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Satz von Cantor Der besagt dass eine Menge A displaystyle A weniger mächtig als ihre Potenzmenge P A displaystyle mathca

Satz von Cantor

Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge weniger mächtig als ihre Potenzmenge (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der Satz ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.

Bemerkung: Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer -elementigen Menge Elemente hat. Da stets , ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber eben auch für unendliche Mengen.

Beweis Bearbeiten

Offensichtlich gilt , da eine injektive Abbildung ist.

Wir wollen nun zeigen, dass es keine surjektive Abbildung geben kann.

Um einen Widerspruch zu erhalten, nehmen wir an, dass es doch eine surjektive Abbildung gibt.

Wir definieren nun . Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist eine Menge und somit . Wegen der Annahme, dass surjektiv ist, gibt es ein mit . Dann gilt aber nach Definition von :

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung geben kann – dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben, was den Fall ausschließt, und wir wissen .

Historisches Bearbeiten

Cantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890. Hierfür zeigte er, dass die Menge aller Funktionen mächtiger ist als selbst, wobei die Menge der Funktionen die gleiche Mächtigkeit wie die Potenzmenge von besitzt (siehe Potenzmenge#Charakteristische Funktionen). Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzüge der Mengenlehre (1914) und von Ernst Zermelo in Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (1908).

Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten Bearbeiten

Man kann die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch über den Satz von Cantor beweisen, wenn wir wissen, dass . Denn dann ist .

Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen. Diese besagt, dass die Allklasse keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Denn nach Definition wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben, was dem Satz von Cantor widerspricht.

Quellen Bearbeiten

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin Heidelberg 2004, 2. Auflage. ISBN 978-3-540-20401-5.
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Der Satz von Cantor besagt dass eine Menge A displaystyle A weniger machtig als ihre Potenzmenge P A displaystyle mathcal P A der Menge aller Teilmengen ist dass also A lt P A displaystyle A lt mathcal P A gilt Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument Der Satz ist in allen Modellen gultig die das Aussonderungsaxiom erfullen Bemerkung Der Satz gilt fur alle Mengen insbesondere auch fur die leere Menge denn P displaystyle mathcal P emptyset emptyset ist einelementig Allgemein gilt fur endliche Mengen dass die Potenzmenge einer n displaystyle n elementigen Menge 2 n displaystyle 2 n Elemente hat Da stets n lt 2 n displaystyle n lt 2 n ist der Satz von Cantor fur endliche Mengen klar er gilt aber eben auch fur unendliche Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Beweis 2 Historisches 3 Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten 4 QuellenBeweis BearbeitenOffensichtlich gilt A P A displaystyle A leq mathcal P A nbsp da x x displaystyle x mapsto x nbsp eine injektive Abbildung A P A displaystyle A to mathcal P A nbsp ist Wir wollen nun zeigen dass es keine surjektive Abbildung A P A displaystyle A to mathcal P A nbsp geben kann Um einen Widerspruch zu erhalten nehmen wir an dass es doch eine surjektive Abbildung f A P A displaystyle f colon A to mathcal P A nbsp gibt Wir definieren nun M x A x f x displaystyle M x in A mid x not in f x nbsp Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist M displaystyle M nbsp eine Menge und somit M P A displaystyle M in mathcal P A nbsp Wegen der Annahme dass f displaystyle f nbsp surjektiv ist gibt es ein a A displaystyle a in A nbsp mit f a M displaystyle f a M nbsp Dann gilt aber nach Definition von M displaystyle M nbsp a f a M a f a displaystyle a in f a M iff a notin f a nbsp Dieser Widerspruch zeigt dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung A P A displaystyle A to mathcal P A nbsp geben kann dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben was den Fall A P A displaystyle A mathcal P A nbsp ausschliesst und wir wissen A lt P A displaystyle A lt mathcal P A nbsp Historisches BearbeitenCantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890 Hierfur zeigte er dass die Menge aller Funktionen g A 0 1 displaystyle g colon A to mathcal 0 1 nbsp machtiger ist als A displaystyle A nbsp selbst wobei die Menge der Funktionen g displaystyle g nbsp die gleiche Machtigkeit wie die Potenzmenge von A displaystyle A nbsp besitzt siehe Potenzmenge Charakteristische Funktionen Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzuge der Mengenlehre 1914 und von Ernst Zermelo in Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre 1908 Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten BearbeitenMan kann die Uberabzahlbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch uber den Satz von Cantor beweisen wenn wir wissen dass R P N displaystyle mathbb R mathcal P mathbb N nbsp Denn dann ist N lt R P N displaystyle mathbb N lt mathbb R mathcal P mathbb N nbsp Des Weiteren lasst sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen Diese besagt dass die Allklasse x x x displaystyle x mid x x nbsp keine Menge ist sondern eine echte Klasse Denn nach Definition ware die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben was dem Satz von Cantor widerspricht Quellen BearbeitenOliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Springer Berlin Heidelberg 2004 2 Auflage ISBN 978 3 540 20401 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cantor amp oldid 214484305