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Größtes und kleinstes Element Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebie

Größtes und kleinstes Element

Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie. Das größte Element wird auch als Maximum bezeichnet, dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum.

Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

Eine Maximumsfunktion liefert das größte ihrer Argumente als Wert, eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente.

Die Abkürzungen max und min sind gebräuchlich, seltener auch Max und Min.

Definitionen Bearbeiten

sei eine Quasiordnung, eine Teilmenge der Grundmenge und .

Kleinste Elemente von sind assoziiert, stehen also in beiden Richtungen in Relation: Falls und kleinstes Element von sind, gilt . Analoges ist zu größten Elementen zu sagen. Wenn antisymmetrisch ist, folgt sofort, dass sowohl das größte als auch das kleinste Element (falls vorhanden) eindeutig bestimmt ist.

Ein größtes Element von wird auch Maximum von genannt, ein kleinstes Element Minimum. Die Notationen und werden gelegentlich verwendet. Man beachte jedoch, dass die Begriffe maximales Element und größtes Element nicht äquivalent sind, falls keine Totalordnung vorliegt.

Kleinste und größte Elemente von selbst (falls sie existieren) werden manchmal mit 0 und 1 oder auch mit und bezeichnet.

Eine Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, nennt man eine Wohlordnung.

Beispiele Bearbeiten

  • ist das größte Element der Menge von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein kleinstes Element.
  • ist das kleinste Element der Menge von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein größtes Element.
  • Die Menge der positiven ganzen Zahlen hat ein kleinstes, aber kein größtes Element. Bei der Menge der negativen ganzen Zahlen ist es umgekehrt.
  • In der bezüglich Inklusion geordneten Potenzmenge ist das größte und die leere Menge das kleinste Element.
  • Die Menge aller endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge hat (bezüglich Inklusion) kein größtes Element.
  • Bei der (gewöhnlichen) Ordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element, es handelt sich also um eine Wohlordnung.
  • Ordnet man die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich 0) bezüglich der Teilbarkeit, ist 0 das größte Element, da 0 von jeder natürlichen Zahl geteilt wird. Das kleinste Element ist 1, da 1 jede natürliche Zahl teilt.
  • In jedem Ring ist die wegen , und somit , das größte Element hinsichtlich der Teilbarkeitsrelation . Alle Einheiten (Teiler der ) in einem unitären Ring sind kleinste Elemente.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede endliche nichtleere Kette hat ein größtes und ein kleinstes Element.
  • Ist größtes Element von , dann ist auch maximales Element von (und alle weiteren maximalen Elemente von sind zu assoziiert). Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn genau ein maximales Element hat, muss kein größtes Element haben.
  • Und gespiegelt: Ist kleinstes Element von , dann ist auch das bis auf Assoziiertheit einzige minimale Element von . Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn genau ein minimales Element hat, muss kein kleinstes Element haben.
  • Für totale Ordnungen stimmen die Begriffe größtes Element und maximales Element überein. Ebenso stimmen dafür kleinstes Element und minimales Element überein.
  • Ist größtes Element von , dann ist auch ein Supremum von . Umgekehrt gilt:
  • Ist kleinstes Element von , dann ist auch ein Infimum von . Umgekehrt gilt:
  • Hat eine Menge mindestens zwei nichtassoziierte maximale Elemente, dann hat sie kein größtes Element. Hat sie mindestens zwei nichtassoziierte minimale Elemente, dann hat sie kein kleinstes Element.

Maximums- und Minimumsfunktionen Bearbeiten

In einer totalen Ordnung (z. B. der gewöhnlichen Ordnung auf den reellen Zahlen) hat jede endliche nichtleere Menge ein Maximum und ein Minimum. Für sind daher die Funktionswerte

als Maximum bzw. Minimum von wohldefiniert.

Die höherstelligen Funktionen lassen sich rekursiv auf die zweistelligen zurückführen:

Im Bereich der reellen Zahlen können die zweistelligen Funktionen auch so angegeben werden:

Damit ist nachgewiesen, dass und stetige Funktionen sind, weil Summe, Differenz, Betrag, Quotient stetige Funktionen sind und Kompositionen von stetigen Funktionen ebenfalls stetig sind.

Aus den obigen Gleichungen wird auch schnell der Zusammenhang zwischen - und -Funktion klar:

Weiterhin gelten für alle die folgenden Rechenregeln

und, falls , auch

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Hat kein größtes Element, dann lässt es sich ordnungserhaltend einbetten in mit als dem Supremum von und von .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Paul Taylor: Practical Foundations of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-63107-6, S. 131.

Literatur Bearbeiten

  • Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6
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Das grosste beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie Das grosste Element wird auch als Maximum bezeichnet dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum Ein Element einer geordneten Menge ist das grosste Element der Menge wenn alle anderen Elemente kleiner sind Es ist das kleinste Element der Menge wenn alle anderen Elemente grosser sind Weder das grosste noch das kleinste Element einer Menge muss existieren ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt Eine Maximumsfunktion liefert das grosste ihrer Argumente als Wert eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente Die Abkurzungen max und min sind gebrauchlich seltener auch Max und Min Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Maximums und Minimumsfunktionen 5 Anmerkungen 6 Einzelnachweise 7 LiteraturDefinitionen Bearbeiten X displaystyle X leq nbsp sei eine Quasiordnung M X displaystyle M subseteq X nbsp eine Teilmenge der Grundmenge X displaystyle X nbsp und x M displaystyle x in M nbsp x displaystyle x nbsp ist grosstes Element von M displaystyle M nbsp y M y x displaystyle Longleftrightarrow forall y in M y leq x nbsp x displaystyle x nbsp ist kleinstes Element von M displaystyle M nbsp y M x y displaystyle Longleftrightarrow forall y in M x leq y nbsp Einzelnachweis 1 Kleinste Elemente von M displaystyle M nbsp sind assoziiert stehen also in beiden Richtungen in Relation Falls x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp kleinstes Element von M displaystyle M nbsp sind gilt x y x displaystyle x leq y leq x nbsp Analoges ist zu grossten Elementen zu sagen Wenn displaystyle leq nbsp antisymmetrisch ist folgt sofort dass sowohl das grosste als auch das kleinste Element falls vorhanden eindeutig bestimmt ist Ein grosstes Element von M displaystyle M nbsp wird auch Maximum von M displaystyle M nbsp genannt ein kleinstes Element Minimum Die Notationen max M displaystyle max M nbsp und min M displaystyle min M nbsp werden gelegentlich verwendet Man beachte jedoch dass die Begriffe maximales Element und grosstes Element nicht aquivalent sind falls keine Totalordnung vorliegt Kleinste und grosste Elemente von X displaystyle X nbsp selbst falls sie existieren werden manchmal mit 0 und 1 oder auch mit displaystyle bot nbsp und displaystyle top nbsp bezeichnet Eine Ordnung bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat nennt man eine Wohlordnung Beispiele Bearbeiten1 displaystyle 1 nbsp ist das grosste Element der Menge 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle left 1 tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 4 dots right nbsp von rationalen Zahlen Die Menge hat kein kleinstes Element 0 displaystyle 0 nbsp ist das kleinste Element der Menge 0 1 2 2 3 3 4 4 5 displaystyle left 0 tfrac 1 2 tfrac 2 3 tfrac 3 4 tfrac 4 5 dots right nbsp von rationalen Zahlen Die Menge hat kein grosstes Element Die Menge der positiven ganzen Zahlen hat ein kleinstes aber kein grosstes Element Bei der Menge der negativen ganzen Zahlen ist es umgekehrt In der bezuglich Inklusion geordneten Potenzmenge P X displaystyle mathcal P X nbsp ist X displaystyle X nbsp das grosste und die leere Menge displaystyle varnothing nbsp das kleinste Element Die Menge aller endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge hat bezuglich Inklusion kein grosstes Element Bei der gewohnlichen Ordnung auf der Menge der naturlichen Zahlen hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element es handelt sich also um eine Wohlordnung Ordnet man die Menge der naturlichen Zahlen einschliesslich 0 bezuglich der Teilbarkeit ist 0 das grosste Element da 0 von jeder naturlichen Zahl geteilt wird Das kleinste Element ist 1 da 1 jede naturliche Zahl teilt In jedem Ring R displaystyle R mid nbsp ist die 0 displaystyle 0 nbsp wegen r R r 0 0 displaystyle forall r in R r cdot 0 0 nbsp und somit r R r 0 displaystyle forall r in R r mid 0 nbsp das grosste Element hinsichtlich der Teilbarkeitsrelation displaystyle mid nbsp Alle Einheiten Teiler der 1 displaystyle 1 nbsp in einem unitaren Ring R displaystyle R mid nbsp sind kleinste Elemente Eigenschaften BearbeitenJede endliche nichtleere Kette hat ein grosstes und ein kleinstes Element Ist x displaystyle x nbsp grosstes Element von M displaystyle M nbsp dann ist x displaystyle x nbsp auch maximales Element von M displaystyle M nbsp und alle weiteren maximalen Elemente von M displaystyle M nbsp sind zu x displaystyle x nbsp assoziiert Die Umkehrung gilt nicht Auch wenn M displaystyle M nbsp genau ein maximales Element hat muss M displaystyle M nbsp kein grosstes Element haben Ein Beispiel dafur ist die Menge 2 i i N 3 displaystyle 2 i mid i in mathbb N cup 3 nbsp bezuglich der Teilbarkeitsrelation 3 ist hier das einzige maximale Element es ist allerdings kein grosstes Element weil es nicht von allen anderen Elementen geteilt wird Und gespiegelt Ist x displaystyle x nbsp kleinstes Element von M displaystyle M nbsp dann ist x displaystyle x nbsp auch das bis auf Assoziiertheit einzige minimale Element von M displaystyle M nbsp Die Umkehrung gilt nicht Auch wenn M displaystyle M nbsp genau ein minimales Element hat muss M displaystyle M nbsp kein kleinstes Element haben Fur totale Ordnungen stimmen die Begriffe grosstes Element und maximales Element uberein Ebenso stimmen dafur kleinstes Element und minimales Element uberein Ist x displaystyle x nbsp grosstes Element von M displaystyle M nbsp dann ist x displaystyle x nbsp auch ein Supremum von M displaystyle M nbsp Umgekehrt gilt Hat M displaystyle M nbsp kein Supremum dann auch kein grosstes Element Hat M displaystyle M nbsp ein Supremum das aber nicht in M displaystyle M nbsp liegt dann hat M displaystyle M nbsp kein grosstes Element A 1 Hat M displaystyle M nbsp ein Supremum das in M displaystyle M nbsp liegt dann ist dies grosstes Element von M displaystyle M nbsp Ist x displaystyle x nbsp kleinstes Element von M displaystyle M nbsp dann ist x displaystyle x nbsp auch ein Infimum von M displaystyle M nbsp Umgekehrt gilt Hat M displaystyle M nbsp kein Infimum dann auch kein kleinstes Element Hat M displaystyle M nbsp ein Infimum das aber nicht in M displaystyle M nbsp liegt dann hat M displaystyle M nbsp kein kleinstes Element Hat M displaystyle M nbsp ein Infimum das in M displaystyle M nbsp liegt dann ist dies ein kleinstes Element von M displaystyle M nbsp Hat eine Menge mindestens zwei nichtassoziierte maximale Elemente dann hat sie kein grosstes Element Hat sie mindestens zwei nichtassoziierte minimale Elemente dann hat sie kein kleinstes Element Maximums und Minimumsfunktionen BearbeitenIn einer totalen Ordnung z B der gewohnlichen Ordnung auf den reellen Zahlen hat jede endliche nichtleere Menge ein Maximum und ein Minimum Fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp sind daher die Funktionswerte max x 1 x 2 x n displaystyle max x 1 x 2 dotsc x n nbsp min x 1 x 2 x n displaystyle min x 1 x 2 dotsc x n nbsp als Maximum bzw Minimum von x 1 x 2 x n displaystyle left x 1 x 2 dotsc x n right nbsp wohldefiniert Die hoherstelligen Funktionen lassen sich rekursiv auf die zweistelligen zuruckfuhren max x 1 x 2 x n max x 1 max x 2 x n displaystyle max x 1 x 2 dotsc x n max x 1 max x 2 dotsc x n nbsp min x 1 x 2 x n min x 1 min x 2 x n displaystyle min x 1 x 2 dotsc x n min x 1 min x 2 dotsc x n nbsp Im Bereich der reellen Zahlen konnen die zweistelligen Funktionen auch so angegeben werden max x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 displaystyle max x 1 x 2 frac x 1 x 2 x 1 x 2 2 nbsp min x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 displaystyle min x 1 x 2 frac x 1 x 2 x 1 x 2 2 nbsp Damit ist nachgewiesen dass max displaystyle operatorname max nbsp und min displaystyle operatorname min nbsp stetige Funktionen sind weil Summe Differenz Betrag Quotient stetige Funktionen sind und Kompositionen von stetigen Funktionen ebenfalls stetig sind Aus den obigen Gleichungen wird auch schnell der Zusammenhang zwischen max displaystyle operatorname max nbsp und min displaystyle operatorname min nbsp Funktion klar max x 1 x 2 min x 1 x 2 displaystyle max x 1 x 2 min x 1 x 2 nbsp Weiterhin gelten fur alle x 1 x 2 x 3 R displaystyle x 1 x 2 x 3 in mathbb R nbsp die folgenden Rechenregeln max x 1 x 2 x 3 max x 1 x 3 x 2 x 3 displaystyle max x 1 x 2 x 3 max x 1 x 3 x 2 x 3 nbsp min x 1 x 2 x 3 min x 1 x 3 x 2 x 3 displaystyle min x 1 x 2 x 3 min x 1 x 3 x 2 x 3 nbsp und falls l 0 displaystyle lambda geq 0 nbsp auch l max x 1 x 2 max l x 1 l x 2 displaystyle lambda max x 1 x 2 max lambda x 1 lambda x 2 nbsp l min x 1 x 2 min l x 1 l x 2 displaystyle lambda min x 1 x 2 min lambda x 1 lambda x 2 nbsp Anmerkungen Bearbeiten Hat X displaystyle X leq nbsp kein grosstes Element dann lasst es sich ordnungserhaltend einbetten in X displaystyle X cup infty nbsp mit displaystyle infty nbsp als dem Supremum von X displaystyle X nbsp und von X displaystyle X cup infty nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Paul Taylor Practical Foundations of Mathematics Cambridge University Press Cambridge 1999 ISBN 0 521 63107 6 S 131 Literatur BearbeitenDeiser Oliver Einfuhrung in die Mengenlehre 2 Auflage Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 20401 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grosstes und kleinstes Element amp oldid 213468920