www.wikidata.de-de.nina.az

Neilsche Parabel Die Neil sche Parabel nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt oder semikubische Parabel

Neilsche Parabel

Die Neil’sche Parabel (nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt) oder semikubische Parabel ist eine spezielle ebene algebraische Kurve, die durch eine Gleichung der Form

  • (A)
Neilsche Parabeln für verschiedene Werte von a.

beschrieben werden kann. Auflösen nach ergibt die explizite Form

  • (E1)

die Anlass für die Bezeichnung semikubische Parabel liefert.

(Eine gewöhnliche Parabel kann durch eine Gleichung beschrieben werden.)

Löst man (A) nach auf, so erhält man die Gleichung

  • (E2)

Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man, dass

  • (P)

eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist.

William Neile hatte erstmals die Bogenlänge dieser Kurve berechnet, die sog. Rektifizierung, und dies 1657 bekannt gemacht. Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von Ellipsen und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit, dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien.

Die Neil’sche Parabel ist rational, es existiert also eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung, die die Neil'sche Parabel auf die projektive Gerade abbildet.

Eigenschaften einer Neilschen Parabel Bearbeiten

Ähnlichkeit Bearbeiten

  • Jede Neilsche Parabel ist zur Neilschen Einheitsparabel ähnlich.

Beweis: Die Ähnlichkeitsabbildung (Streckung am Ursprung) führt die Neilsche Parabel in die Kurve mit über.

Singularität Bearbeiten

  • Die Parameterdarstellung ist überall außer im Punkt regulär. Die Kurve besitzt im Nullpunkt eine Singularität (Spitze).

Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor . Nur für ergibt sich der Nullvektor.

Neilsche Parabel: Tangente

Tangenten Bearbeiten

Für die Neilsche Einheitsparabel ergibt sich durch Differentiation die Gleichung der Tangente in einem Punkt des oberen Astes:

Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des unteren Astes mit den Koordinaten

(Beim Nachrechnen sollte man berücksichtigen, dass ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist.)

Bogenlänge Bearbeiten

Um die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve zu bestimmen, muss man das unbestimmte Integral lösen. Für die Neilsche Parabel ist

(Das Integral lässt sich mit Hilfe der Substitution lösen.)

Beispiel: Für (Neilsche Einheitsparabel) und die obere Grenze , d. h. bis zum Punkt , ist die Länge .

Evolute der Einheitsparabel Bearbeiten

Polarkoordinaten Bearbeiten

Um die Darstellung der Neilschen Parabel in Polarkoordinaten zu finden, schneidet man die Ursprungsgerade mit der Kurve. Für gibt es einen vom Nullpunkt (Spitze) verschiedenen Punkt: . Der Abstand dieses Punktes zum Nullpunkt ist . Mit und ergibt sich

Neilsche Parabel und kubische Parabel (grün)

Projektive Äquivalenz zur kubischen Parabel Bearbeiten

Bildet man die Neilsche Einheitsparabel mit der projektiven Abbildung (involutorische Perspektivität mit der Achse und Zentrum ) ab, so erhält man die Kurve , also die kubische Parabel . Die Spitze (Nullpunkt) der Neilschen Parabel wird mit dem Fernpunkt der y-Achse vertauscht.

Diese Eigenschaft lässt sich auch an der Darstellung der Neilschen Parabel in homogenen Koordinaten erkennen: Ersetzt man in (A) (die Ferngerade hat die Gleichung ) und multipliziert mit , erhält man die Kurvengleichung

  • in homogenen Koordinaten:

Wählt man nun die Gerade als Ferngerade und setzt , erhält man die (affine) Kurve

Literatur Bearbeiten

  • August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Dissertation
  • Clifford A. Pickover: The Length of Neile's Semicubical Parabola

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 461, rationale Kurve.
  2. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 2
  3. Clifford A. Pickover: The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, 2009, ISBN 9781402757969, S. 148
  4. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 26
  5. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 10
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Neil sche Parabel nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt oder semikubische Parabel 1 ist eine spezielle ebene algebraische Kurve die durch eine Gleichung der Form A y 2 a 2 x 3 0 a gt 0 displaystyle quad y 2 a 2 x 3 0 a gt 0 Neilsche Parabeln fur verschiedene Werte von a beschrieben werden kann Auflosen nach y displaystyle y ergibt die explizite Form E1 y a x 3 2 x 0 displaystyle quad y pm ax frac 3 2 x geq 0 die Anlass fur die Bezeichnung semikubische Parabel liefert Eine gewohnliche Parabel kann durch eine Gleichung y a x 2 displaystyle y ax 2 beschrieben werden Lost man A nach x displaystyle x auf so erhalt man die Gleichung E2 x y a 2 3 y R displaystyle quad x Big frac y a Big color red frac 2 3 quad y in mathbb R Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man dass P x t 2 y a t 3 t R displaystyle quad x t 2 quad y at 3 quad t in mathbb R eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist William Neile hatte erstmals die Bogenlange dieser Kurve berechnet die sog Rektifizierung und dies 1657 bekannt gemacht 2 3 Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von Ellipsen und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien Die Neil sche Parabel ist rational es existiert also eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung die die Neil sche Parabel auf die projektive Gerade abbildet Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften einer Neilschen Parabel 1 1 Ahnlichkeit 1 2 Singularitat 1 3 Tangenten 1 4 Bogenlange 1 5 Evolute der Einheitsparabel 1 6 Polarkoordinaten 1 7 Projektive Aquivalenz zur kubischen Parabel 2 Literatur 3 EinzelnachweiseEigenschaften einer Neilschen Parabel BearbeitenAhnlichkeit Bearbeiten Jede Neilsche Parabel t 2 a t 3 displaystyle t 2 at 3 nbsp ist zur Neilschen Einheitsparabel u 2 u 3 displaystyle u 2 u 3 nbsp ahnlich Beweis Die Ahnlichkeitsabbildung x y a 2 x a 2 y displaystyle x y rightarrow a 2 x a 2 y nbsp Streckung am Ursprung fuhrt die Neilsche Parabel t 2 a t 3 displaystyle t 2 at 3 nbsp in die Kurve a t 2 a t 3 u 2 u 3 displaystyle at 2 at 3 u 2 u 3 nbsp mit u a t displaystyle u at nbsp uber Singularitat Bearbeiten Die Parameterdarstellung t 2 a t 3 displaystyle t 2 at 3 nbsp ist uberall ausser im Punkt 0 0 displaystyle 0 0 nbsp regular Die Kurve besitzt im Nullpunkt eine Singularitat Spitze Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor 2 t 3 t 2 T displaystyle 2t 3t 2 T nbsp Nur fur t 0 displaystyle t 0 nbsp ergibt sich der Nullvektor nbsp Neilsche Parabel TangenteTangenten Bearbeiten Fur die Neilsche Einheitsparabel y x 3 2 displaystyle y pm x frac 3 2 nbsp ergibt sich durch Differentiation die Gleichung der Tangente in einem Punkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp des oberen Astes y x 0 2 3 x x 0 displaystyle y frac sqrt x 0 2 Big 3x x 0 Big nbsp Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des unteren Astes mit den Koordinaten 4 x 0 4 y 0 8 displaystyle Big frac x 0 4 frac y 0 8 Big nbsp Beim Nachrechnen sollte man berucksichtigen dass x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist Bogenlange Bearbeiten Um die Bogenlange einer parametrisierten Kurve x t y t displaystyle x t y t nbsp zu bestimmen muss man das unbestimmte Integral x t 2 y t 2 d t displaystyle int sqrt x t 2 y t 2 dt nbsp losen Fur die Neilsche Parabel t 2 a t 3 0 t b displaystyle t 2 at 3 0 leq t leq b nbsp ist 0 b x t 2 y t 2 d t 0 b t 4 9 a 2 t 2 d t 1 27 a 2 4 9 a 2 t 2 3 2 0 b displaystyle int 0 b sqrt x t 2 y t 2 dt int 0 b t sqrt 4 9a 2 t 2 dt cdots Big frac 1 27a 2 4 9a 2 t 2 frac 3 2 Big 0 b nbsp Das Integral lasst sich mit Hilfe der Substitution u 4 9 a 2 t 2 displaystyle u 4 9a 2 t 2 nbsp losen Beispiel Fur a 1 displaystyle a 1 nbsp Neilsche Einheitsparabel und die obere Grenze b 2 displaystyle b 2 nbsp d h bis zum Punkt 4 8 displaystyle 4 8 nbsp ist die Lange 9 073 displaystyle 9 073 nbsp Evolute der Einheitsparabel Bearbeiten Die Evolute der Parabel t 2 t displaystyle t 2 t nbsp ist eine in x Richtung um 1 2 verschobene Neilsche Parabel 1 2 t 2 4 3 3 t 3 displaystyle left frac 1 2 t 2 frac 4 sqrt 3 3 t 3 right nbsp Polarkoordinaten Bearbeiten Um die Darstellung der Neilschen Parabel t 2 a t 3 displaystyle t 2 at 3 nbsp in Polarkoordinaten zu finden schneidet man die Ursprungsgerade y m x displaystyle y mx nbsp mit der Kurve Fur m 0 displaystyle m neq 0 nbsp gibt es einen vom Nullpunkt Spitze verschiedenen Punkt m 2 a 2 m 3 a 2 displaystyle left frac m 2 a 2 frac m 3 a 2 right nbsp Der Abstand dieses Punktes zum Nullpunkt ist m 2 a 2 1 m 2 displaystyle frac m 2 a 2 sqrt 1 m 2 nbsp Mit m tan f displaystyle m tan varphi nbsp und sec 2 f 1 tan 2 f displaystyle sec 2 varphi 1 tan 2 varphi nbsp ergibt sich 5 r tan f a 2 sec f p 2 lt f lt p 2 displaystyle r Big frac tan varphi a Big 2 cdot sec varphi quad pi 2 lt varphi lt pi 2 nbsp nbsp Neilsche Parabel und kubische Parabel grun Projektive Aquivalenz zur kubischen Parabel Bearbeiten Bildet man die Neilsche Einheitsparabel t 2 t 3 displaystyle t 2 t 3 nbsp mit der projektiven Abbildung x y x y 1 y displaystyle x y rightarrow tfrac x y tfrac 1 y nbsp involutorische Perspektivitat mit der Achse y 1 displaystyle y 1 nbsp und Zentrum 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ab so erhalt man die Kurve 1 t 1 t 3 displaystyle left frac 1 t frac 1 t 3 right nbsp also die kubische Parabel y x 3 displaystyle y x 3 nbsp Die Spitze Nullpunkt der Neilschen Parabel wird mit dem Fernpunkt der y Achse vertauscht Diese Eigenschaft lasst sich auch an der Darstellung der Neilschen Parabel in homogenen Koordinaten erkennen Ersetzt man in A x x 1 x 3 y x 2 x 3 displaystyle x tfrac x 1 x 3 y tfrac x 2 x 3 nbsp die Ferngerade hat die Gleichung x 3 0 displaystyle x 3 0 nbsp und multipliziert mit x 3 3 displaystyle x 3 3 nbsp erhalt man die Kurvengleichung in homogenen Koordinaten x 3 x 2 2 x 1 3 0 displaystyle quad x 3 x 2 2 x 1 3 0 nbsp Wahlt man nun die Gerade x 2 0 displaystyle x color red 2 0 nbsp als Ferngerade und setzt x x 1 x 2 y x 3 x 2 displaystyle x tfrac x 1 x 2 y tfrac x 3 x 2 nbsp erhalt man die affine Kurve y x 3 displaystyle y x 3 nbsp Literatur BearbeitenAugust Pein Die semicubische oder Neil sche Parabel ihre Sekanten und Tangenten 1875 Dissertation Clifford A Pickover The Length of Neile s Semicubical ParabolaEinzelnachweise Bearbeiten Walter Gellert Herbert Kastner Siegfried Neuber Hrsg Lexikon der Mathematik VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1979 S 461 rationale Kurve August Pein Die semicubische oder Neil sche Parabel ihre Sekanten und Tangenten S 2 Clifford A Pickover The Math Book From Pythagoras to the 57th Dimension 250 Milestones in the History of Mathematics Sterling Publishing Company 2009 ISBN 9781402757969 S 148 August Pein Die semicubische oder Neil sche Parabel ihre Sekanten und Tangenten S 26 August Pein Die semicubische oder Neil sche Parabel ihre Sekanten und Tangenten S 10 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Neilsche Parabel amp oldid 232972137