In der Mathematik ist eine Kurve (von lateinisch curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt. Im Gegensatz etwa zu einer Geraden muss eine Kurve grundsätzlich keinen geraden, sondern kann vielmehr jeden beliebigen Verlauf annehmen.
Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in eine Richtung (bzw. in die Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt (ebene Kurve), in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), oder gar in einer Mannigfaltigkeit (beispielsweise in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit) ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.
Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.
Parameterdarstellungen Bearbeiten
Eine Kurve kann als das Bild (Wertebereich) eines Weges definiert werden. Ein Weg ist (abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z. B. in die euklidische Ebene . Ein Weg, dessen Bild eine gegebene Kurve ist, heißt auch Parameterdarstellung dieser Kurve. Wege werden deshalb manchmal auch als parametrisierte Kurven bezeichnet.
Beispiele:
- Die Abbildung
- Die Abbildung
Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.
Parametertransformation Bearbeiten
Eine Parametertransformation ist eine umkehrbar stetige Abbildung (Homöomorphismus), der zwei Wege (d. h. parametrisierte Kurven) ineinander überführt gemäß .
Für zwei Parameterdarstellungen derselben Kurve ist ein Parameterwechsel daher durch eine Parametertransformation gegeben, so dass – und damit umgekehrt auch .
Statt Kurven mit den Bildern von Wegen zu identifizieren, könnte man sie auch (im Sinn der Kategorientheorie) äquivalent auch als die Äquivalenzklassen von Wegen mit gleichem Bild beschreiben, die durch Parametertransformationen (Homöomorphismen) ineinander übergeführt werden können. Diese Gleichwertigkeit macht man sich zunutze, um spezielle Klassen von Kurven zu definieren.
Gerichtete Kurven Bearbeiten
Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen „Richtungssinn“ in der Richtung des wachsenden Parameters.
Eine „gerichtete“ (oder „orientierte“) Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Wegen (parameterisierten Kurven), die sich durch streng (strikt) monotone steigende Parametertransformationen ineinander überführen lassen.
In Anpassung des Sprachgebrauchs an den vorliegenden Verwendungszweck wird allgemein definiert:
Die „Spur“ einer (parametrisierten, gerichteten oder allgemeinen) Kurve ist die eindeutige Menge der Bildpunkte (einer beliebigen Parameterdarstellung derselben).
Glatte Kurven Bearbeiten
In diesem Fall verlangt man zusätzlich -fache stetige Differenzierbarkeit () für den Weg bzw. die Parameterdarstellungen einer (gerichteten) Kurve. Die entsprechenden Kurvenklassen werden mit bezeichnet.
Gleichungsdarstellungen Bearbeiten
Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Beispiele dafür sind wieder die Bilder der beiden durch die obigen Parameterdarstellungen gegebenen Kurven:
- Die Gleichung
- Die Gleichung
Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.
Funktionsgraphen Bearbeiten
Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion
kann entweder als Parameterdarstellung
oder als Gleichung
angegeben werden.
Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.
Differenzierbare Kurven, Krümmung Bearbeiten
Sei ein Intervall und eine reguläre Kurve, d. h. für alle . Die Länge der Kurve ist
Die Funktion
ist ein Diffeomorphismus , und die Verkettung von mit dem inversen Diffeomorphismus liefert eine neue Kurve mit für alle . Man sagt: ist nach der Bogenlänge parametrisiert.
Sei ein Intervall und eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Krümmung von an der Stelle ist definiert als . Für ebene Kurven kann man die Krümmung noch mit einem Vorzeichen versehen: Ist die Drehung um 90°, dann ist festgelegt durch . Positive Krümmung entspricht Linkskurven, negative Rechtskurven.
Geschlossene Kurven Bearbeiten
Eine ebene Kurve heißt geschlossen, wenn , und einfach geschlossen, wenn zusätzlich auf injektiv ist. Der Jordansche Kurvensatz besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Ebene in einen beschränkten und einen unbeschränkten Teil zerlegt. Ist eine geschlossene Kurve mit für alle , kann man der Kurve eine Umlaufzahl zuordnen, die angibt, wie oft die Kurve um den Nullpunkt herumläuft.
Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Tangentenumlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve durch
gegeben ist. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass eine einfache geschlossene Kurve Tangentenumlaufzahl oder hat.
Sei allgemein ein topologischer Raum. Statt von geschlossenen Wegen mit spricht man auch von Schleifen mit Basispunkt . Weil der Quotientenraum homöomorph zum Einheitskreis ist, identifiziert man Schleifen mit stetigen Abbildungen . Zwei Schleifen mit Basispunkt heißen homotop, wenn man sie unter Beibehaltung des Basispunkts stetig ineinander deformieren kann, d. h. wenn es eine stetige Abbildung mit , für alle und für alle gilt. Die Äquivalenzklassen homotoper Schleifen bilden eine Gruppe, die Fundamentalgruppe von . Ist , dann ist die Fundamentalgruppe über die Windungszahl isomorph zu .
Raumkurven Bearbeiten
Sei ein Intervall und eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die folgenden Bezeichnungen sind Standard:
(definiert, wann immer ). ist der Tangentialvektor, der Normalenvektor und der Binormalenvektor, das Tripel heißt begleitendes Dreibein. Die Krümmung ist , die Windung definiert durch . Es gelten die frenetschen Formeln:
Der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie besagt, dass man eine Kurve aus Krümmung und Windung rekonstruieren kann: Sind glatte Funktionen mit für alle (der Wert 0 ist für also nicht erlaubt), so gibt es bis auf Bewegungen genau eine entsprechende Kurve.
Die von je zwei der drei Vektoren , oder aufgespannten Ebenen durch den Kurvenpunkt tragen besondere Namen:
- Die Oskulationsebene oder Schmiegebene wird von und aufgespannt.
- Die Normalebene wird von und aufgespannt.
- Die rektifizierende Ebene oder Streckebene wird von und aufgespannt.
Kurven als eigenständige Objekte Bearbeiten
Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden oder zur Einheitskreislinie ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.
In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)
Historisches Bearbeiten
Das erste Buch der Elemente (Στοιχεῖα) von Euklid begann mit der Definition „Ein Punkt (σημεῖον, signum) ist, was keine Teile hat. Eine Kurve (γραμμή, Linie) ist eine Länge ohne Breite.“
Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen , die die gesamte Ebene ausfüllen. Andererseits folgt aus dem Lemma von Sard, dass jede differenzierbare Kurve den Flächeninhalt null, also tatsächlich wie von Euklid gefordert „keine Breite“ hat.
Literatur Bearbeiten
- Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
- Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.
Anmerkungen Bearbeiten
- Für Wege als parametrisierte Kurven ist das die Bildmenge, bei gerichteten Kurven wird die Orientierung „vergessen“, für Kurven im allgemeinen Sinn liefert die Spur die Kurve selbst (da es nichts zu „vergessen“ gibt).
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Douglas Harper: curve. In: Online-Herkunftswörterbuch Etymonline. Douglas Harper, abgerufen am 9. Juni 2023.
- Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen: Gerade Kurve - eine Erklärung von der Physikexpertin. In: Website HELPSTER.de. gutefrage.net GmbH, abgerufen am 9. Juni 2023.
- Prof. Dr. Guido Walz: Kurve. In: Lexikon der Mathematik Band 3 Inp bis Mon (Umfassendes Nachschlagewerk mit ca. 17.000 Stichworteinträgen). Prof. Dr. Guido Walz, abgerufen am 9. Juni 2023.
- ↑ Sebastian Goette: Elementare Differentialgeometrie. Vorlesungsskript, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, 2009.
- H. Neunzert, W.G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-97840-1, 23.5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 978-3-486-78544-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2, Absatz 2.9.
- Ulrich Felgner: Kapitel 4 Die Euklid’sche Axiomatik. In: Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit. Ulrich Felgner, S. 45–61, abgerufen am 9. Juni 2023.
- H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss: Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua. In: Felix Hausdorff - Gesammelte Werke Band III : Mengenlehre (1927,1935) Deskripte Mengenlehre und Topologie / Band 3. Mengenlehre (1927, 1935), deskriptive Mengenlehre und Topologie. Ulrich Felgner, Felix Hausdorff, Horst Herrlich, Mirek Husek, Vladimir Kanovei, Peter Koepke, Gerhard Preuß, Walter Purkert, Erhard Scholz, S. 798–839, abgerufen am 9. Juni 2023.