierbar ist eine beschrankte Funktion deren Supremum nicht mit ihrem wesentlichen Supremum bzgl des Lebesgue Masses ubereinstimmt Riemann Integrierbarkeit BearbeitenDie Dirichlet Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann integrierbar da fur jede Zerlegung Z displaystyle Z nbsp im Teilintervall x k 1 x k displaystyle left x k 1 x k right nbsp stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit die Untersumme U Z k 1 n x k x k 1 inf x k 1 lt x lt x k f x displaystyle U Z sum k 1 n x k x k 1 cdot inf x k 1 lt x lt x k f x nbsp stets 0 ist weil das Infimum stets 0 ist und die Obersumme O Z k 1 n x k x k 1 sup x k 1 lt x lt x k f x displaystyle O Z sum k 1 n x k x k 1 cdot sup x k 1 lt x lt x k f x nbsp stets die Lange des Intervalls uber das integriert wird ist weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Lange der einzelnen Teilintervalle addiert wird Riemann Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit also dass gilt Oberintegral kl Obersumme gr Untersumme Unterintegral a b f x d x inf Z O Z sup Z U Z a b f x d x displaystyle begin matrix text Oberintegral amp amp text kl Obersumme amp amp text gr Untersumme amp amp text Unterintegral overline int limits a b f x mathrm d x amp amp inf Z O Z amp amp sup Z U Z amp amp underline int limits a b f x mathrm d x end matrix nbsp Da aber fur jede beliebige Zerlegung die Unter und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren ist D displaystyle D nbsp auf keinem Intervall Riemann integrierbar Lebesgue Integrierbarkeit BearbeitenDa die Dirichlet Funktion eine einfache Funktion ist also eine messbare Funktion die nur endlich viele Werte annimmt die noch dazu nicht negativ sind lasst sich das Lebesgue Integral uber ein beliebiges Intervall I displaystyle I nbsp wie folgt schreiben I D d l 0 l I R Q 1 l I Q displaystyle int I D mathrm d lambda 0 cdot lambda I cap mathbb R setminus mathbb Q 1 cdot lambda I cap mathbb Q nbsp wobei l displaystyle lambda nbsp fur das Lebesgue Mass steht Bei jedem beliebigen Wert von l I R Q displaystyle lambda I cap mathbb R setminus mathbb Q nbsp ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0 Das gilt aufgrund einer Konvention in der Masstheorie auch dann wenn der andere Faktor unendlich ist Im Gegensatz dazu ist l I Q displaystyle lambda I cap mathbb Q nbsp stets 0 da die Punktmenge Q displaystyle mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen abzahlbar und somit eine l displaystyle lambda nbsp Nullmenge ist Insgesamt ergibt sich damit fur die Dirichlet Funktion in jedem Intervall I D d l 0 displaystyle int I D mathrm d lambda 0 nbsp Verwandte Funktion BearbeitenEine verwandte Funktion ist auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp wie folgt definiert f x 1 wenn x 0 0 wenn x irrational 1 q wenn x p q mit p q N und ggT p q 1 displaystyle f x begin cases 1 amp mbox wenn x 0 0 amp mbox wenn x mbox irrational frac 1 q amp mbox wenn x frac p q mbox mit p q in mathbb N mbox und operatorname ggT p q 1 end cases nbsp Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet Funktion auch Riemann integrierbar 0 1 f x d x 0 displaystyle int limits 0 1 f x mathrm d x 0 nbsp Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dirichlet Funktion In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichlet Funktion amp oldid 233139332