Teilmenge

Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Ein anderes Wort für Teilmenge ist Untermenge.

Mengendiagramm: A ist eine (echte) Teilmenge von B.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihre Grundmenge, die mathematische Funktion der Teilmengenbeziehung, wird die Inklusionsabbildung verwendet. ist eine Teilmenge von und ist eine Obermenge von , wenn jedes Element von auch in enthalten ist. Wenn zudem weitere Elemente enthält, die nicht in enthalten sind, so ist eine echte Teilmenge von und ist eine echte Obermenge von . Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge heißt die Potenzmenge von .

Den Begriff Teilmenge prägte Georg Cantor – der „Erfinder“ der Mengenlehre – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde von Ernst Schröder 1890 in seiner „Algebra der Logik“ eingeführt.

Definition

Wenn und Mengen sind und jedes Element von auch ein Element von ist, nennt man eine Teilmenge oder Untermenge von :

Umgekehrt nennt man die Obermenge von genau dann, wenn Teilmenge von ist:

Weiterhin gibt es den Begriff der echten Teilmenge. ist eine echte Teilmenge von genau dann, wenn eine Teilmenge von und nicht identisch mit ist.

Wieder schreibt man auch , wenn .

Weitere Notationen

⊂⊊⊆⊇⊋⊃

Einige Autoren benutzen auch die Zeichen und für Teilmenge und Obermenge anstatt und . Meistens definiert der Autor dann den Begriff „echte Teilmenge“ nicht.

Andere Autoren bevorzugen die Zeichen und für echte Teilmenge und Obermenge also statt und . Dieser Gebrauch erinnert passenderweise an die Zeichen für Ungleichheit und . Da diese Notation meistens benutzt wird, wenn der Unterschied zwischen echter und nicht echter Teilmenge wichtig ist, werden die Zeichen und eher selten benutzt.

Varianten des Zeichens sind außerdem , und . Falls keine Teilmenge von ist, kann auch benutzt werden. Entsprechende Schreibweisen sind für , und für , sowie (keine Obermenge).

Die entsprechenden Unicode-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (siehe: Unicode-Block Mathematische Operatoren).

Sprechweisen

Statt „ ist eine Teilmenge von “ wird auch „Die Menge ist in der Menge enthalten“ oder „Die Menge wird von umfasst“ gesagt. Genauso wird statt „ ist eine Obermenge von “ auch „Die Menge enthält die Menge “ oder „Die Menge umfasst die Menge “ gesagt. Wenn es nicht zu Missverständnissen kommen kann, wird auch „ enthält “ usw. gesagt. Missverständnisse können insbesondere mit „Die Menge enthält das Element “ entstehen.

Beispiele

Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Menge aller Polygone.

• {1, 2} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ist eine (unechte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
• {} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2}.
• {1, 2, 3} ist eine (echte) Obermenge von {1, 2}.
• {1, 2} ist eine (unechte) Obermenge von {1, 2}.
• {1} ist keine Obermenge von {1, 2}.
• Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.
• Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.

Weitere Beispiele als Mengendiagramme:

Eigenschaften

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
• Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Vereinigung:
• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe des Durchschnitts:
• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Differenzmenge:
• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der charakteristischen Funktion:
• Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:
• Beim Übergang zum Komplement dreht sich die Richtung der Inklusion um:
• Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:
• Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:

Inklusion als Ordnungsrelation

Wenn A ⊆ B und B ⊆ C ist, dann ist auch A ⊆ C

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer partiellen Ordnungsrelation, sie ist nämlich reflexiv, antisymmetrisch und transitiv:

(Dabei ist eine Kurzschreibweise für und .)

Ist also eine Menge von Mengen (ein Mengensystem), dann ist eine Halbordnung. Insbesondere gilt dies für die Potenzmenge einer gegebenen Menge .

Inklusionsketten

Ist ein Mengensystem, so dass von je zwei der in vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eine Inklusionskette. Ein Beispiel hierfür liefert das System der linksseitig unbeschränkten offenen Intervalle von .

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche) Mengenfolge gegeben ist, welche vermöge aufsteigend oder vermöge absteigend angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

Größe und Anzahl von Teilmengen

• Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich und für die Mächtigkeiten gilt:
• Jede Obermenge einer unendlichen Menge ist unendlich.
• Auch bei unendlichen Mengen gilt für die Mächtigkeiten:
• Bei unendlichen Mengen ist es aber möglich, dass eine echte Teilmenge dieselbe Mächtigkeit hat wie ihre Grundmenge. Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen, aber die beiden Mengen sind gleich mächtig (nämlich abzählbar unendlich).
• Nach dem Satz von Cantor ist die Potenzmenge einer Menge stets mächtiger als die Menge selbst: .
• Eine endliche Menge mit Elementen hat genau Teilmengen.
• Die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer -elementigen (endlichen) Menge ist durch den Binomialkoeffizienten gegeben.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.
• John L. Kelley: General Topology. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955). 

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

1. Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 33 (Auszug (Google)).
2. Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre: Eine Elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen. 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 9783662259009, S. 15.
3. Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.
4. Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.