Die frenetschen Formeln Frenet Formeln benannt nach dem franzosischen Mathematiker Jean Frederic Frenet sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie Sie werden auch Ableitungsgleichungen oder Frenet Serret Formeln genannt letzteres nach Joseph Serret der die Formeln vollstandig angab In diesem Artikel werden die frenetschen Formeln zunachst im dreidimensionalen Anschauungsraum R 3 displaystyle mathbb R 3 vorgestellt im Anschluss die Verallgemeinerung auf hohere Dimensionen Inhaltsverzeichnis 1 Der dreidimensionale Fall 1 1 Ubersicht 1 2 Begriffsbildungen 1 3 Frenetsche Formeln in Abhangigkeit von anderen Parametern 2 Die frenetschen Formeln in n Dimensionen 3 Hauptsatz der lokalen Kurventheorie 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDer dreidimensionale Fall BearbeitenUbersicht Bearbeiten Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis Einheitsvektoren die paarweise senkrecht aufeinander stehen aus drei Vektoren Tangentenvektor t displaystyle vec t nbsp Hauptnormalenvektor n displaystyle vec n nbsp und Binormalenvektor b displaystyle vec b nbsp die das lokale Verhalten der Kurve r s displaystyle vec r s nbsp beschreiben und drucken die Ableitungen dieser Vektoren nach der Bogenlange s displaystyle s nbsp als Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus Dabei treten die fur die Kurve charakteristischen skalaren Grossen Krummung k displaystyle kappa nbsp und Torsion t displaystyle tau nbsp auf d r d s t d t d s k n t n b displaystyle frac mathrm d vec r mathrm d s vec t qquad frac mathrm d vec t mathrm d s kappa vec n qquad vec t times vec n vec b nbsp d b d s t n d n d s t b k t displaystyle frac mathrm d vec b mathrm d s tau vec n qquad frac mathrm d vec n mathrm d s tau vec b kappa vec t nbsp Begriffsbildungen Bearbeiten Der Vektor D r r 2 r 1 displaystyle Delta vec r vec r 2 vec r 1 nbsp verbindet zwei Punkte der Bahn und hat die Lange D r D r D r displaystyle Delta vec r sqrt Delta vec r cdot Delta vec r nbsp Fur D r 0 displaystyle Delta vec r rightarrow 0 nbsp geht D r displaystyle Delta vec r nbsp gegen die Bogenlange des zwischen r 1 displaystyle vec r 1 nbsp und r 2 displaystyle vec r 2 nbsp gelegenen Bahnstucks d s d r d r d r displaystyle mathrm d s mathrm d vec r sqrt mathrm d vec r cdot mathrm d vec r nbsp Vom Anfangspunkt r 0 displaystyle vec r 0 nbsp zum Punkt r displaystyle vec r nbsp betragt die Bogenlange der Bahn s r 0 r d s r 0 r d r d r displaystyle s int vec r 0 vec r mathrm d s int vec r 0 vec r sqrt mathrm d vec r cdot mathrm d vec r nbsp Gegeben sei eine durch die Bogenlange s displaystyle s nbsp parametrisierte Raumkurve r r s displaystyle vec r vec r s nbsp Fur einen Kurvenpunkt r s displaystyle vec r s nbsp erhalt man durch Ableiten nach s displaystyle s nbsp den Tangenteneinheitsvektor der die lokale Richtung der Kurve also die Anderung der Position bei einer Anderung der Bogenlange angibt t s d r s d s r s displaystyle vec t s frac mathrm d vec r s mathrm d s vec r s nbsp Wegen d s d r displaystyle mathrm d s mathrm d vec r nbsp ist der Betrag der Ableitung gleich 1 somit handelt es sich um einen Einheitsvektor Der Tangenteneinheitsvektor andert entlang der Bahn im Allgemeinen seine Richtung nicht aber seine Lange er bleibt stets ein Einheitsvektor t 1 displaystyle vec t 1 nbsp bzw t t 1 displaystyle vec t cdot vec t 1 nbsp Daraus kann man folgern dass die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors senkrecht zu diesem steht t d t d s 1 2 d t t d s 1 2 d 1 d s 0 t d t d s displaystyle vec t cdot frac mathrm d vec t mathrm d s frac 1 2 frac mathrm d left vec t cdot vec t right mathrm d s frac 1 2 frac mathrm d 1 mathrm d s 0 quad Longrightarrow quad vec t perp frac mathrm d vec t mathrm d s nbsp Die Bahnkurve kann man in eine Taylorreihe um s displaystyle s nbsp entwickeln r s D s r s d r d s s D s 1 2 d 2 r d s 2 s D s 2 O D s 3 r s t s D s 1 2 t s D s 2 O D s 3 displaystyle vec r s Delta s vec r s frac mathrm d vec r mathrm d s s Delta s frac 1 2 frac mathrm d 2 vec r mathrm d s 2 s Delta s 2 mathcal O Delta s 3 vec r s vec t s Delta s frac 1 2 vec t s Delta s 2 mathcal O Delta s 3 nbsp nbsp Bahnkurve rot mit Tangenteneinheitsvektoren T displaystyle boldsymbol T nbsp und Schmiegkreis mit Radius r displaystyle rho nbsp Zur Veranschaulichung ist d s displaystyle mathrm d s nbsp ubertrieben gross gewahlt Die Naherungskurve zweiter Ordnung in D s displaystyle Delta s nbsp ist eine Parabel die in der von t displaystyle vec t nbsp und t displaystyle vec t nbsp aufgespannten Schmiegeebene liegt Um den Betrag von t displaystyle vec t nbsp zu berechnen betrachtet man den Schmiegkreis der sich am betrachteten Bahnpunkt an dessen Naherungsparabel anschmiegt d h den Kreis der durch den gegebenen Kurvenpunkt geht dort die gleiche Richtung hat wie die Kurve und auch in der zweiten Ableitung mit der Kurve ubereinstimmt Der Winkel zwischen Tangentenvektoren benachbarter Kurvenpunkte t s displaystyle vec t s nbsp und t s d s displaystyle vec t s mathrm d s nbsp sei d f displaystyle mathrm d varphi nbsp Damit gilt d f d t t d t displaystyle mathrm d varphi mathrm d vec t vec t mathrm d vec t nbsp Da der Tangenteneinheitsvektor senkrecht auf dem Radiusvektor des Schmiegkreises steht ist der Winkel zwischen benachbarten Radiusvektoren d f d s ϱ displaystyle mathrm d varphi mathrm d s varrho nbsp identisch mit dem Winkel zwischen den Tangentenvektoren benachbarter Kurvenpunkte d f d t displaystyle mathrm d varphi mathrm d vec t nbsp Daraus folgt mit ϱ displaystyle varrho nbsp als Schmiegkreisradius Krummungsradius d f d s 1 ϱ d t d s 1 ϱ displaystyle frac mathrm d varphi mathrm d s frac 1 varrho quad Longrightarrow quad left frac mathrm d vec t mathrm d s right frac 1 varrho nbsp Der reziproke Krummungsradius ϱ s displaystyle varrho s nbsp heisst Krummung k s displaystyle kappa s nbsp und gibt die Starke der Richtungsanderung uber die Bogenlange also den Betrag von t displaystyle vec t nbsp an k s 1 ϱ s t s r s displaystyle kappa s frac 1 varrho s vec t s vec r s nbsp Normierung von t s displaystyle vec t s nbsp liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor n s displaystyle vec n s nbsp Krummungsvektor Da der Tangenteneinheitsvektor tangential zum Schmiegkreis steht und der Hauptnormaleneinheitsvektor senkrecht dazu gibt n s displaystyle vec n s nbsp die Richtung zum Schmiegkreismittelpunkt an Es ist die Richtung in die sich t s displaystyle vec t s nbsp andert n s t s t s r s r s ϱ s t s ϱ s r s displaystyle vec n s frac vec t s vec t s frac vec r s vec r s varrho s vec t s varrho s vec r s nbsp Der Normalenvektor der Schmiegeebene wird mit Hilfe des Vektorprodukts aus Tangenteneinheitsvektor und Hauptnormaleneinheitsvektor festgelegt und heisst Binormaleneinheitsvektor b s t s n s displaystyle vec b s vec t s times vec n s nbsp nbsp Tangenteneinheitsvektor T Hauptnormaleneinheitsvektor N und Binormaleneinheitsvektor B bilden das begleitende Dreibein einer Raumkurve Die Schmiegeebene ist ebenfalls dargestellt sie wird durch den Hauptnormalen und Tangenteneinheitsvektor aufgespannt Tangenten Hauptnormalen und Binormaleneinheitsvektor bilden eine Orthonormalbasis des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp d h diese Vektoren haben alle den Betrag 1 und sind paarweise senkrecht zueinander Man bezeichnet diese Orthonormalbasis auch als begleitendes Dreibein der Kurve Die frenetschen Formeln drucken die Ableitungen der genannten Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren aus t s k s n s displaystyle vec t s kappa s vec n s nbsp n s k s t s t s b s displaystyle vec n s kappa s vec t s tau s vec b s nbsp b s t s n s displaystyle vec b s tau s vec n s nbsp oder in einpragsamer Matrixschreibweise t n b 0 k 0 k 0 t 0 t 0 t n b displaystyle begin pmatrix vec t vec n vec b end pmatrix begin pmatrix 0 amp kappa amp 0 kappa amp 0 amp tau 0 amp tau amp 0 end pmatrix begin pmatrix vec t vec n vec b end pmatrix nbsp Dabei stehen k s displaystyle kappa s nbsp fur die Krummung und t s displaystyle tau s nbsp fur die Windung Torsion der Kurve im betrachteten Kurvenpunkt nbsp Animation des begleitenden Dreibeins sowie der Krummungs und Torsionsfunktion Zu den Spitzenwerten der Torsionsfunktion ist die Drehung des Binormalenvektors deutlich zu erkennen Anhand des begleitenden Dreibeins lassen sich Krummung und Torsion jeweils als Richtungsanderung eines bestimmten Tangenteneinheitsvektors veranschaulichen Dafur gibt es einige z T animierte grafische Illustrationen Der Torsion t s displaystyle displaystyle tau s nbsp entspricht die Richtungsanderung des Binormaleneinheitsvektors Je grosser die Torsion desto schneller andert der Binormaleneinheitsvektor b s displaystyle vec b s nbsp in Abhangigkeit von s displaystyle displaystyle s nbsp seine Richtung Ist die Torsion uberall 0 so handelt es sich bei der Raumkurve um eine ebene Kurve d h es gibt eine gemeinsame Ebene auf der alle Punkte der Kurve liegen Der Krummung k s displaystyle displaystyle kappa s nbsp entspricht die Richtungsanderung des Tangenteneinheitsvektors Je starker die Krummung k s displaystyle displaystyle kappa s nbsp ist desto schneller andert der Tangenteneinheitsvektor t s displaystyle vec t s nbsp in Abhangigkeit von s displaystyle displaystyle s nbsp seine Richtung Punkte der Raumkurve mit der Krummung 0 in denen kein Schmiegkreis existiert in denen also die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors der Nullvektor ist heissen Wendepunkte und sind gesondert zu behandeln Dort verlieren die Begriffe Normalenvektor und Binormalenvektor ihren Sinn Haben alle Punkte die Krummung 0 so ist die Raumkurve eine Gerade Die Frenetschen Formeln lassen sich auch mit dem Darboux Vektor 1 formulieren Frenetsche Formeln in Abhangigkeit von anderen Parametern Bearbeiten Die oben angegebenen Formeln sind in Abhangigkeit von der Bogenlange s definiert Oft sind aber die Raumkurven in Abhangigkeit von anderen Parametern z B von der Zeit gegeben Um die Beziehungen durch den neuen Parameter t auszudrucken verwendet man folgende Relation d s d t d r d t r displaystyle frac mathrm d s mathrm d t left frac mathrm d vec r mathrm d t right left dot vec r right nbsp somit kann man die Ableitungen von d d s displaystyle textstyle frac mathrm d mathrm d s nbsp nach d d t displaystyle textstyle frac mathrm d mathrm d t nbsp umschreiben d d s d t d s d d t 1 d s d t d d t 1 r d d t displaystyle frac mathrm d mathrm d s frac mathrm d t mathrm d s frac mathrm d mathrm d t frac 1 tfrac mathrm d s mathrm d t frac mathrm d mathrm d t frac 1 dot vec r frac mathrm d mathrm d t nbsp Folglich lauten die Frenetschen Formeln einer Raumkurve r t displaystyle vec r t nbsp die bezuglich t displaystyle t nbsp parametrisiert ist die Ableitungen nach t displaystyle t nbsp sind mit einem Punkt gekennzeichnet r t r t t displaystyle frac dot vec r t dot vec r t vec t nbsp t t r t k n displaystyle frac dot vec t t dot vec r t kappa vec n nbsp t n b displaystyle vec t times vec n vec b nbsp b t r t t n displaystyle frac dot vec b t dot vec r t tau vec n nbsp n t r t t b k t displaystyle frac dot vec n t dot vec r t tau vec b kappa vec t nbsp Eine dreimal nach t differenzierbare Kurve r t displaystyle vec r t nbsp besitzt an jeder Parameterstelle mit r t r t 0 displaystyle dot vec r t times ddot vec r t neq 0 nbsp die folgenden charakteristischen Vektoren und Skalare Tangentenvektor t t r t r t displaystyle vec t t frac dot vec r t left dot vec r t right nbsp Binormalenvektor b t r t r t r t r t r t t t r t t t displaystyle vec b t frac dot vec r t times ddot vec r t left dot vec r t times ddot vec r t right frac dot vec r t times dot vec t t left dot vec r t right left dot vec t t right nbsp Hauptnormalenvektor n t b t t t r t r t r t r t r t r t t t t t displaystyle vec n t vec b t times vec t t frac left dot vec r t times ddot vec r t right times dot vec r t left dot vec r t times ddot vec r t right left dot vec r t right frac dot vec t t left dot vec t t right nbsp Krummung k t r t r t r t 3 t t r t displaystyle kappa t frac left dot vec r t times ddot vec r t right left dot vec r t right 3 frac left dot vec t t right left dot vec r t right nbsp Torsion t t r t r t r t r t r t 2 displaystyle tau t frac left dot vec r t times ddot vec r t right cdot overset ldots vec r t left dot vec r t times ddot vec r t right 2 nbsp Die frenetschen Formeln in n Dimensionen BearbeitenFur den n displaystyle n nbsp dimensionalen Fall sind zunachst einige technische Voraussetzungen erforderlich Eine nach Bogenlange parametrisierte und n displaystyle n nbsp mal stetig differenzierbare Kurve s r s displaystyle s mapsto vec r s nbsp heisst eine Frenet Kurve falls die Vektoren r s r s r n 1 s displaystyle vec r s vec r s ldots vec r n 1 s nbsp der ersten n 1 displaystyle n 1 nbsp Ableitungen in jedem Punkt s displaystyle s nbsp linear unabhangig sind Das begleitende Frenet n displaystyle n nbsp Bein besteht aus n displaystyle n nbsp Vektoren e i e i s displaystyle vec e i vec e i s nbsp die folgende Bedingungen erfullen e 1 e n displaystyle vec e 1 ldots vec e n nbsp sind orthonormiert und positiv orientiert Fur jedes i 1 n 1 displaystyle i 1 ldots n 1 nbsp stimmen die linearen Hullen von e 1 e i displaystyle vec e 1 ldots vec e i nbsp und r r i displaystyle vec r ldots vec r i nbsp uberein r i e i gt 0 displaystyle langle vec r i vec e i rangle gt 0 nbsp fur alle i 1 n 1 displaystyle i 1 ldots n 1 nbsp Diese Bedingungen hat man wieder punktweise zu lesen das heisst sie gelten an jedem Parameterpunkt s displaystyle s nbsp Im oben beschriebenen dreidimensionalen Fall bilden die Vektoren e 1 t displaystyle vec e 1 vec t nbsp e 2 n displaystyle vec e 2 vec n nbsp und e 3 b displaystyle vec e 3 pm vec b nbsp ein begleitenden Frenet Dreibein Man kann mit Hilfe des Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens zeigen dass Frenet n displaystyle n nbsp Beine fur Frenet Kurven existieren und eindeutig bestimmt sind Auch im n displaystyle n nbsp dimensionalen Fall erhalt man Differentialgleichungen fur die Komponenten des begleitenden Frenet n displaystyle n nbsp Beins 2 Sei s r s displaystyle s mapsto vec r s nbsp eine Frenet Kurve mit begleitendem Frenet n displaystyle n nbsp Bein e 1 e n displaystyle vec e 1 ldots vec e n nbsp Dann gibt es eindeutig bestimmte Funktionen k 1 k n 1 displaystyle kappa 1 ldots kappa n 1 nbsp wobei k i displaystyle kappa i nbsp n 1 i displaystyle n 1 i nbsp mal stetig differenzierbar ist und fur i n 2 displaystyle i leq n 2 nbsp nur positive Werte annimmt so dass die folgenden frenetschen Formeln gelten e 1 e 2 e n 1 e n 0 k 1 0 0 k 1 0 k 2 0 0 k 2 0 0 0 0 k n 1 0 0 k n 1 0 e 1 e 2 e n 1 e n displaystyle begin pmatrix vec e 1 vec e 2 vdots vdots vec e n 1 vec e n end pmatrix begin pmatrix 0 amp kappa 1 amp 0 amp ldots amp ldots amp 0 kappa 1 amp 0 amp kappa 2 amp 0 amp ldots amp vdots 0 amp kappa 2 amp 0 amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp 0 amp ddots amp ddots amp ddots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp 0 amp kappa n 1 0 amp ldots amp ldots amp 0 amp kappa n 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix vec e 1 vec e 2 vdots vdots vec e n 1 vec e n end pmatrix nbsp k i displaystyle kappa i nbsp heisst die i displaystyle i nbsp te Frenet Krummung die letzte k n 1 displaystyle kappa n 1 nbsp wird auch Torsion der Kurve genannt Die Kurve ist genau dann in einer Hyperebene enthalten wenn die Torsion verschwindet In vielen Anwendungen ist s r s displaystyle s mapsto vec r s nbsp beliebig oft differenzierbar diese Eigenschaft ubertragt sich dann auf die Frenet Krummungen Hauptsatz der lokalen Kurventheorie BearbeitenUmgekehrt kann man zu vorgegebenen Frenet Krummungen Kurven konstruieren genauer gilt der sogenannte Hauptsatz der lokalen Kurventheorie 3 Es seien beliebig oft differenzierbare reellwertige und auf einem Intervall I displaystyle I nbsp definierte Funktionen k 1 k n 1 displaystyle kappa 1 ldots kappa n 1 nbsp gegeben wobei die k 1 k n 2 displaystyle kappa 1 ldots kappa n 2 nbsp nur positive Werte annehmen Fur einen Punkt s 0 I displaystyle s 0 in I nbsp seien ein Punkt p 0 R n displaystyle p 0 in mathbb R n nbsp und ein positiv orientiertes Orthonormalsystem e 1 0 e n 0 displaystyle vec e 1 0 ldots vec e n 0 nbsp gegeben Dann gibt es genau eine unendlich oft differenzierbare Frenet Kurve r I R n s r s displaystyle vec r I rightarrow mathbb R n s mapsto vec r s nbsp mit r s 0 p 0 displaystyle vec r s 0 p 0 nbsp e 1 0 e n 0 displaystyle vec e 1 0 ldots vec e n 0 nbsp ist das begleitende Frenet n displaystyle n nbsp Bein im Parameterpunkt s 0 displaystyle s 0 nbsp k 1 k n 1 displaystyle kappa 1 ldots kappa n 1 nbsp sind die Frenet Krummungen von r displaystyle vec r nbsp Durch die ersten beiden Bedingungen werden Ort und Richtungen am Parameterpunkt s 0 displaystyle s 0 nbsp festgelegt der weitere Kurvenverlauf wird dann durch die Krummungsvorgaben der dritten Bedingung bestimmt Zum Beweis stutzt man sich auf die oben angegebenen frenetschen Formeln und verwendet die Losungstheorie linearer Differentialgleichungssysteme Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Grafische Illustrationen der Krummung und Torsion von Kurven Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Animierte Illustrationen selbst erstellen begleitendes Dreibein Krummungs und Torsionsfunktion Maple Worksheet Einzelnachweise Bearbeiten Darboux Vector Mathworld Wolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten 4 uberarbeitete Auflage Friedr Vieweg amp Sohn Verlag Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 0411 2 Satz 2 13 Wolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten 5 aktualisierte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 1233 9 Satz 2 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frenetsche Formeln amp oldid 239410528
