Kategorientheorie

Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt.

Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen (klassische Strukturen sind z. B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht über Relationen zwischen Elementen der Trägermenge(n) definiert, sondern mittels Morphismen und Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

Bedeutung

Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen.
Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, als Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. So bilden Topoi, kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch (d. h. über Morphismen) formuliert werden, eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, der Theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Bereichstheorie, Graphgrammatiken) und der mathematischen Physik (topologische Quantenfeldtheorie) eine Rolle.

Aufgrund ihres hohen Grades an Abstraktion wird die Kategorientheorie gelegentlich – selbst von den Mathematikern, die sie entwickelten – als allgemeiner Unsinn bezeichnet.

Definitionen

Kategorie

Eine Kategorie besteht aus folgendem:

• Einer Klasse von Objekten.
• Einer Klasse von sogenannten Pfeilen oder Morphismen. Ein Morphismus ist ein Element einer Klasse die es zu jedem Paar von Objekten gibt (auch mit , , oder bezeichnet). Diese Klassen sind paarweise disjunkt, d. h. kein Morphismus , auch geschrieben, ist Element einer anderen Morphismenklasse. ist die Quelle eines Morphismus und wird auch mit bezeichnet (von englisch domain), das Ziel mit (von co-domain).
• Verknüpfungsabbildungen

die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:

(Gelegentlich wird das weggelassen und als angeschrieben.)

• einem Identitätsmorphismus zu jedem Objekt , der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel ist, d. h. es gilt , falls ist, und , falls . Anstelle ist auch die Form gebräuchlich.

Die Klasse aller Morphismen wird auch mit oder bezeichnet (von englisch arrow, französisch flèche, deutsch Pfeil).

Unterkategorie

Eine Unterkategorie einer Kategorie ist eine Kategorie , so dass eine Teilklasse von ist und für je zwei Objekte und in die Morphismenmenge Teilmenge von ist. Sind die Morphismenmengen von gleich denen von , ist eine volle Unterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Duale Kategorie

Die duale Kategorie zu einer Kategorie ist die Kategorie mit und

Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in . Anschaulich gesagt, zeigen in alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie ist gleich .

Produktkategorie

Die Produktkategorie zu zwei Kategorien und ist die Kategorie, deren Objekte genau die Paare mit und sind und deren Morphismen gegeben sind durch

Die Verknüpfung von Morphismen geschieht komponentenweise, d. h. , und es ist .

Funktor

→ Hauptartikel: Funktor (Mathematik)

Ein (kovarianter) Funktor ist eine strukturverträgliche Abbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor von einer Kategorie in eine Kategorie besteht aus den folgenden Daten:

• eine Zuordnung
• Abbildungen für je zwei Objekte , von .

Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:

• Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d. h. .
• Sie erhalten Identitätsmorphismen: .

Ein kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) von nach ist ein Funktor . Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

• Die Abbildungen auf den Morphismenmengen gehen von nach .
• Die Kompatibilität mit den Verknüpfungen lautet .

Ein Funktor von einer Kategorie in sie selbst heißt Endofunktor.

Sind Kategorien und sowie ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung (auch geschrieben), die formal durch

für Objekte und Morphismen definiert ist, ein Funktor . ist genau dann kovariant, wenn und beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche Transformation

→ Hauptartikel: Natürliche Transformation

Natürliche Transformationen sind eine Art Abbildung zwischen „parallelen“ Funktoren. Es wird von Funktoren und ausgegangen, die beide von derselben Kategorie in dieselbe Kategorie gehen. Eine natürliche Transformation von nach enthält für jedes Objekt von einen Morphismus , genannt Komponente von bei . Dabei muss für jeden Morphismus zwischen Objekten von das folgende Diagramm kommutieren:

Als Formel bedeutet das: .

Natürlich äquivalent sind zwei Funktoren und von nach , wenn es natürliche Transformationen und gibt, so dass und jeweils die Identität sind. Anders formuliert: Natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in der Funktorkategorie. Eine natürliche Transformation ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn jede Komponente ein Isomorphismus ist, man nennt daher auch einen natürlichen Isomorphismus.

Äquivalenz von Kategorien: Ein Funktor heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor gibt, so dass und jeweils natürlich äquivalent zur Identität von bzw. sind. Man kann zeigen, dass Äquivalenzen von Kategorien genau die volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sind.

Beispiele

Kategorien

Hinweis: Die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z. B. (Gruppen), oder unterstrichen.

• Die Kategorie Set, Ens bzw. Me (von engl. set, franz. ensemble, deutsch Menge) ist die Kategorie der Mengen. Die Kategorie besteht aus der Klasse , die alle Mengen enthält, und die Morphismenmenge enthält genau die Abbildungen von nach , d. h. Die Verknüpfung zweier Morphismen ist die Verkettung der Abbildungen.

• PoSet oder Pos wird die Kategorie der halbgeordneten Mengen (Objekte) und monotonen Abbildungen (Morphismen) genannt.

• Top bezeichnet die Kategorie der topologischen Räume (Objekte) und stetigen Abbildungen (Morphismen). Eine interessante Unterkategorie ist beispielsweise die volle Unterkategorie KHaus der kompakten Hausdorffräume.

• die Kategorie Grp oder Gr der Gruppen mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen; weiter die volle Unterkategorie AbGrp der abelschen Gruppen, die sehr konsequent auch mit Ab bezeichnet wird.

• die Kategorie NLinSp der normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z. B. die Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen (BanSp₁), die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen (BanSp₂), oder kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen (CBanAlg).

• Die Kategorie der kleinen Kategorien Cat oder Kat: Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Die Objekte von Cat sind die kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. (Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist aus mengentheoretischen Gründen nötig.)

• Eine Menge mit einer Halbordnung bestimmt eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, und habe genau ein Element (z. B. das geordnete Paar ), falls , und sei andernfalls leer.

• Sind und Kategorien, so kann man die Funktorkategorie bilden: Objekte sind Funktoren von nach , Morphismen sind natürliche Transformationen.

• Ist eine Kategorie und ein Objekt von , so ist die Kategorie der Objekte über wie folgt definiert: Objekte von sind Morphismen in mit Ziel , und Morphismen von sind Morphismen von , die mit den „Strukturmorphismen“ nach verträglich sind, d. h. sind und zwei Objekte von , so sind Morphismen von nach in die Morphismen von nach , für die gilt.

• Umgekehrt sei * ein fester einpunktiger topologischer Raum. Dann ist die Kategorie der topologischen Räume unter * isomorph zur Kategorie Top^* der punktierten topologischen Räume.

Die meisten der oben genannten Beispiele sind so geartet (oder lassen sich leicht dahingehend anpassen), dass die Objekte Mengen zusammen mit einer Zusatzstruktur sind, die Morphismen Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, und die Verknüpfung von Morphismen die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer konkreten Kategorie. Es ist jedoch nicht jede Kategorie konkret oder auch nur äquivalent zu einer konkreten Kategorie (d. h. konkretisierbar). Nicht konkretisierbar sind beispielsweise (ohne Beweis):

• Die Homotopie-Kategorie HoTop bzw. hTop mit topologischen Räumen als Objekten und Homotopieklassen stetiger Abbildungen als Morphismen.

• Die Kategorie der kleinen Kategorien, allerdings mit den natürlichen Äquivalenzklassen von Funktoren als Morphismen.

Funktoren

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.

• Für ein Objekt einer Kategorie ist die Zuordnung

ein (kovarianter) Funktor . Der Funktor

ist kontravariant. Hierzu siehe auch Hom-Funktor.

• Es sei ein Körper und die Kategorie der Vektorräume über mit den -linearen Abbildungen als Morphismen. Es sei nun ein kontravarianter Funktor

wie folgt definiert:

• Für ein Objekt ist der Dualraum von
• Für eine lineare Abbildung ist

Man überprüft leicht, dass und gilt.

• : ordnet einem unitären Ring seine Gruppe der Einheiten zu. Allgemeiner: : ordnet einem Ring die Gruppe der invertierbaren -Matrizen zu.
• Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor , von der Kategorie der punktierten topologischen Räume (die Punktierung gibt den Basispunkt an) in die Kategorie der Gruppen; die höheren Homotopiegruppen sind Funktoren ; die Homologiegruppen sind Funktoren ; die Kohomologiegruppen sind kontravariante Funktoren .
• Vergissfunktoren: Es gibt offensichtliche Funktoren , , usw., die einfach einen Teil der Struktur „vergessen“, d. h. einer abelschen Gruppe die zugrundeliegende Menge, einer abelschen Gruppe sich selbst (aber ohne die Information, dass sie abelsch ist), einem topologischen Raum die zugrundeliegende Menge usw. zuordnen.
• „Freie“ Konstruktionen, hier freie abelsche Gruppe: Jeder Menge kann man die abelsche Gruppe (mit punktweiser Addition) zuordnen. Zusammen mit offensichtlichen Zuordnungen für Abbildungen, nämlich , ergibt sich ein Funktor von nach . Es gibt dann eine kanonische Isomorphie , wobei der Vergissfunktor ist. Man sagt, ist (links-)adjungierter Funktor zu . Ähnliche Konstrukte existieren für viele Vergissfunktoren.
• Funktoren zwischen Kategorien, die von halbgeordneten Mengen bestimmt werden (s. o.), sind gerade monotone Abbildungen.

Natürliche Transformationen

• Die Bezeichnungen seien wie im Beispiel des Funktors „Dualraum“ oben. Die Abbildungen

eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation

Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist eine natürliche Äquivalenz.

• : Für einen Ring ist der Gruppenhomomorphismus , die Determinante.
• Die Hurewicz-Abbildung

• Das Cupprodukt in der Kohomologie.
• Die Abelisierung einer Gruppe

Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-Lemma

→ Hauptartikel: Lemma von Yoneda

Es sei eine Kategorie. Der Funktor

der einem Objekt den Funktor

zuordnet, ist volltreu. Allgemeiner gilt für Objekte von und von :

einer natürlichen Transformation wird dabei zugeordnet (man beachte ).

Strukturtransfer

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man ein Produkt von Objekten definieren als ein Objekt , für das objektweise das kartesische Produkt der ist, d. h., dass

gilt; dabei meint eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in . Diese Äquivalenz liefert für als Entsprechung von auch Morphismen . Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind und via natürlich äquivalente Funktoren, so sind und via isomorph.

„Universell“ ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen her, d. h. es gibt eine Abbildung , so dass gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe „Ko“ gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist das Koprodukt von Objekten in einer Kategorie dasselbe wie das Produkt derselben Objekte in der dualen Kategorie .

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus ein Monomorphismus, wenn objektweise injektiv ist.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

• Produkt und Koprodukt
• Anfangsobjekte und Endobjekte
• Differenzkern und Differenzkokern
• Faserprodukt und Pushout
• allgemein Limites bzw. Kolimites
• injektive und projektive Objekte
• adjungierte Funktoren
• 2-Kategorie

Siehe auch

• Kategorie (Philosophie)

Literatur

Einführungen:

• F. W. Lawvere, Stephen Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories. Cambridge 1997, ISBN 0-521-47817-0.
• Steve Awodey: Category Theory. Clarendon Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-856861-4.
• Michael Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative. Academic Press, 1975.
• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1, doi:10.1007/978-3-662-47068-8. 
• Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik und Informatik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin/ New York 1972, ISBN 3-11-003902-8. (Das Buch gibt in den Kapiteln 1, 3 und 5 eine in sich abgeschlossene Einführung in die allgemeine Kategorientheorie und in den Kapiteln 2, 4 und 6 wird die Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt.)
• Samson Abramsky, Nikos Tzevelekos: Introduction to Categories and Categorical Logic.

Klassische Lehrbücher:

• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
• Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory: An Introduction. Boston 1973.
• Saunders MacLane: Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie. Berlin 1972, ISBN 3-540-05634-3.
• Saunders MacLane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 0-387-98403-8.
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B. G. Teubner, Stuttgart 1969.
• Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer, 1970.

Ein Nachschlagewerk:

• Francis Borceux: Handbook of categorical algebra. 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). – Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, ISBN 0-521-44179-X, ISBN 0-521-44180-3.

Ein Sammelband:

• W. Gähler, G. Preuss: Categorical Structures and their Applications. World Scientific, 2004, ISBN 981-256-053-X.

Weblinks

• Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• PlanetMath Übersichtsartikel (englisch)
• Eine „sanfte Einführung“ in die Kategorientheorie, die nur mit Beispielen aus der Algorithmik arbeitet (englisch; 80 S.; PDF)
• nLab, Wiki mit vielen Einträgen über Kategorientheorie und den Bezug zu anderen Disziplinen
• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. Online ed. 2004 (PDF; 4,4 MB)
• Theory and Applications of Categories, Zeitschrift
• Categories, moderierte Liste von Kategorientheoretikern über Kategorientheorie

Einzelnachweise

1. Serge Lang: Algebra. Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 759. 
2. Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer, 2004, ISBN 3-0348-8962-3, S. 212. 
3. Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9, S. 8, doi:10.1007/978-3-663-12190-9. 

Normdaten (Sachbegriff): GND: 4120552-2 (lobid, OGND)