Antisymmetrische Relation Antisymmetrisch heißt eine zweistellige Relation R displaystyle R auf einer Menge wenn für bel

Antisymmetrische Relation

Antisymmetrisch heißt eine zweistellige Relation auf einer Menge, wenn für beliebige Elemente und der Menge mit nicht zugleich die Umkehrung gelten kann, es sei denn, und sind gleich. Äquivalent formuliert gilt damit für beliebige Elemente und dieser Menge, dass aus und stets folgt.

Eine antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt

Eine nicht antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt

Die Antisymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Halbordnung.

Definition Bearbeiten

Ist eine Menge und eine zweistellige Relation auf , dann heißt antisymmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

Sonderfall Asymmetrische Relation Bearbeiten

Jede asymmetrische Relation ist auch eine antisymmetrische Relation. Da für eine asymmetrische Relation auf

ist die Prämisse der Definition der antisymmetrischen Relation stets falsch und nach dem logischen Prinzip Ex falso quodlibet somit die Aussage erfüllt.

Die Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine (irreflexive) Striktordnung.

Beispiele Bearbeiten

Antisymmetrisch sind die Relationen und auf den reellen Zahlen. Aus und folgt . Das Gleiche gilt für und .

Auch die Teilbarkeitsrelation für natürliche Zahlen ist antisymmetrisch, denn aus und folgt . Die Teilbarkeit auf den ganzen Zahlen ist hingegen nicht antisymmetrisch, weil beispielsweise und gilt, obwohl .

Asymmetrische Relationen sind die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen und die Teilmengenbeziehung zwischen Mengen. Verglichen mit beziehungsweise fehlt diesen Beziehungen die Reflexivität.

Darstellung als gerichteter Graph Bearbeiten

Jede beliebige Relation auf einer Menge kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von . Vom Knoten zum Knoten wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn gilt.

Die Antisymmetrie von lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil zwischen verschiedenen Knoten und des Graphen gibt, dann kann es nicht gleichzeitig einen Pfeil geben. Schleifen brauchen also bei diesem Kriterium nicht untersucht zu werden.

Eigenschaften Bearbeiten

Mit Hilfe der konversen Relation lässt sich die Antisymmetrie auch durch die folgende Bedingung charakterisieren:

Sind die Relationen und antisymmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt einer beliebigen (nichtleeren) Familie von antisymmetrischen Relationen verallgemeinern.
Jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation ist wieder antisymmetrisch.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: antisymmetrisch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 04, 2023, 10:12 am

Antisymmetrisch heisst eine zweistellige Relation R displaystyle R auf einer Menge wenn fur beliebige Elemente x displaystyle x und y displaystyle y der Menge mit x R y displaystyle xRy nicht zugleich die Umkehrung y R x displaystyle yRx gelten kann es sei denn x displaystyle x und y displaystyle y sind gleich Aquivalent formuliert gilt damit fur beliebige Elemente x displaystyle x und y displaystyle y dieser Menge dass aus x R y displaystyle xRy und y R x displaystyle yRx stets x y displaystyle x y folgt Eine antisymmetrische Relation als gerichteter Graph dargestelltEine nicht antisymmetrische Relation als gerichteter Graph dargestelltDie Antisymmetrie ist eine der Voraussetzungen fur eine Halbordnung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Sonderfall Asymmetrische Relation 3 Beispiele 4 Darstellung als gerichteter Graph 5 Eigenschaften 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst M displaystyle M nbsp eine Menge und R M M displaystyle R subseteq M times M nbsp eine zweistellige Relation auf M displaystyle M nbsp dann heisst R displaystyle R nbsp antisymmetrisch wenn unter Verwendung der Infixnotation gilt x y M x R y y R x x y displaystyle forall x y in M xRy land yRx Rightarrow x y nbsp Sonderfall Asymmetrische Relation BearbeitenJede asymmetrische Relation ist auch eine antisymmetrische Relation 1 Da fur eine asymmetrische Relation R displaystyle R nbsp auf M displaystyle M nbsp x y M x R y y R x displaystyle forall x y in M xRy Rightarrow neg yRx nbsp gilt also fur keines der geordneten Paare x y displaystyle x y nbsp die Umkehrung zutrifft ist die Pramisse x R y y R x displaystyle xRy land yRx nbsp der Definition der antisymmetrischen Relation stets falsch und nach dem logischen Prinzip Ex falso quodlibet somit die Aussage x y M x R y y R x x y displaystyle forall x y in M xRy land yRx Rightarrow x y nbsp erfullt Die Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen fur eine irreflexive Striktordnung Beispiele BearbeitenAntisymmetrisch sind die Relationen displaystyle leq nbsp und displaystyle geq nbsp auf den reellen Zahlen Aus x y displaystyle x leq y nbsp und y x displaystyle y leq x nbsp folgt x y displaystyle x y nbsp Das Gleiche gilt fur x y displaystyle x geq y nbsp und y x displaystyle y geq x nbsp Auch die Teilbarkeitsrelation displaystyle mid nbsp fur naturliche Zahlen ist antisymmetrisch denn aus a b displaystyle a mid b nbsp und b a displaystyle b mid a nbsp folgt a b displaystyle a b nbsp Die Teilbarkeit auf den ganzen Zahlen ist hingegen nicht antisymmetrisch weil beispielsweise 3 3 displaystyle 3 mid 3 nbsp und 3 3 displaystyle 3 mid 3 nbsp gilt obwohl 3 3 displaystyle 3 neq 3 nbsp Asymmetrische Relationen sind die Kleiner Relation lt displaystyle lt nbsp auf den reellen Zahlen und die Teilmengenbeziehung displaystyle subset nbsp zwischen Mengen Verglichen mit displaystyle leq nbsp beziehungsweise displaystyle subseteq nbsp fehlt diesen Beziehungen die Reflexivitat Darstellung als gerichteter Graph BearbeitenJede beliebige Relation R displaystyle R nbsp auf einer Menge M displaystyle M nbsp kann als gerichteter Graph aufgefasst werden Beispiel siehe oben Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M displaystyle M nbsp Vom Knoten a displaystyle a nbsp zum Knoten b displaystyle b nbsp wird genau dann eine gerichtete Kante ein Pfeil a b displaystyle a longrightarrow b nbsp gezogen wenn a R b displaystyle a R b nbsp gilt Die Antisymmetrie von R displaystyle R nbsp lasst sich im Graphen nun so charakterisieren Wann immer es einen Pfeil a b displaystyle a longrightarrow b nbsp zwischen verschiedenen Knoten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp des Graphen gibt dann kann es nicht gleichzeitig einen Pfeil b a displaystyle b longrightarrow a nbsp geben Schleifen a displaystyle stackrel a circlearrowright nbsp brauchen also bei diesem Kriterium nicht untersucht zu werden Eigenschaften BearbeitenMit Hilfe der konversen Relation R 1 displaystyle R 1 nbsp lasst sich die Antisymmetrie auch durch die folgende Bedingung charakterisieren R R 1 I d M displaystyle R cap R 1 subseteq mathrm Id M nbsp Hierbei bezeichnet I d M displaystyle mathrm Id M nbsp die identische Relation auf der Grundmenge M displaystyle M nbsp also die Menge aller Paare x x displaystyle x x nbsp Sind die Relationen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp antisymmetrisch dann gilt dies auch fur ihre Schnittmenge R S displaystyle R cap S nbsp Diese Aussage lasst sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt i I R i displaystyle cap i in I R i nbsp einer beliebigen nichtleeren Familie von antisymmetrischen Relationen verallgemeinern Jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation ist wieder antisymmetrisch Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary antisymmetrisch Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Ingmar Lehmann Wolfgang Schulz Mengen Relationen Funktionen Eine anschauliche Einfuhrung 3 uberarbeitete und erweiterte Auflage Teubner Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8351 0162 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Antisymmetrische Relation amp oldid 183544318