Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt Das heisst jedes Element der Zielmenge hat ein nichtleeres Urbild Eine surjektive Funktion X ist die Definitionsmenge Y ist die ZielmengeEine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet Ist sie zudem auch injektiv heisst sie bijektiv In der Sprache der Relationen spricht man auch von rechtstotalen Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Grafische Veranschaulichungen 3 Beispiele und Gegenbeispiele 4 Eigenschaften 5 Machtigkeiten von Mengen 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Mengen sowie f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp eine Abbildung Die Abbildung f displaystyle f nbsp heisst surjektiv wenn es zu jedem y displaystyle y nbsp aus Y displaystyle Y nbsp mindestens ein x displaystyle x nbsp aus X displaystyle X nbsp mit f x y displaystyle f x y nbsp gibt Eine solche Abbildung notiert man auch so f X Y displaystyle f colon X twoheadrightarrow Y nbsp Formal y Y x X f x y displaystyle forall y in Y exists x in X colon f x y nbsp siehe Existenz und Allquantor Grafische Veranschaulichungen Bearbeiten nbsp Das Prinzip der Surjektivitat Jeder Punkt in der Zielmenge Y wird mindestens einmal getroffen nbsp Graphen dreier surjektiver Funktionen zwischen reellen Intervallen nbsp Ein Sonderfall der Surjektivitat Die Zielmenge Y besteht nur aus einem ElementBeispiele und Gegenbeispiele BearbeitenDie leere Funktion displaystyle emptyset to bullet nbsp in eine einelementige Menge ist das wohl einfachste Beispiel einer nichtsurjektiven Funktion Die Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp mit f x 2 x 1 displaystyle f x 2x 1 nbsp ist surjektiv denn keine reelle Zahl y displaystyle y nbsp hat ein leeres Urbild Aus der Gleichung y 2 x 1 displaystyle y 2x 1 nbsp erhalt man namlich durch Aquivalenzumformung die Gleichung x y 1 2 displaystyle x y 1 2 nbsp womit sich fur jedes y R displaystyle y in mathbb R nbsp als Urbild die einelementige Menge y 1 2 R displaystyle tfrac y 1 2 subseteq mathbb R nbsp ergibt Die Sinusfunktion sin R 1 1 displaystyle sin colon mathbb R to 1 1 nbsp ist surjektiv Jede horizontale Gerade y c displaystyle y c nbsp mit 1 c 1 displaystyle 1 leq c leq 1 nbsp schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal sogar unendlich oft Die Sinusfunktion sin R R displaystyle sin colon mathbb R to mathbb R nbsp ist jedoch nicht surjektiv da z B die Gerade y 2 displaystyle y 2 nbsp keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird C displaystyle mathbb C nbsp bezeichne die Menge der komplexen Zahlen f 1 R R x x 2 displaystyle f 1 colon mathbb R to mathbb R x mapsto x 2 nbsp ist nicht surjektiv da z B das Urbild von 1 displaystyle 1 nbsp die leere Menge ist keine Quadratzahl ist negativ f 2 C C x x 2 displaystyle f 2 colon mathbb C to mathbb C x mapsto x 2 nbsp ist surjektiv Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist allgemeiner jedes Polynom p C C displaystyle p colon mathbb C to mathbb C nbsp surjektiv Eigenschaften BearbeitenMan beachte dass die Surjektivitat einer Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp nicht nur vom Funktionsgraphen x f x x A displaystyle x f x mid x in A nbsp sondern auch von der Zielmenge B displaystyle B nbsp abhangt im Gegensatz zur Injektivitat deren Vorliegen man am Funktionsgraphen ablesen kann Ersetzt man bei einer Funktion f A B x f x displaystyle f colon A to B x mapsto f x nbsp ihre Zielmenge B displaystyle B nbsp durch ihre Bildmenge im f f A f x x A displaystyle operatorname im f f A f x mid x in A nbsp so entsteht mit g A im f x f x displaystyle g colon A to operatorname im f x mapsto f x nbsp stets eine surjektive Funktion g displaystyle g nbsp wahrend f displaystyle f nbsp naturlich nicht surjektiv zu sein braucht Eine Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist genau dann surjektiv wenn f f 1 Y Y displaystyle f left f 1 Y right Y nbsp gilt fur alle Y B displaystyle Y subset B nbsp Sind die Funktionen f A B displaystyle f colon A to B nbsp und g B C displaystyle g colon B to C nbsp surjektiv dann gilt dies auch fur die Komposition Verkettung g f A C displaystyle g circ f colon A to C nbsp Aus der Surjektivitat von g f displaystyle g circ f nbsp folgt dass g displaystyle g nbsp surjektiv ist Eine Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist genau dann surjektiv wenn f displaystyle f nbsp eine Rechtsinverse hat also eine Funktion g B A displaystyle g colon B to A nbsp mit f g id B displaystyle f circ g operatorname id B nbsp wobei id B displaystyle operatorname id B nbsp die identische Abbildung auf B displaystyle B nbsp bezeichnet Diese Aussage ist aquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre Eine Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist genau dann surjektiv wenn f displaystyle f nbsp rechtskurzbar ist wenn also fur beliebige Funktionen g h B C displaystyle g h colon B to C nbsp mit g f h f displaystyle g circ f h circ f nbsp schon g h displaystyle g h nbsp folgt Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus Jede beliebige Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist darstellbar als Verkettung f h g displaystyle f h circ g nbsp wobei mit C f 1 y y im f displaystyle C f 1 y mid y in operatorname im f nbsp die Funktion g A C x f 1 f x displaystyle g colon A to C x mapsto f 1 f x nbsp surjektiv und h C B f 1 y y displaystyle h colon C to B f 1 y mapsto y nbsp injektiv ist Machtigkeiten von Mengen BearbeitenFur eine endliche Menge A displaystyle A nbsp ist die Machtigkeit A displaystyle A nbsp einfach die Anzahl der Elemente von A displaystyle A nbsp Ist nun f A B displaystyle f colon A to B nbsp eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen dann kann B displaystyle B nbsp hochstens so viele Elemente wie A displaystyle A nbsp haben es gilt also B A displaystyle B leq A nbsp Fur unendliche Mengen wird der Grossenvergleich von Machtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert aber auch hier gilt Ist f A B displaystyle f colon A to B nbsp surjektiv dann ist die Machtigkeit von B displaystyle B nbsp nicht grosser als die Machtigkeit von A displaystyle A nbsp auch hier schreibt man dafur B A displaystyle B leq A nbsp Literatur BearbeitenO A Ivanova Surjection In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweisarchiv Mengenlehre Lern und Lehrmaterialien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Surjektive Funktion amp oldid 215674934
