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Differenzkern Ein auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt ist eine Verallgemeiner

Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Definition Bearbeiten

In einer Kategorie seien zwei Morphismen gegeben. Ein Differenzkern von und ist ein Morphismus mit folgenden Eigenschaften:

  • und
  • zu jedem Morphismus , für den gilt, gibt es genau einen Morphismus , so dass .

Beispiele Bearbeiten

  • In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
  • Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition der Nullmorphismus , so ist ein Differenzkern von und nichts anderes als ein Kern von . Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition und zwei Differenzkerne von und , so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus mit gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit bezeichnet.
  • In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
  • Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und -Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set2 der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.
  • Differenzkerne sind Monomorphismen. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
  • Differenzkerne sind spezielle Limiten, nämlich die von Funktoren (auch -förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Äquivalente Beschreibung Bearbeiten

Ein Differenzkern zweier Morphismen in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt von beschrieben werden:

wobei

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

dann gilt für alle und alle für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
  2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
  3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Differenzkern auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Bemerkungen 4 Aquivalente Beschreibung 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIn einer Kategorie seien zwei Morphismen f g X Y displaystyle f g colon X rightarrow Y nbsp gegeben Ein Differenzkern von f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp ist ein Morphismus i Z X displaystyle i colon Z rightarrow X nbsp mit folgenden Eigenschaften f i g i displaystyle f circ i g circ i nbsp und zu jedem Morphismus i Z X displaystyle i colon Z to X nbsp fur den f i g i displaystyle f circ i g circ i nbsp gilt gibt es genau einen Morphismus c Z Z displaystyle c colon Z to Z nbsp so dass i i c displaystyle i i circ c nbsp 1 2 Z c i Z i X g f Y displaystyle begin array ccccc Z amp amp amp amp downarrow c amp searrow i amp amp amp Z amp xrightarrow i amp X amp underset f overset g rightrightarrows amp Y end array nbsp Beispiele BearbeitenIn den Kategorien Set der Mengen Top der topologischen Raume R displaystyle R nbsp Mod der Linksmoduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildungi x X f x g x X displaystyle i colon x in X mid f x g x hookrightarrow X nbsp ein Differenzkern Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist x X f x g x x X f g x 0 displaystyle x in X mid f x g x x in X mid f g x 0 nbsp automatisch ein Untermodul der mit dem Kern der Differenz f g displaystyle f g nbsp zusammenfallt was die Bezeichnung Differenzkern erklart In den Kategorien der Gruppen abelschen Gruppen Vektorraume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition g 0 X Y displaystyle g 0 XY nbsp der Nullmorphismus X Y displaystyle X rightarrow Y nbsp so ist ein Differenzkern von f displaystyle f nbsp und 0 X Y displaystyle 0 XY nbsp nichts anderes als ein Kern von f displaystyle f nbsp Damit ist jeder Kern ein Beispiel fur einen Differenzkern Bemerkungen BearbeitenDifferenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt Sind aber in der Situation obiger Definition i Z X displaystyle i colon Z rightarrow X nbsp und i Z X displaystyle tilde i colon tilde Z rightarrow X nbsp zwei Differenzkerne von f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus c Z Z displaystyle c colon tilde Z rightarrow Z nbsp mit i i c displaystyle tilde i i circ c nbsp gibt Differenzkerne sind also bis auf eindeutige Isomorphie bestimmt weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit k e r f g displaystyle mathrm ker f g nbsp bezeichnet In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt Z displaystyle Z nbsp den Differenzkern Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung die unerwahnt bleiben kann Man sagt eine Kategorie habe Differenzkerne wenn es zu je zwei Morphismen f g X Y displaystyle f g colon X rightarrow Y nbsp einen Differenzkern gibt Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set Top und R displaystyle R nbsp Mod haben offenbar Differenzkerne Die Unterkategorie Set2 der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne 3 Differenzkerne sind Monomorphismen 4 Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht Diejenigen Monomorphismen die als Differenzkern auftreten nennt man regular Differenzkerne sind spezielle Limiten namlich die von Funktoren I C displaystyle mathcal I rightarrow mathcal C nbsp auch I displaystyle mathcal I nbsp formige Diagramme genannt in welchen die Kategorie I displaystyle mathcal I nbsp aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitaten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht Aquivalente Beschreibung BearbeitenEin Differenzkern zweier Morphismen f g X Y displaystyle f g colon X to Y nbsp in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden aquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt i ker f g X displaystyle i colon ker f g to X nbsp von X displaystyle X nbsp beschrieben werden Hom T ker f g ker Hom T f Hom T g displaystyle operatorname Hom T ker f g cong ker operatorname Hom T f operatorname Hom T g nbsp wobei Hom T f Hom T X Hom T Y displaystyle operatorname Hom T f colon operatorname Hom T X to operatorname Hom T Y nbsp Hom T f t f t displaystyle operatorname Hom T f t ft nbsp und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist nicht der in der betrachteten Kategorie Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 naturlich in T displaystyle T nbsp sein das heisst Nennen wir die Familie von Isomorphismen f T Hom T ker f g ker Hom T f Hom T g displaystyle varphi T colon operatorname Hom T ker f g to ker operatorname Hom T f operatorname Hom T g nbsp dann gilt fur alle a T 0 T displaystyle a colon T 0 to T nbsp und alle t displaystyle t nbsp fur die der folgende Ausdruck definiert ist dass f T 0 t a f T t a displaystyle varphi T 0 ta varphi T t a nbsp Siehe auch BearbeitenDifferenzkokernEinzelnachweise Bearbeiten B Pareigis Kategorien und Funktoren B G Teubner 1969 Kapitel 1 9 Differenzkerne und kokerne Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1973 Definition 16 2 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1973 Beispiele 16 9 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1973 Satz 16 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenzkern amp oldid 232895265