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Morphismus Varietät Ein Morphismus von Varietäten ist in der algebraischen Geometrie eine Abbildung von Varietäten mit b

Morphismus (Varietät)

Ein Morphismus von Varietäten ist in der algebraischen Geometrie eine Abbildung von Varietäten mit bestimmten Regularitätseigenschaften. Ein Morphismus affiner Varietäten ist eine polynomiale Abbildung. Morphismen affiner Varietäten entsprechen eindeutig Homomorphismen ihrer Koordinatenringe. Die Definition kann auf quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten verallgemeinert werden, indem man Morphismen mit Hilfe regulärer Funktionen lokal definiert.

Morphismen abstrakter Varietäten sind lokale Garbenmorphismen.

(Bemerkung: Die Bezeichnung ist in der Literatur nicht einheitlich. Zum Teil wird auch für einen Morphismus der Ausdruck reguläre Abbildung verwendet, nicht zu verwechseln mit regulären Funktionen.)

Definitionen Bearbeiten

Affine Varietäten Bearbeiten

bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Eine Teilmenge ist eine algebraische Menge, wenn sie durch ein Ideal bestimmt wird:

Eine algebraische Menge ist eine affine Varietät, wenn sie sich nicht als echte Vereinigung zweier algebraischer Mengen schreiben lässt.

Sind und algebraische Mengen bzw. affine Varietäten, so heißt eine Abbildung

Morphismus, wenn es Polynome gibt, sodass für die Abbildung

gilt, dass

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrabbildung ebenfalls ein Morphismus ist. Es gibt bijektive Morphismen, die keine Isomorphismen sind.

Die Morphismen von nach bilden eine -Algebra, den Koordinatenring, der mit bezeichnet wird. Es gibt einen kanonischen Isomorphismus

wobei das Verschwindungsideal von ist:

Zusammenhang mit Algebrenhomomorphismen Bearbeiten

Ist ein Morphismus

dann ist

definiert durch

ein Homomorphismus von -Algebren.

Diese Zuordnung ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der algebraischen Mengen in die Kategorie der reduzierten -Algebren von endlichen Typ. Jede reduzierte -Algebra ist isomorph zu einem . Der Funktor ist eine Äquivalenz von Kategorien.

Die Zuordnung ist auch ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der affinen Varietäten in die Kategorie der nullteilerfreien -Algebren von endlichen Typ. Auch dies ist eine Äquivalenz von Kategorien.

Affine, quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten Bearbeiten

Um die Definition auf quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten zu erweitern, werden zunächst reguläre Funktionen definiert, um dann einen Morphismus lokal zu definieren.

Reguläre Funktionen Bearbeiten

Ist eine quasiaffine Varietät, so ist eine Funktion regulär in einem Punkt , wenn es eine offene Umgebung mit gibt und Polynome gibt, sodass nirgendwo auf Nullstellen hat und

Ist eine quasiprojektive Varietät, so ist eine Funktion regulär in einem Punkt , wenn es eine offene Umgebung mit gibt und homogene Polynome mit demselben Grad gibt, sodass nirgendwo auf Nullstellen hat und

und sind keine Funktionen auf dem , aber ist eine wohldefinierte Funktion, da und homogen vom gleichen Grad sind.

Ist eine quasiaffine oder eine quasiprojektive Varietät, so ist eine Funktion regulär, wenn sie auf jedem Punkt in regulär ist.

Wird der Körper mit dem affinen Raum identifiziert, so ist eine reguläre Funktion stetig in der Zariski-Topologie. (Umgekehrt ist aber nicht jede stetige Abbildung eine reguläre Funktion.)

Morphismen Bearbeiten

Im Folgenden sind und affine, quasiaffine, projektive oder quasiprojektive Varietäten.

Diese Objekte tragen auf natürliche Weise eine Topologie, nämlich die Zariski-Topologie, in der die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Mengen sind.

Ein Morphismus von nach ist eine stetige Funktion , die reguläre Funktionen von auf reguläre Funktionen von zurückholt. Genauer:

  • Eine stetige Funktion ist ein Morphismus, wenn für alle offenen Teilmengen gilt, dass, falls eine reguläre Funktion ist, dann auch regulär auf ist.

Rationale Abbildung Bearbeiten

Eine rationale Abbildung ist ein Morphismus von einer offenen Menge nach , sodass keine Fortsetzung auf einer echten Obermenge von hat. Ist , so wird regulär in genannt. Ein Morphismus wird daher auch reguläre Abbildung genannt.

Beispiele Bearbeiten

Neilsche Parabel Bearbeiten

Die Neilsche Parabel in der affinen reellen Ebene

Ein Isomorphismus ist bijektiv und ein Homöomorphismus, aber ein bijektiver Homöomorphismus ist nicht unbedingt ein Isomorphismus: Ist die Neilsche Parabel,

so ist die Abbildung

ein bijektiver Homöomorphismus, der kein Isomorphismus ist, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist.

Quasiaffine Varietäten Bearbeiten

Es ist nicht immer möglich, Morphismen von quasiaffinen Varietäten durch Einschränkungen ihrer affinen Obervarietät zu definieren, da nicht jeder Morphismus einer quasiaffinen Varietät eine Einschränkung eines Morphismus der Obervarietät ist. Die Varietät ist quasiaffin. Der Morphismus:

ist ein Isomorphismus, für den es keinen Morphismus gibt mit

Es gilt

Für den Morphismus mit , also und gilt hingegen .

Es lässt sich ein Isomorphismus von zu einer affinen Varietät angeben. Ist nämlich allgemein ein irreduzibles Polynom und

die entsprechende quasiaffine Varietät, außerdem die Hyperfläche

so ist die Abbildung

ein Isomorphismus.

Entfernt mal aber aus einer affinen Varietät eine Untervarietät der Kodimension größer als 1, so ist diese Varietät nicht affin.

Bilder von Morphismen Bearbeiten

Bilder quasiprojektiver Varietäten unter Morphismen sind im Allgemeinen keine quasiprojektiven Varietäten. Betrachtet man etwa den Morphismus

so erhält man als Bild . Dies ist keine lokalabgeschlossene Menge in . Das Bild ist jedoch stets eine konstruierbare Menge. Allgemein gilt, dass Morphismen konstruierbare Mengen auf konstruierbare Mengen abbilden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harris, Joe: Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-97716-3
  2. Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3, Theorem 3.16.

Literatur Bearbeiten

  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
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Ein Morphismus von Varietaten ist in der algebraischen Geometrie eine Abbildung von Varietaten mit bestimmten Regularitatseigenschaften Ein Morphismus affiner Varietaten ist eine polynomiale Abbildung Morphismen affiner Varietaten entsprechen eindeutig Homomorphismen ihrer Koordinatenringe Die Definition kann auf quasiaffine projektive und quasiprojektive Varietaten verallgemeinert werden indem man Morphismen mit Hilfe regularer Funktionen lokal definiert Morphismen abstrakter Varietaten sind lokale Garbenmorphismen Bemerkung Die Bezeichnung ist in der Literatur nicht einheitlich Zum Teil wird auch fur einen Morphismus der Ausdruck regulare Abbildung verwendet nicht zu verwechseln mit regularen Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Affine Varietaten 1 2 Zusammenhang mit Algebrenhomomorphismen 1 3 Affine quasiaffine projektive und quasiprojektive Varietaten 1 3 1 Regulare Funktionen 1 4 Morphismen 2 Rationale Abbildung 3 Beispiele 3 1 Neilsche Parabel 3 2 Quasiaffine Varietaten 4 Bilder von Morphismen 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinitionen BearbeitenAffine Varietaten Bearbeiten A k n displaystyle mathbb A k n nbsp bezeichne den n dimensionalen affinen Raum uber einem Korper k Eine Teilmenge V A k n displaystyle V subset mathbb A k n nbsp ist eine algebraische Menge wenn sie durch ein Ideal I k x 1 x n displaystyle I subset k x 1 ldots x n nbsp bestimmt wird V x 1 x n f x 1 x n 0 fur alle f I displaystyle V x 1 ldots x n f x 1 ldots x n 0 text fur alle f in I nbsp Eine algebraische Menge ist eine affine Varietat wenn sie sich nicht als echte Vereinigung zweier algebraischer Mengen schreiben lasst Sind V A k n displaystyle V subset mathbb A k n nbsp und W A k m displaystyle W subset mathbb A k m nbsp algebraische Mengen bzw affine Varietaten so heisst eine Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp Morphismus wenn es Polynome f 1 f m k x 1 x n displaystyle f 1 ldots f m in k x 1 ldots x n nbsp gibt sodass fur die Abbildung F A k n A k m displaystyle F colon mathbb A k n to mathbb A k m nbsp F x 1 x n f 1 x 1 x n f m x 1 x n displaystyle F colon x 1 ldots x n mapsto f 1 x 1 ldots x n ldots f m x 1 ldots x n nbsp gilt dass F V f displaystyle F V f nbsp Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Morphismus dessen Umkehrabbildung ebenfalls ein Morphismus ist Es gibt bijektive Morphismen die keine Isomorphismen sind Die Morphismen von V displaystyle V nbsp nach k displaystyle k nbsp bilden eine k displaystyle k nbsp Algebra den Koordinatenring der mit k V displaystyle k V nbsp bezeichnet wird Es gibt einen kanonischen Isomorphismus k x 1 x n I V k V displaystyle k x 1 ldots x n I V to k V nbsp wobei I V displaystyle I V nbsp das Verschwindungsideal von V displaystyle V nbsp ist I V f k x 1 x n f x 1 x n 0 fur alle x 1 x n V displaystyle I V f in k x 1 ldots x n f x 1 ldots x n 0 text fur alle x 1 ldots x n in V nbsp Zusammenhang mit Algebrenhomomorphismen Bearbeiten Ist a displaystyle alpha nbsp ein Morphismus a V W displaystyle alpha colon V to W nbsp dann ist a displaystyle alpha nbsp a k W k V displaystyle alpha colon k W to k V nbsp definiert durch a f f a displaystyle alpha f f circ alpha nbsp ein Homomorphismus von k displaystyle k nbsp Algebren Diese Zuordnung ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der algebraischen Mengen in die Kategorie der reduzierten k displaystyle k nbsp Algebren von endlichen Typ Jede reduzierte k displaystyle k nbsp Algebra ist isomorph zu einem k V displaystyle k V nbsp Der Funktor ist eine Aquivalenz von Kategorien Die Zuordnung ist auch ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der affinen Varietaten in die Kategorie der nullteilerfreien k displaystyle k nbsp Algebren von endlichen Typ Auch dies ist eine Aquivalenz von Kategorien Affine quasiaffine projektive und quasiprojektive Varietaten Bearbeiten Um die Definition auf quasiaffine projektive und quasiprojektive Varietaten zu erweitern werden zunachst regulare Funktionen definiert um dann einen Morphismus lokal zu definieren Regulare Funktionen Bearbeiten Ist Y A k n displaystyle Y subset mathbb A k n nbsp eine quasiaffine Varietat so ist eine Funktion f Y k displaystyle f colon Y to k nbsp regular in einem Punkt P Y displaystyle P in Y nbsp wenn es eine offene Umgebung U displaystyle U nbsp mit P U displaystyle P in U nbsp gibt und Polynome g h k x 1 x n displaystyle g h in k x 1 ldots x n nbsp gibt sodass h displaystyle h nbsp nirgendwo auf U displaystyle U nbsp Nullstellen hat und f U g h displaystyle f U frac g h nbsp Ist Y P k n displaystyle Y subset mathbb P k n nbsp eine quasiprojektive Varietat so ist eine Funktion f Y k displaystyle f colon Y to k nbsp regular in einem Punkt P Y displaystyle P in Y nbsp wenn es eine offene Umgebung U displaystyle U nbsp mit P U displaystyle P in U nbsp gibt und homogene Polynome g h k x 0 x 1 x n displaystyle g h in k x 0 x 1 ldots x n nbsp mit demselben Grad gibt sodass h displaystyle h nbsp nirgendwo auf U displaystyle U nbsp Nullstellen hat und f U g h displaystyle f U frac g h nbsp g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp sind keine Funktionen auf dem P k n displaystyle mathbb P k n nbsp aber g h displaystyle frac g h nbsp ist eine wohldefinierte Funktion da g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp homogen vom gleichen Grad sind Ist Y displaystyle Y nbsp eine quasiaffine oder eine quasiprojektive Varietat so ist eine Funktion f Y k displaystyle f colon Y to k nbsp regular wenn sie auf jedem Punkt in Y displaystyle Y nbsp regular ist Wird der Korper k displaystyle k nbsp mit dem affinen Raum A k 1 displaystyle mathbb A k 1 nbsp identifiziert so ist eine regulare Funktion stetig in der Zariski Topologie Umgekehrt ist aber nicht jede stetige Abbildung eine regulare Funktion Morphismen Bearbeiten Im Folgenden sind X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp affine quasiaffine projektive oder quasiprojektive Varietaten Diese Objekte tragen auf naturliche Weise eine Topologie namlich die Zariski Topologie in der die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Mengen sind Ein Morphismus von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp ist eine stetige Funktion ϕ X Y displaystyle phi colon X to Y nbsp die regulare Funktionen von Y displaystyle Y nbsp auf regulare Funktionen von X displaystyle X nbsp zuruckholt Genauer Eine stetige Funktion ϕ X Y displaystyle phi colon X to Y nbsp ist ein Morphismus wenn fur alle offenen Teilmengen V Y displaystyle V subset Y nbsp gilt dass falls f V k displaystyle f colon V to k nbsp eine regulare Funktion ist dann auch f ϕ ϕ 1 V k displaystyle f circ phi colon phi 1 V to k nbsp regular auf ϕ 1 V displaystyle phi 1 V nbsp ist Rationale Abbildung Bearbeiten Hauptartikel Rationale Abbildung Eine rationale Abbildung ist ein Morphismus ϕ displaystyle phi nbsp von einer offenen Menge U X displaystyle U subset X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp sodass ϕ displaystyle phi nbsp keine Fortsetzung auf einer echten Obermenge von Y displaystyle Y nbsp hat Ist x U displaystyle x in U nbsp so wird ϕ displaystyle phi nbsp regular in x displaystyle x nbsp genannt Ein Morphismus wird daher auch regulare Abbildung genannt Beispiele BearbeitenNeilsche Parabel Bearbeiten nbsp Die Neilsche Parabel in der affinen reellen EbeneEin Isomorphismus ist bijektiv und ein Homoomorphismus aber ein bijektiver Homoomorphismus ist nicht unbedingt ein Isomorphismus Ist X displaystyle X nbsp die Neilsche Parabel X x y A k 2 y 2 x 3 displaystyle X x y in mathbb A k 2 y 2 x 3 nbsp so ist die Abbildung f A k 1 X displaystyle f colon mathbb A k 1 to X nbsp f x x 2 x 3 displaystyle f colon x mapsto x 2 x 3 nbsp ein bijektiver Homoomorphismus der kein Isomorphismus ist da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist Quasiaffine Varietaten Bearbeiten Es ist nicht immer moglich Morphismen von quasiaffinen Varietaten durch Einschrankungen ihrer affinen Obervarietat zu definieren da nicht jeder Morphismus einer quasiaffinen Varietat eine Einschrankung eines Morphismus der Obervarietat ist Die Varietat Y A k 1 0 displaystyle Y A k 1 setminus 0 nbsp ist quasiaffin Der Morphismus f Y Y displaystyle f colon Y to Y nbsp f x 1 x displaystyle f colon x mapsto frac 1 x nbsp ist ein Isomorphismus fur den es keinen Morphismus g A k 1 A k 1 displaystyle g colon A k 1 to A k 1 nbsp gibt mit g Y f displaystyle g Y f nbsp Es gilt Y A k 1 P k 1 displaystyle Y subsetneq A k 1 subsetneq P k 1 nbsp und Y 0 A k 1 displaystyle Y cup 0 A k 1 nbsp A k 1 P k 1 displaystyle A k 1 cup infty P k 1 nbsp Fur den Morphismus g P k 1 P k 1 displaystyle g colon P k 1 to P k 1 nbsp mit x y y x displaystyle x y mapsto y x nbsp also 0 displaystyle 0 mapsto infty nbsp und 0 displaystyle infty mapsto 0 nbsp gilt hingegen g Y f displaystyle g Y f nbsp Es lasst sich ein Isomorphismus von Y displaystyle Y nbsp zu einer affinen Varietat angeben Ist namlich allgemein h k x 1 x n displaystyle h in k x 1 ldots x n nbsp ein irreduzibles Polynom und A k n V f x 1 x n A k n f x 1 x n 0 displaystyle A k n setminus V f x 1 ldots x n in A k n f x 1 ldots x n neq 0 nbsp die entsprechende quasiaffine Varietat ausserdem X A k n 1 displaystyle X subset A k n 1 nbsp die Hyperflache X x 1 x n 1 A k n 1 x n 1 f x 1 x n 1 displaystyle X x 1 ldots x n 1 in A k n 1 x n 1 f x 1 ldots x n 1 nbsp so ist die Abbildung ϕ X A k n V f displaystyle phi colon X to A k n setminus V f nbsp ϕ x 1 x n 1 x 1 x n displaystyle phi colon x 1 ldots x n 1 mapsto x 1 ldots x n nbsp ein Isomorphismus Entfernt mal aber aus einer affinen Varietat eine Untervarietat der Kodimension grosser als 1 so ist diese Varietat nicht affin Bilder von Morphismen BearbeitenBilder quasiprojektiver Varietaten unter Morphismen sind im Allgemeinen keine quasiprojektiven Varietaten Betrachtet man etwa den Morphismus f A k 2 A k 2 x y x x y displaystyle f colon A k 2 to A k 2 x y mapsto x xy nbsp so erhalt man als Bild f A k 2 0 0 x y A k 2 x 0 displaystyle f A k 2 0 0 cup x y in A k 2 mid x neq 0 nbsp Dies ist keine lokalabgeschlossene Menge in A k 2 displaystyle A k 2 nbsp Das Bild ist jedoch stets eine konstruierbare Menge Allgemein gilt dass Morphismen konstruierbare Mengen auf konstruierbare Mengen abbilden 2 Einzelnachweise Bearbeiten Harris Joe Algebraic geometry A first course Corrected reprint of the 1992 original Graduate Texts in Mathematics 133 Springer Verlag New York 1995 ISBN 0 387 97716 3 Joe Harris Algebraic Geometry A First Course Springer New Your 1992 ISBN 3 540 97716 3 Theorem 3 16 Literatur BearbeitenBruske Ischebeck Vogel Kommutative Algebra Bibliographisches Institut 1989 ISBN 978 3411140411 Klaus Hulek Elementare Algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 2000 ISBN 3 528 03156 5 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Morphismus Varietat amp oldid 205393328