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Identische Abbildung Eine identische Abbildung oder Identität ist in der Mathematik eine Funktion die genau ihr Argument

Identische Abbildung

Eine identische Abbildung oder Identität ist in der Mathematik eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt. Obwohl sowohl die identische Abbildung als auch die Identitätsgleichung oft durch „Identität“ abgekürzt werden, handelt es sich um verschiedene Konzepte.

Graph der identischen Abbildung auf den reellen Zahlen

Definition Bearbeiten

Sei eine Menge, dann ist die identische Abbildung auf definiert durch

das heißt, für jedes aus gilt

Die identische Abbildung ist somit eine Bijektion. Der Index wird oft weggelassen, wenn die Definitionsmenge aus dem Kontext hervorgeht. In diesem Fall wird auch statt geschrieben. Statt der Notation wird manchmal die Schreibweise , mitunter auch nur oder vor allem in der Funktionalanalysis , benutzt.
Der Graph der identischen Abbildung ist die Diagonale

Eigenschaften Bearbeiten

Ist eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:

und

Daher ist in der Menge aller Funktionen von nach die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition. Somit bilden diese Funktionen ein Monoid. Insbesondere ist die Identität das neutrale Element in der Gruppe der Permutationen der Menge .

Die Identität auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion, die in der Zahlentheorie betrachtet wird.

Auf einem topologischen Raum ist die Identität eine stetige Funktion. Auf einem topologischen Vektorraum, zum Beispiel einem Banachraum, ist die Identität ein stetiger linearer Operator, der Einsoperator genannt wird. Ist der Banachraum zusätzlich endlichdimensional, so ist die Identität kompakt.

Die Matrizenmultiplikation mit der Einheitsmatrix (neutrales Element) ist eine Identitätsabbildung. In der linearen Algebra können Basiswechselmatrizen als Darstellungsmatrizen der identischen Abbildung bezüglich zweier unterschiedlicher Basen aufgefasst werden.

Die Existenz von Identitäten ist ein wesentlicher Bestandteil in der Definition der Kategorie. In den bekanntesten Fällen handelt es sich dabei um die identischen Abbildungen, aber in der Kategorientheorie können die Identitäten auch abstraktere Objekte sein. Aber auch dann werden die Bezeichnungen oder verwendet und es gelten die oben genannten Verknüpfungsregeln.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 59.
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Eine identische Abbildung oder Identitat ist in der Mathematik eine Funktion die genau ihr Argument zuruckgibt Obwohl sowohl die identische Abbildung als auch die Identitatsgleichung oft durch Identitat abgekurzt werden handelt es sich um verschiedene Konzepte Graph der identischen Abbildung auf den reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine Menge dann ist die identische Abbildung auf M displaystyle M nbsp definiert durch id M M M x x displaystyle operatorname id M colon M to M quad x mapsto x nbsp das heisst fur jedes x displaystyle x nbsp aus M displaystyle M nbsp gilt id M x x displaystyle operatorname id M x x nbsp Die identische Abbildung ist somit eine Bijektion Der Index wird oft weggelassen wenn die Definitionsmenge aus dem Kontext hervorgeht In diesem Fall wird auch 1 displaystyle 1 nbsp statt i d displaystyle mathrm id nbsp geschrieben Statt der Notation i d displaystyle mathrm id nbsp wird manchmal die Schreibweise I d displaystyle mathrm Id nbsp mitunter auch nur i displaystyle i nbsp oder vor allem in der Funktionalanalysis I displaystyle I nbsp benutzt Der Graph der identischen Abbildung ist die Diagonale 1 D M m m m M displaystyle Delta M m m mid m in M nbsp Eigenschaften BearbeitenIst f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp eine beliebige Funktion dann gilt fur die Komposition Hintereinanderausfuhrung mit der Identitat id N f f displaystyle operatorname id N circ f f nbsp und f id M f displaystyle f circ operatorname id M f nbsp Daher ist in der Menge aller Funktionen von M displaystyle M nbsp nach M displaystyle M nbsp die Identitat das neutrale Element bezuglich der Komposition Somit bilden diese Funktionen ein Monoid Insbesondere ist die Identitat das neutrale Element in der Gruppe der Permutationen der Menge M displaystyle M nbsp Die Identitat id N displaystyle operatorname id mathbb N nbsp auf der Menge der naturlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion die in der Zahlentheorie betrachtet wird Auf einem topologischen Raum ist die Identitat eine stetige Funktion Auf einem topologischen Vektorraum zum Beispiel einem Banachraum ist die Identitat ein stetiger linearer Operator der Einsoperator genannt wird Ist der Banachraum zusatzlich endlichdimensional so ist die Identitat kompakt Die Matrizenmultiplikation mit der Einheitsmatrix neutrales Element ist eine Identitatsabbildung In der linearen Algebra konnen Basiswechselmatrizen als Darstellungsmatrizen der identischen Abbildung bezuglich zweier unterschiedlicher Basen aufgefasst werden Die Existenz von Identitaten ist ein wesentlicher Bestandteil in der Definition der Kategorie In den bekanntesten Fallen handelt es sich dabei um die identischen Abbildungen aber in der Kategorientheorie konnen die Identitaten auch abstraktere Objekte sein Aber auch dann werden die Bezeichnungen i d M displaystyle mathrm id M nbsp oder 1 M displaystyle 1 M nbsp verwendet und es gelten die oben genannten Verknupfungsregeln Siehe auch BearbeitenEinheitstensor SelbstabbildungEinzelnachweise Bearbeiten Oliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Springer 2004 ISBN 978 3 540 20401 5 S 59 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Identische Abbildung amp oldid 220089135