In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man sogenannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte und eine Klasse von Morphismen von nach (auch als Pfeile bezeichnet).
Man schreibt:
Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.
Interpretiert man Mengen mit gleicher Struktur als Objekte und die Funktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur verträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer konkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen Relationen sind.
Beispiele Bearbeiten
Konkrete Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der Algebra studiert werden (z. B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
Jede Quasiordnung definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von sind und ein Morphismus genau dann existiert, wenn .
In einer Funktorkategorie sind die Morphismen die natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren.
Für manche Kategorien gibt es besondere Bezeichnungen für Morphismen.
- Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
- Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
- Eine Isometrie ist ein Isomorphismus in der Kategorie der metrischen Räumen mit den nichtexpansiven stetigen Abbildungen.
- Eine lineare Abbildung ist ein (Homo-)Morphismus zwischen Vektorräumen.
Verknüpfung Bearbeiten
Die Verknüpfung (Hintereinanderausführung, Komposition) von Morphismen, in Zeichen: , wird oft in einem kommutativen Diagramm dargestellt, beispielsweise
Typen Bearbeiten
- Jedes Objekt einer Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben der für alle Morphismen ein rechtsneutrales Element und für alle Morphismen ein linksneutrales Element der Komposition ist, sodass stets und gilt.
- Wenn ein Morphismus eine Rechtsinverse besitzt, d. h. wenn es einen Morphismus mit gibt, dann heißt Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt (Sektion, Koretraktion) einen Morphismus, der eine Linksinverse besitzt.
- Ist sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte und als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden (Isomorphismen sind beispielsweise in der konkreten Kategorie der Mengen die bijektiven Abbildungen).
- Ein Morphismus von nach heißt Endomorphismus von
- Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
- Ein Morphismus mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:
- Ein Morphismus mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:
- Ein Epimorphismus heißt extremal wenn aus und ist ein Monomorphismus, stets folgt: ist ein Isomorphismus.
- Ein Monomorphismus heißt extremal, wenn aus und ist ein Epimorphismus, stets folgt ist ein Isomorphismus.
- Ist sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist ein Bimorphismus. Nicht jeder Bimorphismus ist ein Isomorphismus. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.
Literatur Bearbeiten
- Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1.
- Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane: General theory of natural equivalences. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 58, Nr. 2, September 1945, S. 231–294.
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7.