In der Mathematik treten die Begriffe Supremum und Infimum sowie kleinste obere Schranke bzw grosste untere Schranke bei der Untersuchung halbgeordneter Mengen auf Anschaulich ist das Supremum eine obere Schranke die kleiner als alle anderen oberen Schranken ist Entsprechend ist das Infimum eine untere Schranke die grosser als alle anderen unteren Schranken ist Wenn ein Supremum oder Infimum existiert ist es eindeutig bestimmt Das Konzept wird in unterschiedlichen Abwandlungen in fast allen mathematischen Teilgebieten verwendet Die Bildmenge der abgebildeten Funktion ist beschrankt damit ist auch die Funktion beschrankt Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Suprema und Infima von Mengen 1 1 1 Anschauung 1 1 2 Im Reellen 1 1 3 Im Allgemeinen 1 2 Suprema und Infima von Abbildungen 1 2 1 Abbildungen allgemein 1 2 2 Folgen als Abbildungen 2 Eigenschaften 2 1 Eindeutigkeit und Existenz 2 2 Eigenschaften in Bezug auf eine Epsilon Umgebung 2 3 Erstellung konvergenter Folgen 3 Existenz des Supremums fur beschrankte Teilmengen der reellen Zahlen 4 Beispiele 4 1 Reelle Zahlen 4 2 Andere halbgeordnete Mengen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSuprema und Infima von Mengen Bearbeiten Anschauung Bearbeiten nbsp Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer MengeDas Supremum auf deutsch Oberstes einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist anschaulich gesprochen ein Element welches uber allen oder jenseits oberhalb aller anderen Elemente liegt Der Ausdruck uber den anderen soll andeuten dass das Supremum nicht das grosste Element unter den anderen sein muss sondern durchaus auch ausserhalb jenseits der Menge liegen kann Und weil es mehrere Elemente geben kann die dieser Anschauung entsprechen wird aus Eindeutigkeitsgrunden das kleinste Element gewahlt welches diese Eigenschaft hat sozusagen das Element das am nachsten oder unmittelbar uber allen anderen liegt das Supremum bezeichnet also ein unmittelbar Daruberliegendes Elemente die zwar uber allen Elementen einer Menge liegen aber nicht zwingend in unmittelbarer Weise heissen obere Schranken Damit ergibt sich dann die Definition des Supremums als kleinste obere Schranke einer Menge Das Infimum deutsch untere Grenze einer Menge ist analog definiert als unmittelbar Darunterliegendes bzw grosste untere Schranke Im Reellen Bearbeiten Diese Anschauung lasst sich leicht auf Mengen von reellen Zahlen als Untermengen der reellen Zahlen ubertragen Sei X x R x lt 2 R displaystyle X x in mathbb R x lt 2 subseteq mathbb R nbsp die Menge der reellen Zahlen kleiner als 2 Dann ist 2 das Supremum von X displaystyle X nbsp in R displaystyle mathbb R nbsp Denn 2 ist eine obere Schranke von X displaystyle X nbsp da sie grosser oder gleich tatsachlich sogar echt grosser als jedes Element von X displaystyle X nbsp ist also daruberliegt Aber im Gegensatz etwa zu der Zahl 4 die auch eine obere Schranke ist gibt es keine Zahl kleiner als 2 die auch obere Schranke von X displaystyle X nbsp ist Daher ist 2 kleinste obere Schranke von X displaystyle X nbsp mithin Supremum Durch eine kleine Abanderung wird sodann die Verwandtschaft von Supremum und Maximum deutlich Das Maximum ist namlich das grosste Element unter allen Elementen einer Menge Offenbar hat X displaystyle X nbsp kein Maximum da es zu jeder reellen Zahl a lt 2 displaystyle a lt 2 nbsp wieder eine reelle Zahl b lt 2 displaystyle b lt 2 nbsp gibt die grosser als a displaystyle a nbsp ist z B mit der Wahl b a 2 2 displaystyle b tfrac a 2 2 nbsp Die Zahl 2 ist als Supremum zwar grosser als alle Elemente von X displaystyle X nbsp liegt aber nicht in X displaystyle X nbsp da sie nicht echt kleiner als sie selbst ist Betrachten wir nun die Menge X x R x 2 R displaystyle X x in mathbb R x leq 2 subseteq mathbb R nbsp so ist 2 Maximum von X displaystyle X prime nbsp da sie kleiner gleich als sie selbst ist und es auch keine grossere Zahl als 2 gibt die kleiner gleich 2 ist Gleichfalls ist 2 aber auch Supremum von X displaystyle X prime nbsp wie schon von X displaystyle X nbsp da dieselben Bedingungen wie dort erfullt sind Tatsachlich ist jedes Maximum immer auch Supremum Daher ist es auch ublich den Begriff Maximum gar nicht elementar zu definieren sondern ihn als Sonderfall des Supremums zu benennen wenn dieses selbst Element der Menge ist dessen Supremum es darstellt Analog gilt das fur das Minimum Im Allgemeinen Bearbeiten Obere und untere Schranken sowie Suprema und Infima konnen jedoch nicht nur auf den reellen Zahlen sondern allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden Die formalen Definitionen lauten wie folgt Ist M displaystyle M nbsp eine halbgeordnete Menge mit Halbordnung displaystyle leq nbsp und T displaystyle T nbsp eine Teilmenge von M displaystyle M nbsp so gilt Obere Schranke Ein Element b M displaystyle b in M nbsp heisst obere Schranke von T displaystyle T nbsp wenn x b displaystyle x leq b nbsp fur alle x T displaystyle x in T nbsp gilt Untere Schranke Analog heisst b displaystyle b nbsp untere Schranke von T displaystyle T nbsp wenn b x displaystyle b leq x nbsp fur alle x T displaystyle x in T nbsp gilt nach oben bzw unten beschrankte Menge Existiert eine obere untere Schranke von T displaystyle T nbsp so heisst T displaystyle T nbsp nach oben unten beschrankt nach oben bzw unten unbeschrankte Menge Ist T displaystyle T nbsp nicht nach oben unten beschrankt so heisst T displaystyle T nbsp nach oben unten unbeschrankt beschrankte Menge T displaystyle T nbsp heisst beschrankt falls T displaystyle T nbsp nach oben und unten beschrankt ist andernfalls unbeschrankt oder nicht beschrankt Das heisst T displaystyle T nbsp ist unbeschrankt oder nicht beschrankt wenn T displaystyle T nbsp entweder nach oben oder nach unten oder nach oben und unten unbeschrankt ist Soll ausgedruckt werden dass eine Menge sowohl nach oben als auch nach unten unbeschrankt ist so muss die Menge ausdrucklich als nach oben und unten unbeschrankt beschrieben werden Supremum Ein Element b M displaystyle b in M nbsp heisst Supremum von T displaystyle T nbsp wenn b displaystyle b nbsp eine kleinste obere Schranke von T displaystyle T nbsp ist Infimum Es heisst Infimum von T displaystyle T nbsp wenn es eine grosste untere Schranke von T displaystyle T nbsp ist Ist M displaystyle M nbsp die Menge der reellen Zahlen so gilt Ist T displaystyle T nbsp nach oben beschrankt und nicht leer dann besitzt T displaystyle T nbsp eine kleinste obere Schranke Beweisidee unten und man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T displaystyle T nbsp in Zeichen sup T displaystyle sup T nbsp Ist T displaystyle T nbsp nach unten beschrankt und nicht leer dann besitzt T displaystyle T nbsp eine grosste untere Schranke Beweis analog und man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T displaystyle T nbsp in Zeichen inf T displaystyle inf T nbsp Falls T displaystyle T nbsp nach oben beschrankt und das Supremum von T displaystyle T nbsp in T displaystyle T nbsp enthalten ist bezeichnet man das Supremum auch als Maximum von T displaystyle T nbsp in Zeichen max T displaystyle max T nbsp Falls T displaystyle T nbsp nach unten beschrankt und das Infimum von T displaystyle T nbsp in T displaystyle T nbsp enthalten ist bezeichnet man das Infimum auch als Minimum von T displaystyle T nbsp in Zeichen min T displaystyle min T nbsp Ist T displaystyle T nbsp nach oben unbeschrankt schreibt man sup T displaystyle sup T infty nbsp siehe Unendlichkeit Das Symbol ist dabei aber keine reelle Zahl und auch nicht das Supremum von T displaystyle T nbsp im hier definierten Sinne displaystyle infty nbsp als Supremumswert ist gerade die formale Schreibweise dafur dass kein Supremum vorhanden ist siehe auch bei erweiterte reelle Zahlen Gelegentlich wird in diesem Zusammenhang displaystyle infty nbsp auch als uneigentliches Supremum bezeichnet Ist T displaystyle T nbsp nach unten unbeschrankt schreibt man analog inf T displaystyle inf T infty nbsp Suprema und Infima von Abbildungen Bearbeiten Abbildungen allgemein Bearbeiten Der Begriff des Supremums auf Mengen wird sinngemass auch auf Abbildungen Funktionen angewendet Denn das Bild einer Abbildung ist ja immer auch eine Menge Namlich fur eine Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp die Menge f X f x x X y Y y f x fur ein x X displaystyle f X f x x in X y in Y y f x text fur ein x in X nbsp der sogenannten Elementbilder d h der Bilder der einzelnen Elemente von X displaystyle X nbsp unter der Abbildung f displaystyle f nbsp f X displaystyle f X nbsp wird auch Bild der Funktion f displaystyle f nbsp genannt Ist Y displaystyle Y nbsp eine halbgeordnete Menge so definiert man das Supremum von f displaystyle f nbsp auf X displaystyle X nbsp sofern es in Y displaystyle Y nbsp existiert durch sup f sup x X f x sup f X sup f x x X displaystyle sup f sup x in X f x sup f X sup f x x in X nbsp Das Supremum einer Funktion f displaystyle f nbsp ist also definiert als das Supremum der Bildmenge von f displaystyle f nbsp Analog wird das Infimum von f displaystyle f nbsp auf X displaystyle X nbsp definiert Die definierende Eigenschaft des Supremums kann als monotone Galoisverbindung sup D displaystyle sup dashv Delta nbsp zwischen sup Y X Y displaystyle sup colon Y X to Y nbsp und D Y Y X displaystyle Delta colon Y to Y X nbsp formuliert werden fur alle y Y displaystyle y in Y nbsp und f Y X displaystyle f in Y X nbsp gilt sup f Y y f Y X D y displaystyle sup f leq Y y Longleftrightarrow f leq Y X Delta y nbsp Hierbei ist Y X displaystyle Y X nbsp mit der punktweisen Ordnung ausgestattet und D y x y displaystyle Delta y x y nbsp Analog gilt D inf displaystyle Delta dashv inf nbsp Folgen als Abbildungen Bearbeiten Fasst man eine Folge a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 dotsc nbsp von Elementen aus Y displaystyle Y nbsp als Abbildung f N Y displaystyle f colon mathbb N rightarrow Y nbsp auf also gemass a 1 f 1 a 2 f 2 a 3 f 3 displaystyle a 1 f 1 a 2 f 2 a 3 f 3 dotsc nbsp so ergibt sich aus der Definition des Supremums Infimums von Abbildungen sofort die Definition des Supremums Infimums einer Folge a n displaystyle a n nbsp sofern es in Y displaystyle Y nbsp existiert Eigenschaften BearbeitenEindeutigkeit und Existenz Bearbeiten Ist b displaystyle b nbsp eine obere Schranke von T displaystyle T nbsp und c gt b displaystyle c gt b nbsp so ist auch c displaystyle c nbsp eine obere Schranke von T displaystyle T nbsp Ist umgekehrt c displaystyle c nbsp keine obere Schranke von T displaystyle T nbsp und b lt c displaystyle b lt c nbsp so ist auch b displaystyle b nbsp keine obere Schranke von T displaystyle T nbsp Analoges gilt fur untere Schranken Das Supremum von T displaystyle T nbsp ist im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt Dasselbe gilt fur das Infimum von T displaystyle T nbsp Es ist moglich dass eine Teilmenge T displaystyle T nbsp einer halbgeordneten Menge M displaystyle M nbsp mehrere minimale obere Schranken hat d h obere Schranken so dass jedes kleinere Element keine obere Schranke ist Sobald T displaystyle T nbsp jedoch mehr als eine minimale obere Schranke hat gibt es keine kleinste obere Schranke d h kein Supremum von T displaystyle T nbsp Ein Beispiel ist die Menge M a b c d displaystyle M a b c d nbsp mit der Halbordnung a lt c b lt c a lt d b lt d displaystyle a lt c b lt c a lt d b lt d nbsp Hier hat T a b displaystyle T a b nbsp die beiden minimalen oberen Schranken c displaystyle c nbsp und d displaystyle d nbsp Eigenschaften in Bezug auf eine Epsilon Umgebung Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen dann gilt ausserdem fur das Supremum von X displaystyle X nbsp Wenn sup X lt displaystyle sup X lt infty nbsp so existiert fur alle ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp ein x X displaystyle x in X nbsp so dass sup X ϵ lt x displaystyle sup X epsilon lt x nbsp ist Wenn sup X displaystyle sup X infty nbsp so existiert fur alle k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp ein x X displaystyle x in X nbsp so dass k lt x displaystyle k lt x nbsp Infimum von X displaystyle X nbsp Wenn inf X gt displaystyle inf X gt infty nbsp so existiert fur alle ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp ein x X displaystyle x in X nbsp so dass x lt inf X ϵ displaystyle x lt inf X epsilon nbsp ist Wenn inf X displaystyle inf X infty nbsp so existiert fur alle k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp ein x X displaystyle x in X nbsp so dass x lt k displaystyle x lt k nbsp Erstellung konvergenter Folgen Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen mit einem Supremum sup X lt displaystyle sup X lt infty nbsp Dann lasst sich aus geeignet gewahlten Elementen von X displaystyle X nbsp eine Folge x n displaystyle x n nbsp erstellen die gegen sup X displaystyle sup X nbsp konvergiert Beweis ϵ n gt 0 displaystyle epsilon n gt 0 nbsp sei eine Nullfolge b n sup X displaystyle b n sup X nbsp ist eine konstante Folge Mit den Rechenregeln fur Grenzwerte konvergiert die Folge a n sup X ϵ n displaystyle a n sup X epsilon n nbsp von unten gegen sup X displaystyle sup X nbsp Wegen der im vorhergehenden Abschnitt genannten Eigenschaft des Supremums in Bezug auf eine Epsilon Umgebung existieren die Glieder x n displaystyle x n nbsp einer Folge x n displaystyle x n nbsp die mit a n sup X ϵ n lt x n sup X b n displaystyle a n sup X epsilon n lt x n leq sup X b n nbsp zwischen a n displaystyle a n nbsp und b n displaystyle b n nbsp eingeschlossen ist Also konvergiert x n displaystyle x n nbsp wie die einschliessenden Folgen gegen sup X displaystyle sup X nbsp Sei X displaystyle X nbsp eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen mit einem Infimum inf X gt displaystyle inf X gt infty nbsp Dann lasst sich aus geeignet gewahlten Elementen von X displaystyle X nbsp eine Folge x n displaystyle x n nbsp erstellen die gegen inf X displaystyle inf X nbsp konvergiert Beweis a n inf X displaystyle a n inf X nbsp ist eine konstante Folge ϵ n gt 0 displaystyle epsilon n gt 0 nbsp sei eine Nullfolge Mit den Rechenregeln fur Grenzwerte konvergiert die Folge b n inf X ϵ n displaystyle b n inf X epsilon n nbsp von oben gegen inf X displaystyle inf X nbsp Wegen der im vorhergehenden Abschnitt genannten Eigenschaft des Infimums in Bezug auf eine Epsilon Umgebung existieren die Glieder x n displaystyle x n nbsp einer Folge x n displaystyle x n nbsp die mit a n inf X x n lt inf X ϵ n b n displaystyle a n inf X leq x n lt inf X epsilon n b n nbsp zwischen a n displaystyle a n nbsp und b n displaystyle b n nbsp eingeschlossen ist Also konvergiert x n displaystyle x n nbsp wie die einschliessenden Folgen gegen inf X displaystyle inf X nbsp Bemerkungen Weder ϵ n displaystyle epsilon n nbsp noch x n displaystyle x n nbsp mussen monoton sein Ist X displaystyle X nbsp von endlicher Machtigkeit so ist das Supremum ein Maximum bzw das Infimum ein Minimum und fast alle x n displaystyle x n nbsp sind dem Supremum bzw Infimum gleich Existenz des Supremums fur beschrankte Teilmengen der reellen Zahlen BearbeitenDie Existenz des Supremums fur eine beschrankte Teilmenge M displaystyle M nbsp der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden A Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum fur beschrankte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen Diese Forderung wird oft Supremumsaxiom oder Vollstandigkeitsaxiom genannt B Geht man von dem Axiom aus dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert kann zum Nachweis der Existenz des Supremums sup M displaystyle sup M nbsp von M displaystyle M nbsp eine Intervallschachtelung a k b k k N displaystyle a k b k k in mathbb N nbsp dienen fur die kein a k displaystyle a k nbsp obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist aber jedes b k displaystyle b k nbsp eine solche i displaystyle mathbf i nbsp Eine solche Intervallschachtelung definiert eine Zahl s displaystyle sigma nbsp und die Folgen a k displaystyle a k nbsp und b k displaystyle b k nbsp konvergieren gegen s displaystyle sigma nbsp 1 Ein beliebiges b gt s displaystyle b gt sigma nbsp ist wegen lim k b k s displaystyle lim k to infty b k sigma nbsp grosser als fast alle b k displaystyle b k nbsp Da jedes b k displaystyle b k nbsp obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist ist b M displaystyle b notin M nbsp Also ist s displaystyle sigma nbsp eine obere Schranke von M displaystyle M nbsp Zu uberlegen bleibt ob nicht auch ein s lt s displaystyle sigma lt sigma nbsp obere Schranke von M displaystyle M nbsp sein kann Wegen lim k a k s displaystyle lim k to infty a k sigma nbsp sind fast alle a k displaystyle a k nbsp grosser als s displaystyle sigma nbsp Da kein a k displaystyle a k nbsp obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist ist auch s displaystyle sigma nbsp keine solche Also ist s displaystyle sigma nbsp das behauptete Supremum von M displaystyle M nbsp Zu zeigen bleibt dass eine Intervallschachtelung a k b k displaystyle a k b k nbsp existiert die der Bedingung i genugt Hierzu sei eine Intervallfolge a k b k displaystyle a k b k nbsp rekursiv definiert Fur das erste Intervall sei a 1 displaystyle a 1 nbsp eine beliebige Zahl die kleiner als ein beliebiges Element von M displaystyle M nbsp ist b 1 displaystyle b 1 nbsp eine beliebige obere Schranke von M displaystyle M nbsp c k a k b k 2 displaystyle c k frac a k b k 2 nbsp ist der Mittelpunkt des k displaystyle k nbsp ten Intervalls der Folge Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp seien falls c k displaystyle c k nbsp keine obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist a k 1 c k b k 1 b k displaystyle a k 1 c k b k 1 b k nbsp falls c k displaystyle c k nbsp eine obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist a k 1 a k b k 1 c k displaystyle a k 1 a k b k 1 c k nbsp Fur eine solche Intervallfolge gilt b 1 displaystyle b 1 nbsp ist eine obere Schranke von M displaystyle M nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp nicht Beim Ubergang von a k b k displaystyle a k b k nbsp zu a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp ersetzt c k displaystyle c k nbsp genau dann eine Intervallgrenze die obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist wenn c k displaystyle c k nbsp selbst obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist wenn aber c k displaystyle c k nbsp keine obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist ersetzt c k displaystyle c k nbsp eine Intervallgrenze die auch keine solche ist Also 2 ist jedes b k displaystyle b k nbsp aber kein a k displaystyle a k nbsp obere Schranke von M displaystyle M nbsp und die Intervallfolge a k b k displaystyle a k b k nbsp erfullt die Bedingung i Zu zeigen bleibt dass a k b k displaystyle a k b k nbsp eine Intervallschachtelung ist Behauptung a k displaystyle a k nbsp ist monoton steigend k a k 1 a k 1 displaystyle Leftrightarrow forall k a k 1 geq a k mathbf 1 nbsp Beweis Fur a k 1 a k displaystyle a k 1 a k nbsp ist nichts zu beweisen Fur a k 1 c k displaystyle a k 1 c k nbsp folgt aus b k gt a k displaystyle b k gt a k nbsp a k 1 a k b k 2 gt a k a k 2 a k displaystyle a k 1 frac a k b k 2 gt frac a k a k 2 a k nbsp Behauptung b k displaystyle b k nbsp ist monoton fallend k b k 1 b k 2 displaystyle Leftrightarrow forall k b k 1 leq b k mathbf 2 nbsp Beweis Fur b k 1 b k displaystyle b k 1 b k nbsp ist nichts zu beweisen Fur b k 1 c k displaystyle b k 1 c k nbsp folgt aus a k lt b k displaystyle a k lt b k nbsp b k 1 a k b k 2 lt b k b k 2 b k displaystyle b k 1 frac a k b k 2 lt frac b k b k 2 b k nbsp Behauptung d k displaystyle d k nbsp d k b k a k displaystyle d k b k a k nbsp ist eine Nullfollge 3 displaystyle mathbf 3 nbsp Beweis Falls c k displaystyle c k nbsp keine obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist ist d k 1 b k 1 a k 1 b k c k 2 b k 2 a k b k 2 b k a k 2 d k 2 displaystyle d k 1 b k 1 a k 1 b k c k frac 2b k 2 frac a k b k 2 frac b k a k 2 frac d k 2 nbsp falls c k displaystyle c k nbsp eine obere Schranke von M displaystyle M nbsp ist ist d k 1 b k 1 a k 1 c k a k a k b k 2 2 a k 2 b k a k 2 d k 2 displaystyle d k 1 b k 1 a k 1 c k a k frac a k b k 2 frac 2a k 2 frac b k a k 2 frac d k 2 nbsp Also konnen alle d k displaystyle d k nbsp auch d k d 1 1 2 k 1 displaystyle d k d 1 cdot left tfrac 1 2 right k 1 nbsp geschrieben werden und d k displaystyle d k nbsp ist wegen 1 2 lt 1 displaystyle left tfrac 1 2 right lt 1 nbsp eine geometrische Nullfolge 3 Mit 1 2 und 3 ist a k b k displaystyle a k b k nbsp eine Intervallschachtelung q e d C Eine aquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom nachdem jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird Beispiele BearbeitenReelle Zahlen Bearbeiten Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen sup 1 2 3 3 displaystyle sup 1 2 3 3 nbsp sup x R 0 lt x lt 1 sup x R 0 x 1 1 displaystyle sup x in mathbb R 0 lt x lt 1 sup x in mathbb R 0 leq x leq 1 1 nbsp sup x Q x 2 lt 2 2 Q displaystyle sup x in mathbb Q x 2 lt 2 sqrt 2 notin mathbb Q nbsp sup 1 n 1 n n N 1 displaystyle sup 1 n tfrac 1 n n in mathbb N 1 nbsp sup Z displaystyle sup mathbb Z infty nbsp sup a inf a max a min a a a R displaystyle sup a inf a max a min a a quad forall a in mathbb R nbsp sup a b a A b B sup A sup B displaystyle sup a b a in A land b in B sup A sup B nbsp sup A inf A displaystyle sup A inf A nbsp bzw sup A inf A displaystyle sup A inf A nbsp wobei A x R x A displaystyle A x in mathbb R x in A nbsp Andere halbgeordnete Mengen Bearbeiten Auf R displaystyle mathbb R nbsp hat jede nicht leere nach oben bzw unten beschrankte Teilmenge ein Supremum bzw Infimum Betrachtet man andere Mengen auf denen Ordnungsrelationen definiert sind so ist dies nicht zwingend Die Menge Q displaystyle mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen ist bezuglich der naturlichen Ordnung total geordnet Die Menge x Q x 2 lt 2 Q displaystyle x in mathbb Q x 2 lt 2 subset mathbb Q nbsp ist beispielsweise durch die Zahl 1 42 Q displaystyle 1 42 in mathbb Q nbsp nach oben beschrankt hat aber kein Supremum in Q displaystyle mathbb Q nbsp In beliebigen halbgeordneten Mengen A displaystyle A leq nbsp ist jedes Element sowohl untere als auch obere Schranke der leeren Menge displaystyle emptyset nbsp Daher ist inf displaystyle inf emptyset nbsp das grosste Element von A displaystyle A nbsp und sup displaystyle sup emptyset nbsp das kleinste Grosste und kleinste Elemente mussen jedoch nicht existieren In der Menge N 1 2 3 displaystyle mathbb N 1 2 3 dotsc nbsp der naturlichen Zahlen mit der ublichen Ordnung hat displaystyle emptyset nbsp kein Infimum und es ist sup 1 displaystyle sup emptyset 1 nbsp In der bezuglich Inklusion partiell geordneten Menge X 1 2 1 2 3 1 2 4 displaystyle mathcal X 1 2 1 2 3 1 2 4 nbsp ist die Menge M 1 2 X displaystyle M 1 2 subset mathcal X nbsp sowohl durch das Element 1 2 3 X displaystyle 1 2 3 in mathcal X nbsp als auch durch 1 2 4 X displaystyle 1 2 4 in mathcal X nbsp nach oben beschrankt Ein Supremum also eine kleinste obere Schranke von M displaystyle M nbsp existiert in X displaystyle mathcal X nbsp jedoch nicht Siehe auch BearbeitenAus dem Begriff Supremum wird in der Masstheorie der Begriff des wesentlichen Supremums abgeleitet der zum Beispiel in der Theorie der L p displaystyle L p nbsp Raume eine wichtige Rolle spielt Die Untersuchung von partiell geordneten Mengen in denen zu jeder zweielementigen Teilmenge ein Supremum und ein Infimum existiert ist Gegenstand der Verbandstheorie Literatur BearbeitenStefan Hildebrandt Analysis 1 Springer 2005 ISBN 3 540 25368 8 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Supremum und Infimum Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Supremum und Infimum bestimmen und beweisen Lern und Lehrmaterialien nbsp Commons Infimum and supremum Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Intervallschachtelung Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung Der Gedankengang ist eine vollstandige Induktion Weiteres zur Konvergenz bestimmter geometrischer Folgen hier Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Infimum und Supremum amp oldid 219623881
