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Nullvektor Der ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums und zwar das eindeutig bestimmte neutrale E

Nullvektor

Der Nullvektor ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums, und zwar das eindeutig bestimmte neutrale Element bezüglich der Vektoraddition. Beispiele für Nullvektoren sind die Zahl Null, die Nullmatrix und die Nullfunktion. In einem Skalarproduktraum ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums. In einem normierten Raum ist er der einzige Vektor mit Norm Null. Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor, wobei der kleinste Untervektorraum der Nullvektorraum ist. Der Nullvektor wird zur Definition einiger zentraler Begriffe der linearen Algebra wie lineare Unabhängigkeit, Basis und Kern verwendet. Er spielt eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungen.

Definition Bearbeiten

Der Nullvektor (englisch zero vector) eines Vektorraums ist der eindeutig bestimmte Vektor , für den

für alle Vektoren gilt. Er ist damit das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition.

Notation Bearbeiten

Der Nullvektor wird meist mittels der Ziffer Null durch , oder einfach nur bezeichnet. Der Nullvektor ist jedoch im Allgemeinen von dem Nullelement des Skalarkörpers des Vektorraums verschieden, das ebenfalls durch dargestellt wird. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, wird daher der Nullvektor mit und die skalare Null mit bezeichnet. Gelegentlich wird der Nullvektor auch durch , oder als kleines o notiert.

Als einziger Vektor der euklidischen Ebene kann der Nullvektor nicht durch einen Pfeil grafisch dargestellt werden, da ihm keine Richtung zugeordnet werden kann.

Beispiele Bearbeiten

  • Im Vektorraum der reellen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl und damit gleich der Null des Skalarkörpers.
  • Im Vektorraum der komplexen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl und entspricht damit ebenfalls der skalaren Null.

Eigenschaften Bearbeiten

Eindeutigkeit Bearbeiten

Der Nullvektor eines Vektorraums ist eindeutig. Gäbe es nämlich zwei verschiedene Nullvektoren und , dann gilt sofort

und somit Gleichheit der beiden Vektoren.

Skalarmultiplikation Bearbeiten

Für alle Skalare aus dem Skalarkörper gilt

und analog dazu für alle Vektoren des Vektorraums

was direkt aus den beiden Distributivgesetzen in Vektorräumen durch Wahl von bzw. folgt. Zusammen gilt damit

denn aus folgt entweder oder und dann .

Spezielle Räume Bearbeiten

  • In einem Skalarproduktraum (einem euklidischen- bzw. unitären Vektorraum), also einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt, ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums, das heißt für alle Vektoren gilt
  • In einem halbnormierten Raum kann es mehr als einen Vektor geben, dessen Norm null ist und ein solcher Vektor wird dann (neben ) manchmal deutsch in einem weiteren Sinn ebenfalls Nullvektor (englisch null vector) genannt. In diesen Fällen entspricht dieser allgemeinere Begriff eines Nullvektors jedoch nicht der obigen Standard-Definition.

Kreuzprodukt Bearbeiten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors mit dem Nullvektor wieder den Nullvektor, also

Gleiches gilt für das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst,

Weiterhin gilt die Jacobi-Identität, das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte ergibt ebenfalls den Nullvektor:

Verwendung Bearbeiten

Linearkombinationen Bearbeiten

Zu einer gegebenen Familie von Vektoren mit einer Indexmenge lässt sich der Nullvektor stets als Linearkombination

ausdrücken. Dabei sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn in dieser Linearkombination alle Koeffizienten sein müssen. Der Nullvektor kann daher niemals Teil einer Basis eines Vektorraums sein, denn er ist bereits für sich genommen linear abhängig. Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor. Die Menge , die nur aus dem Nullvektor besteht, bildet dabei den kleinstmöglichen Untervektorraum eines Vektorraums, den Nullvektorraum; seine Basis ist die leere Menge , denn die leere Summe von Vektoren ergibt definitionsgemäß den Nullvektor, also

Lineare Abbildungen Bearbeiten

Eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und über dem gleichen Skalarkörper bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab, denn es gilt

Auf den Nullvektor des Zielraums können jedoch auch weitere Vektoren aus abgebildet werden. Diese Menge heißt der Kern der linearen Abbildung und sie bildet einen Untervektorraum von . Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Lineare Gleichungen Bearbeiten

Eine homogene lineare Gleichung

besitzt demnach zumindest den Nullvektor als Lösung. Sie ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Kern des linearen Operators nur aus dem Nullvektor besteht. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Gleichung

mit nie durch den Nullvektor gelöst. Eine inhomogene lineare Gleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die zugehörige homogene Gleichung nur den Nullvektor als Lösung besitzt, was eine Folge der Superpositionseigenschaft ist.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ What is the difference between zero vector and null vector?. Auf: stackexchange.com (Mathematichs)
  2. Der Nullkegel NK(s) [einer Form/Metrik s]. Auf: matheplanet.com (Matroids Matheplanet).
  3. Hermann Dinges: Geometrie für Anfänger – WS 2009/10. Universität Frankfurt/Main, 24. April 2010.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Nullvektor ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums und zwar das eindeutig bestimmte neutrale Element bezuglich der Vektoraddition Beispiele fur Nullvektoren sind die Zahl Null die Nullmatrix und die Nullfunktion In einem Skalarproduktraum ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums In einem normierten Raum ist er der einzige Vektor mit Norm Null Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthalt zumindest den Nullvektor wobei der kleinste Untervektorraum der Nullvektorraum ist Der Nullvektor wird zur Definition einiger zentraler Begriffe der linearen Algebra wie lineare Unabhangigkeit Basis und Kern verwendet Er spielt eine wichtige Rolle bei der Losungsstruktur linearer Gleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Notation 3 Beispiele 4 Eigenschaften 4 1 Eindeutigkeit 4 2 Skalarmultiplikation 4 3 Spezielle Raume 4 4 Kreuzprodukt 5 Verwendung 5 1 Linearkombinationen 5 2 Lineare Abbildungen 5 3 Lineare Gleichungen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer Nullvektor englisch zero vector eines Vektorraums V displaystyle V nbsp ist der eindeutig bestimmte Vektor 0 V V displaystyle 0 V in V nbsp fur den v 0 V 0 V v v displaystyle v 0 V 0 V v v nbsp fur alle Vektoren v V displaystyle v in V nbsp gilt Er ist damit das neutrale Element bezuglich der Vektoraddition Notation BearbeitenDer Nullvektor wird meist mittels der Ziffer Null durch 0 displaystyle vec 0 nbsp 0 displaystyle mathbf 0 nbsp oder einfach nur 0 displaystyle 0 nbsp bezeichnet Der Nullvektor ist jedoch im Allgemeinen von dem Nullelement des Skalarkorpers K displaystyle K nbsp des Vektorraums verschieden das ebenfalls durch 0 displaystyle 0 nbsp dargestellt wird Wenn Verwechslungsgefahr besteht wird daher der Nullvektor mit 0 V displaystyle 0 V nbsp und die skalare Null mit 0 K displaystyle 0 K nbsp bezeichnet Gelegentlich wird der Nullvektor auch durch o displaystyle vec o nbsp o displaystyle mathbf o nbsp oder o displaystyle mathfrak o nbsp als kleines o notiert Als einziger Vektor der euklidischen Ebene kann der Nullvektor nicht durch einen Pfeil grafisch dargestellt werden da ihm keine Richtung zugeordnet werden kann Beispiele BearbeitenIm Vektorraum R displaystyle mathbb R nbsp der reellen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl 0 displaystyle 0 nbsp und damit gleich der Null des Skalarkorpers Im Vektorraum C displaystyle mathbb C nbsp der komplexen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl 0 0 i displaystyle 0 0i nbsp und entspricht damit ebenfalls der skalaren Null Im Koordinatenraum K n displaystyle K n nbsp ist der Nullvektor das n Tupel 0 K 0 K displaystyle 0 K ldots 0 K nbsp bestehend aus den Nullelementen des Korpers K displaystyle K nbsp Im Matrizenraum K m n displaystyle K m times n nbsp ist der Nullvektor die Nullmatrix deren Elemente alle gleich 0 K displaystyle 0 K nbsp sind Im Folgenraum K N displaystyle mathbb K mathbb N nbsp ist der Nullvektor die Folge 0 K 0 K displaystyle 0 mathbb K 0 mathbb K ldots nbsp und nicht zu verwechseln mit dem Begriff der Nullfolge In einem linearen Funktionenraum das heisst einem Vektorraum der aus Funktionen von einer Menge A displaystyle A nbsp in einen Vektorraum W displaystyle W nbsp besteht ist der Nullvektor die Nullfunktion f 0 W displaystyle f equiv 0 W nbsp wobei 0 W displaystyle 0 W nbsp der Nullvektor des Zielraums ist Eigenschaften BearbeitenEindeutigkeit Bearbeiten Der Nullvektor eines Vektorraums ist eindeutig Gabe es namlich zwei verschiedene Nullvektoren 0 displaystyle 0 nbsp und 0 displaystyle bar 0 nbsp dann gilt sofort 0 0 0 0 displaystyle 0 0 bar 0 bar 0 nbsp und somit Gleichheit der beiden Vektoren Skalarmultiplikation Bearbeiten Fur alle Skalare a K displaystyle alpha in K nbsp aus dem Skalarkorper gilt a 0 V 0 V displaystyle alpha cdot 0 V 0 V nbsp und analog dazu fur alle Vektoren v V displaystyle v in V nbsp des Vektorraums 0 K v 0 V displaystyle 0 K cdot v 0 V nbsp was direkt aus den beiden Distributivgesetzen in Vektorraumen durch Wahl von a b 0 K displaystyle alpha beta 0 K nbsp bzw u v 0 V displaystyle u v 0 V nbsp folgt Zusammen gilt damit a v 0 V a 0 K displaystyle alpha cdot v 0 V Leftrightarrow alpha 0 K nbsp oder v 0 V displaystyle v 0 V nbsp denn aus a v 0 V displaystyle alpha cdot v 0 V nbsp folgt entweder a 0 K displaystyle alpha 0 K nbsp oder a 0 K displaystyle alpha neq 0 K nbsp und dann v a 1 0 V 0 V displaystyle v alpha 1 cdot 0 V 0 V nbsp Spezielle Raume Bearbeiten In einem normierten Vektorraum gilt fur die Norm des Nullvektors 0 V 0 R displaystyle 0 V 0 mathbb R nbsp dd und der Nullvektor ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft was aus der Definitheit und der absoluten Homogenitat der Norm folgt In einem Skalarproduktraum einem euklidischen bzw unitaren Vektorraum also einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums das heisst fur alle Vektoren v V displaystyle v in V nbsp gilt 0 V v v 0 V 0 K displaystyle langle 0 V v rangle langle v 0 V rangle 0 K nbsp dd was aus der Linearitat bzw Semilinearitat des Skalarprodukts folgt Insbesondere ist der Nullvektor damit auch zu sich selbst orthogonal Wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist der Nullvektor ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft In einem halbnormierten Raum kann es mehr als einen Vektor geben dessen Norm null ist und ein solcher Vektor wird dann neben 0 V displaystyle 0 V nbsp manchmal deutsch in einem weiteren Sinn ebenfalls Nullvektor englisch null vector genannt In diesen Fallen entspricht dieser allgemeinere Begriff eines Nullvektors jedoch nicht der obigen Standard Definition 1 Vektorraum mit Pseudo Skalarprodukt pseudo euklidische oder pseudo unitare Vektorraume stellen einen weiteren Spezialfall dar Diese Vektorraume besitzen eine nicht notwendig positiv definite symmetrische Bilinearform in der theoretischen Physik auch eine Metrik genannt bzw im komplexen Fall eine hermitesche Sesquilinearform Hier werden in ahnlicher Weise uber 0 V displaystyle 0 V nbsp hinaus alle Vektoren v displaystyle v nbsp mitv v 0 displaystyle v cdot v 0 nbsp dd deutsch entgegen der Standard Definition als Nullvektor en null vector bezeichnet Die Menge aller dieser Vektoren wird Nullkegel en null cone genannt 2 Physikalisch bedeutsam ist das Beispiel des vierdimensionalen Minkowski Vektorraums bei dem diese Vektoren genau die lichtartigen Vektoren bezeichnen 1 und der Nullkegel die Hyperflache des Lichtkegel darstellt Bei einem reellen Vektorraum mit einer quadratische nicht notwendig positiv definiten quadratischen Form PS displaystyle Psi nbsp nennt man Vektoren v displaystyle v nbsp mit PS v 0 displaystyle Psi v 0 nbsp in einer eindeutigeren Sprechweise isotrop Die Menge dieser Vektoren heisst Isotroper Kegel en isotropic cone oder auch Nullkegel Bei einem Vektorraum mit Pseudoskalarprodukt ist vermoge PS v v v displaystyle Psi v v cdot v nbsp diese Sprechweise auf diesen Fall ubertragbar bzw mit diesem in Ubereinstimmung 3 Kreuzprodukt Bearbeiten Im dreidimensionalen euklidischen Raum V R 3 displaystyle V mathbb R 3 nbsp ergibt das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors mit dem Nullvektor 0 R 3 displaystyle 0 in mathbb R 3 nbsp wieder den Nullvektor also v 0 0 v 0 displaystyle v times 0 0 times v 0 nbsp Gleiches gilt fur das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst v v 0 displaystyle v times v 0 nbsp Weiterhin gilt die Jacobi Identitat das heisst die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte ergibt ebenfalls den Nullvektor u v w v w u w u v 0 displaystyle u times v times w v times w times u w times u times v 0 nbsp Verwendung BearbeitenLinearkombinationen Bearbeiten Zu einer gegebenen Familie von Vektoren v i i I displaystyle v i i in I nbsp mit einer Indexmenge I displaystyle I nbsp lasst sich der Nullvektor stets als Linearkombination 0 V i I a i v i displaystyle 0 V sum i in I alpha i cdot v i nbsp ausdrucken Dabei sind die Vektoren genau dann linear unabhangig wenn in dieser Linearkombination alle Koeffizienten a i 0 K displaystyle alpha i 0 K nbsp sein mussen Der Nullvektor kann daher niemals Teil einer Basis eines Vektorraums sein denn er ist bereits fur sich genommen linear abhangig Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthalt zumindest den Nullvektor Die Menge 0 V displaystyle 0 V nbsp die nur aus dem Nullvektor besteht bildet dabei den kleinstmoglichen Untervektorraum eines Vektorraums den Nullvektorraum seine Basis ist die leere Menge displaystyle emptyset nbsp denn die leere Summe von Vektoren ergibt definitionsgemass den Nullvektor also i v i 0 V displaystyle sum i in emptyset v i 0 V nbsp Lineare Abbildungen Bearbeiten Eine lineare Abbildung T V W displaystyle T colon V to W nbsp zwischen zwei Vektorraumen V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp uber dem gleichen Skalarkorper K displaystyle K nbsp bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab denn es gilt T 0 V T 0 K 0 V 0 K T 0 V 0 W displaystyle T 0 V T 0 K cdot 0 V 0 K cdot T 0 V 0 W nbsp Auf den Nullvektor des Zielraums W displaystyle W nbsp konnen jedoch auch weitere Vektoren aus V displaystyle V nbsp abgebildet werden Diese Menge heisst der Kern der linearen Abbildung und sie bildet einen Untervektorraum von V displaystyle V nbsp Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht Lineare Gleichungen Bearbeiten Eine homogene lineare Gleichung T v 0 W displaystyle T v 0 W nbsp besitzt demnach zumindest den Nullvektor v 0 V displaystyle v 0 V nbsp als Losung Sie ist genau dann eindeutig losbar wenn der Kern des linearen Operators T displaystyle T nbsp nur aus dem Nullvektor besteht Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Gleichung T v w displaystyle T v w nbsp mit w 0 W displaystyle w neq 0 W nbsp nie durch den Nullvektor gelost Eine inhomogene lineare Gleichung ist genau dann eindeutig losbar wenn die zugehorige homogene Gleichung nur den Nullvektor als Losung besitzt was eine Folge der Superpositionseigenschaft ist Literatur BearbeitenGilbert Strang Lineare Algebra Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 43949 8 doi 10 1007 978 3 642 55631 9 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Zero vector In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b What is the difference between zero vector and null vector Auf stackexchange com Mathematichs Der Nullkegel NK s einer Form Metrik s Auf matheplanet com Matroids Matheplanet Hermann Dinges Geometrie fur Anfanger WS 2009 10 Universitat Frankfurt Main 24 April 2010 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nullvektor amp oldid 231377568