www.wikidata.de-de.nina.az

Dreibein Geometrie Dreibein englisch trihedron bezeichnet in der Geometrie eine geometrische Figur des euklidischen Raum

Dreibein (Geometrie)

Dreibein (englisch trihedron) bezeichnet in der Geometrie eine geometrische Figur des euklidischen Raums oder der euklidischen Ebene, welche aus einem gemeinsamen Punkt und drei von diesem Punkt ausgehenden Strecken oder Vektoren der gleichen Länge besteht. Es wird hier im Allgemeinen vorausgesetzt, dass diese Strecken bzw. Vektoren nicht alle auf einer Geraden liegen.

Begriffsbestimmungen und Erläuterungen Bearbeiten

  • Formal lässt sich ein Dreibein auffassen als ein Quadrupel mit drei (paarweise verschiedenen) Strecken des , welche allesamt von derselben Länge sind, dabei als gemeinsamen Eckpunkt und ansonsten keinen weiteren gemeinsamen Punkt haben.
  • Den Punkt bezeichnet man als Scheitelpunkt des Dreibeins .
  • Insbesondere sind die vier Eckpunkte eines Dreibeins nicht kollinear und die neben dem Scheitelpunkt gegebenen Eckpunkte fallen nicht mit dem Punkt zusammen.
  • Für das Dreibein ist also . Dabei wird üblicherweise der zu der Strecke gehörige Vektor mit ihr identifiziert.
  • Die drei Vektoren sind zu je zweien -linear unabhängig und es gilt .
  • Man bezeichnet das zugehörige Quadrupel ebenfalls als Dreibein.
  • Genauso wird auch in Bezug auf das zugehörige Punktequadrupel von einem Dreibein gesprochen.
  • Üblicherweise wird zwischen nicht weiter unterschieden und der Zusammenhang als selbstverständlich gegeben betrachtet.

Besonderheiten Bearbeiten

  • Sind Strecken in der euklidischen Ebene oder in einer Ebene des euklidischen Raums, so nennt man ein ebenes Dreibein.
  • Sind Strecken im euklidischen Raum, die nicht alle in einer Ebene liegen, so nennt man ein räumliches Dreibein. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Vektorentripel -linear unabhängig ist.
  • Ist ein räumliches Dreibein und stehen paarweise zueinander senkrecht, so nennt man ein orthogonales räumliches Dreibein.
  • Ist ein orthogonales räumliches Dreibein mit , so nennt man ein orthonormiertes räumliches Dreibein. In diesem Falle ist der Scheitelpunkt ein Eckpunkt des von aufgespannten Würfels der Seitenlänge . Man nennt ein orthonormiertes räumliches Dreibein daher manchmal auch eine Würfelecke.
  • In der Regel treten orthonormierte räumliche Dreibeine im euklidischen Anschauungsraum auf. Ist dort ein solches, so bildet das zugehörige Vektorentripel eine Orthonormalbasis des .
  • Dreibeine treten nicht zuletzt in der Darstellenden Geometrie im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Axonometrie auf. Hier bezeichnet man ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins als pohlkesches Dreibein.
  • In der Differentialgeometrie trifft man ein Dreibein in der Regel als begleitendes Dreibein (englisch moving trihedron oder moving frame) einer Raumkurve an, insbesondere im Zusammenhang mit den Frenetschen Formeln. Begleitende Dreibeine entstehen, wenn man zu jedem Kurvenpunkt einer Raumkurve aus ihm selbst, dem anliegenden Tangenteneinheitsvektor , dem anliegenden Normaleneinheitsvektor sowie dem anliegenden Binormaleneinheitsvektor das Quadrupel bildet. Dabei bildet das Vektorentripel stets ein Rechtssystem.
  • In der Differentialgeometrie werden in Verallgemeinerung der begleitenden Dreibeine zu allgemeinen Raumkurven die begleitenden (Frenet-)n-Beine untersucht.

Abgrenzung Bearbeiten

Die im Englischen für ein Dreibein benutzte Bezeichnung trihedron legt nahe, ein Dreibein mit einem Trieder gleichzusetzen, also mit einem von drei ebenen Flächen begrenzten Polyeder im . In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur ist diese Gleichsetzung nicht allgemein üblich. Folgt man etwa György Hajós und seiner Darstellung in der Einführung in die Geometrie, so ist ein Trieder eine spezielle unbeschränkte geometrische Figur des . Hajós beschreibt diese als dreikantige konvexe Ecke bzw. als dreiseitige unendliche Pyramide oder kurz als Dreikant und meint damit die konvexe Hülle dreier von einem gemeinsamen Raumpunkt ausgehender Strahlen, die außer keinen weiteren Raumpunkt gemeinsam haben. Als Beispiele für solche Trieder nennt er die Oktanten des .

Literatur Bearbeiten

  • Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. Band 1. A-E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1976, ISBN 3-7614-0242-2.
  • Hermann Engesser (Bearbeiter): Der kleine Duden. Mathematik. 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1996, ISBN 3-411-05352-6.
  • Walter Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main 197, ISBN 3-87144-323-9.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1970 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1973, ISBN 3-540-06253-X.
  • John McCleary: Geometry from a Differentiable Viewpoint. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 2013, ISBN 978-0-521-13311-1.
  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 2: Analysis und angewandte Mathematik. 11. durchgesehene und korrigierte Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 2003, ISBN 3-423-03008-9.

Weblinks Bearbeiten

  • Moving frame in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 244–245
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Dreibein englisch trihedron bezeichnet in der Geometrie eine geometrische Figur des euklidischen Raums oder der euklidischen Ebene welche aus einem gemeinsamen Punkt und drei von diesem Punkt ausgehenden Strecken oder Vektoren der gleichen Lange d gt 0 displaystyle d gt 0 besteht Es wird hier im Allgemeinen vorausgesetzt dass diese Strecken bzw Vektoren nicht alle auf einer Geraden liegen Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsbestimmungen und Erlauterungen 2 Besonderheiten 3 Abgrenzung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBegriffsbestimmungen und Erlauterungen BearbeitenFormal lasst sich ein Dreibein auffassen als ein Quadrupel D O S 1 S 2 S 3 displaystyle mathcal D O S 1 S 2 S 3 nbsp mit drei paarweise verschiedenen Strecken S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp des R n n 2 displaystyle mathbb R n n geq 2 nbsp welche allesamt von derselben Lange d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp sind dabei O R n displaystyle O in mathbb R n nbsp als gemeinsamen Eckpunkt und ansonsten keinen weiteren gemeinsamen Punkt haben Den Punkt O displaystyle O nbsp bezeichnet man als Scheitelpunkt des Dreibeins D displaystyle mathcal D nbsp Insbesondere sind die vier Eckpunkte eines Dreibeins nicht kollinear und die neben dem Scheitelpunkt O displaystyle O nbsp gegebenen Eckpunkte P i i 1 2 3 displaystyle P i i 1 2 3 nbsp fallen nicht mit dem Punkt O displaystyle O nbsp zusammen Fur das Dreibein D O S 1 S 2 S 3 displaystyle mathcal D O S 1 S 2 S 3 nbsp ist also S i O P i displaystyle S i O P i nbsp Dabei wird ublicherweise der zu der Strecke S i displaystyle S i nbsp gehorige Vektor v i O P i displaystyle vec v i overrightarrow O P i nbsp mit ihr identifiziert Die drei Vektoren v i O P i i 1 2 3 displaystyle vec v i overrightarrow O P i i 1 2 3 nbsp sind zu je zweien R displaystyle mathbb R nbsp linear unabhangig und es gilt d v i 2 S i i 1 2 3 displaystyle d vec v i 2 S i i 1 2 3 nbsp Man bezeichnet das zugehorige Quadrupel D O v 1 v 2 v 3 displaystyle mathcal D O vec v 1 vec v 2 vec v 3 nbsp ebenfalls als Dreibein Genauso wird auch in Bezug auf das zugehorige Punktequadrupel D O P 1 P 2 P 3 displaystyle mathcal D O P 1 P 2 P 3 nbsp von einem Dreibein gesprochen Ublicherweise wird zwischen D D D displaystyle mathcal D mathcal D mathcal D nbsp nicht weiter unterschieden und der Zusammenhang als selbstverstandlich gegeben betrachtet Besonderheiten BearbeitenSind S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp Strecken in der euklidischen Ebene oder in einer Ebene des euklidischen Raums so nennt man D displaystyle mathcal D nbsp ein ebenes Dreibein Sind S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp Strecken im euklidischen Raum die nicht alle in einer Ebene liegen so nennt man D displaystyle mathcal D nbsp ein raumliches Dreibein Dies ist genau dann der Fall wenn das Vektorentripel v 1 v 2 v 3 displaystyle vec v 1 vec v 2 vec v 3 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp linear unabhangig ist Ist D displaystyle mathcal D nbsp ein raumliches Dreibein und stehen S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp paarweise zueinander senkrecht so nennt man D displaystyle mathcal D nbsp ein orthogonales raumliches Dreibein Ist D displaystyle mathcal D nbsp ein orthogonales raumliches Dreibein mit d 1 displaystyle d 1 nbsp so nennt man D displaystyle mathcal D nbsp ein orthonormiertes raumliches Dreibein In diesem Falle ist der Scheitelpunkt O displaystyle O nbsp ein Eckpunkt des von S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp aufgespannten Wurfels der Seitenlange d 1 displaystyle d 1 nbsp Man nennt ein orthonormiertes raumliches Dreibein daher manchmal auch eine Wurfelecke In der Regel treten orthonormierte raumliche Dreibeine im euklidischen Anschauungsraum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp auf Ist dort D displaystyle mathcal D nbsp ein solches so bildet das zugehorige Vektorentripel v 1 v 2 v 3 displaystyle vec v 1 vec v 2 vec v 3 nbsp eine Orthonormalbasis des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Dreibeine treten nicht zuletzt in der Darstellenden Geometrie im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Axonometrie auf Hier bezeichnet man ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines orthonormierten raumlichen Dreibeins als pohlkesches Dreibein In der Differentialgeometrie trifft man ein Dreibein in der Regel als begleitendes Dreibein englisch moving trihedron oder moving frame einer Raumkurve an insbesondere im Zusammenhang mit den Frenetschen Formeln Begleitende Dreibeine entstehen wenn man zu jedem Kurvenpunkt c s s a b displaystyle c s s in a b nbsp einer Raumkurve c a b R 3 displaystyle c colon a b to mathbb R 3 nbsp aus ihm selbst dem anliegenden Tangenteneinheitsvektor t s displaystyle hat t s nbsp dem anliegenden Normaleneinheitsvektor n s displaystyle hat n s nbsp sowie dem anliegenden Binormaleneinheitsvektor b s displaystyle hat b s nbsp das Quadrupel c s t s n s b s displaystyle c s hat t s hat n s hat b s nbsp bildet Dabei bildet das Vektorentripel t s n s b s displaystyle hat t s hat n s hat b s nbsp stets ein Rechtssystem In der Differentialgeometrie werden in Verallgemeinerung der begleitenden Dreibeine zu allgemeinen Raumkurven c a b R n n N n 2 displaystyle c colon a b to mathbb R n n in mathbb N n geq 2 nbsp die begleitenden Frenet n Beine untersucht Abgrenzung BearbeitenDie im Englischen fur ein Dreibein benutzte Bezeichnung trihedron legt nahe ein Dreibein mit einem Trieder gleichzusetzen also mit einem von drei ebenen Flachen begrenzten Polyeder im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur ist diese Gleichsetzung nicht allgemein ublich Folgt man etwa Gyorgy Hajos und seiner Darstellung in der Einfuhrung in die Geometrie so ist ein Trieder eine spezielle unbeschrankte geometrische Figur des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Hajos beschreibt diese als dreikantige konvexe Ecke bzw als dreiseitige unendliche Pyramide oder kurz als Dreikant und meint damit die konvexe Hulle dreier von einem gemeinsamen Raumpunkt O R 3 displaystyle O in mathbb R 3 nbsp ausgehender Strahlen die ausser O displaystyle O nbsp keinen weiteren Raumpunkt gemeinsam haben Als Beispiele fur solche Trieder nennt er die Oktanten des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp 1 Literatur BearbeitenHermann Athen Jorn Bruhn Hrsg Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete Band 1 A E Aulis Verlag Deubner Koln 1976 ISBN 3 7614 0242 2 Hermann Engesser Bearbeiter Der kleine Duden Mathematik 2 Auflage Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich 1996 ISBN 3 411 05352 6 Walter Gellert H Kustner M Hellwich H Kastner Hrsg Kleine Enzyklopadie Mathematik Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt Main 197 ISBN 3 87144 323 9 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie BSB B G Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1970 ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Wilhelm Klingenberg Eine Vorlesung uber Differentialgeometrie Heidelberger Taschenbucher Band 107 Springer Verlag Berlin u a 1973 ISBN 3 540 06253 X John McCleary Geometry from a Differentiable Viewpoint Cambridge University Press Cambridge u a 2013 ISBN 978 0 521 13311 1 Fritz Reinhardt Heinrich Soeder Hrsg dtv Atlas zur Mathematik Tafeln und Texte Band 2 Analysis und angewandte Mathematik 11 durchgesehene und korrigierte Auflage Deutscher Taschenbuch Verlag Munchen 2003 ISBN 3 423 03008 9 Weblinks BearbeitenMoving frame in der englischsprachigen WikipediaEinzelnachweise Bearbeiten Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie 1970 S 244 245 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreibein Geometrie amp oldid 238912306 Besonderheiten