Eine lineare Abbildung auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorraumen uber demselben Korper Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet Gleiches gilt fur die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkorper Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen AbbildungDas abgebildete Beispiel einer Spiegelung an der Y Achse verdeutlicht dies Der Vektor c displaystyle c ist die Summe der Vektoren a displaystyle a und b displaystyle b und sein Bild ist der Vektor c displaystyle c Man erhalt c displaystyle c aber auch wenn man die Bilder a displaystyle a und b displaystyle b der Vektoren a displaystyle a und b displaystyle b addiert Man sagt dann dass eine lineare Abbildung mit den Verknupfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation vertraglich ist Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorraumen In der Funktionalanalysis bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorraume die eine Topologie tragen spricht man meist von linearen Operatoren statt von linearen Abbildungen Formal gesehen sind die Begriffe gleichbedeutend Bei unendlichdimensionalen Vektorraumen ist jedoch die Frage der Stetigkeit bedeutsam wahrend Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorraumen jeweils mit der euklidischen Norm oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen hausdorffschen topologischen Vektorraumen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erklarung 3 Beispiele 4 Bild und Kern 5 Eigenschaften 6 Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorraumen 6 1 Basis 6 2 Abbildungsmatrix 6 3 Dimensionsformel 7 Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorraumen 8 Besondere lineare Abbildungen 9 Vektorraum der linearen Abbildungen 10 Verallgemeinerung 11 Literatur 12 WeblinksDefinition BearbeitenSeien V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp Vektorraume uber einem gemeinsamen Grundkorper K displaystyle K nbsp Eine Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp heisst lineare Abbildung wenn fur alle x y V displaystyle x y in V nbsp und a K displaystyle a in K nbsp die folgenden Bedingungen gelten f displaystyle f nbsp ist homogen f a x a f x displaystyle f left ax right af left x right nbsp f displaystyle f nbsp ist additiv f x y f x f y displaystyle f left x y right f left x right f left y right nbsp Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen f a x y a f x f y displaystyle f left ax y right af left x right f left y right nbsp Fur y 0 V displaystyle y 0 V nbsp geht diese in die Bedingung fur die Homogenitat und fur a 1 K displaystyle a 1 K nbsp in diejenige fur die Additivitat uber Eine weitere gleichwertige Bedingung ist die Forderung dass der Graph der Abbildung f displaystyle f nbsp ein Untervektorraum der Summe der Vektorraume V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp ist Erklarung BearbeitenEine Abbildung ist linear wenn sie vertraglich mit der Vektorraumstruktur ist Sprich Lineare Abbildungen vertragen sich sowohl mit der zugrundeliegenden Addition als auch mit der skalaren Multiplikation des Definitions und Wertebereichs Die Vertraglichkeit mit der Addition bedeutet dass die lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp Summen erhalt Wenn wir im Definitionsbereich eine Summe v 3 v 1 v 2 displaystyle v 3 v 1 v 2 nbsp mit v 1 v 2 v 3 V displaystyle v 1 v 2 v 3 in V nbsp haben so gilt f v 3 f v 1 f v 2 displaystyle f v 3 f v 1 f v 2 nbsp und damit bleibt diese Summe nach der Abbildung im Wertebereich erhalten v 1 v 2 v 3 V v 3 v 1 v 2 f v 3 f v 1 f v 2 displaystyle forall v 1 v 2 v 3 in V Big v 3 v 1 v 2 implies f v 3 f v 1 f v 2 Big nbsp Diese Implikation kann verkurzt werden indem die Pramisse v 3 v 1 v 2 displaystyle v 3 v 1 v 2 nbsp in f v 3 f v 1 f v 2 displaystyle f v 3 f v 1 f v 2 nbsp eingesetzt wird So erhalt man die Forderung f v 1 v 2 f v 1 f v 2 displaystyle f v 1 v 2 f v 1 f v 2 nbsp Analog kann die Vertraglichkeit mit der skalaren Multiplikation beschrieben werden Diese ist erfullt wenn aus dem Zusammenhang v l v displaystyle tilde v lambda v nbsp mit dem Skalar l K displaystyle lambda in K nbsp und v V displaystyle v in V nbsp im Definitionsbereich folgt dass auch f v l f v displaystyle f tilde v lambda f v nbsp im Wertebereich gilt v v V l K v l v f v l f v displaystyle forall tilde v v in V forall lambda in K Big tilde v lambda v implies f tilde v lambda f v Big nbsp Nach Einsetzen der Pramisse v l v displaystyle tilde v lambda v nbsp in die Konklusion f v l f v displaystyle f tilde v lambda f v nbsp erhalt man die Forderung f l v l f v displaystyle f lambda v lambda f v nbsp nbsp Visualisierung der Vertraglichkeit mit der Vektoraddition Jedes durch v 1 displaystyle v 1 nbsp v 2 displaystyle v 2 nbsp und v 3 v 1 v 2 displaystyle v 3 v 1 v 2 nbsp gegebene Additionsdreieck bleibt durch die lineare Abbildung f displaystyle f nbsp erhalten Auch f v 1 displaystyle f v 1 nbsp f v 2 displaystyle f v 2 nbsp und f v 1 v 2 displaystyle f v 1 v 2 nbsp bildet ein Additionsdreieck und es gilt f v 1 v 2 f v 1 f v 2 displaystyle f v 1 v 2 f v 1 f v 2 nbsp nbsp Bei Abbildungen die sich nicht mit der Addition vertragen gibt es Vektoren v 1 displaystyle v 1 nbsp v 2 displaystyle v 2 nbsp und v 3 v 1 v 2 displaystyle v 3 v 1 v 2 nbsp sodass f v 1 displaystyle f v 1 nbsp f v 2 displaystyle f v 2 nbsp und f v 1 v 2 displaystyle f v 1 v 2 nbsp kein Additionsdreieck bilden weil f v 1 v 2 f v 1 f v 2 displaystyle f v 1 v 2 neq f v 1 f v 2 nbsp ist Eine solche Abbildung ist nicht linear nbsp Visualisierung der Vertraglichkeit mit der skalaren Multiplikation Jede Skalierung l v displaystyle lambda v nbsp bleibt durch eine lineare Abbildung erhalten und es gilt f l v l f v displaystyle f lambda v lambda f v nbsp nbsp Wenn eine Abbildung nicht vertraglich ist mit der skalaren Multiplikation so gibt es einen Skalar l displaystyle lambda nbsp und einen Vektor v displaystyle v nbsp so dass die Skalierung l v displaystyle lambda v nbsp nicht auf die Skalierung l f v displaystyle lambda f v nbsp abgebildet wird Eine solche Abbildung ist nicht linear Beispiele BearbeitenFur V W R displaystyle V W mathbb R nbsp hat jede lineare Abbildung die Gestalt f x m x displaystyle f x mx nbsp mit m R displaystyle m in mathbb R nbsp Es sei V R n displaystyle V mathbb R n nbsp und W R m displaystyle W mathbb R m nbsp Dann wird fur jede m n displaystyle m times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung f R n R m displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R m nbsp durchf x A x a 11 a 1 n a m 1 a m n x 1 x n displaystyle f x A x begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1n vdots amp amp vdots a m1 amp dots amp a mn end pmatrix begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix nbsp definiert Jede lineare Abbildung von R n displaystyle mathbb R n nbsp nach R m displaystyle mathbb R m nbsp kann so dargestellt werden Ist I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein offenes Intervall V C 1 I R displaystyle V C 1 I mathbb R nbsp der R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf I displaystyle I nbsp und W C 0 I R displaystyle W C 0 I mathbb R nbsp der R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum der stetigen Funktionen auf I displaystyle I nbsp so ist die Abbildung D C 1 I R C 0 I R displaystyle D colon C 1 I mathbb R to C 0 I mathbb R nbsp f f displaystyle f mapsto f nbsp die jeder Funktion f C 1 I R displaystyle f in C 1 I mathbb R nbsp ihre Ableitung zuordnet linear Entsprechendes gilt fur andere lineare Differentialoperatoren nbsp Die Streckung f x y 2 x y displaystyle f x y 2x y nbsp ist eine lineare Abbildung Bei dieser Abbildung wird die x displaystyle x nbsp Komponente um den Faktor 2 displaystyle 2 nbsp gestreckt nbsp Diese Abbildung ist additiv Es ist egal ob man erst Vektoren addiert und dann abbildet oder ob man erst die Vektoren abbildet und dann addiert f a b f a f b displaystyle f a b f a f b nbsp nbsp Diese Abbildung ist homogen Es ist egal ob man erst einen Vektor skaliert und dann abbildet oder ob man den Vektor erst abbildet und dann skaliert f l a l f a displaystyle f lambda a lambda f a nbsp Bild und Kern BearbeitenZwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp Das Bild i m f displaystyle mathrm im f nbsp der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter f displaystyle f nbsp also die Menge aller f v displaystyle f v nbsp mit v displaystyle v nbsp aus V displaystyle V nbsp Die Bildmenge wird daher auch durch f V displaystyle f V nbsp notiert Das Bild ist ein Untervektorraum von W displaystyle W nbsp Der Kern k e r f displaystyle mathrm ker f nbsp der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus V displaystyle V nbsp die durch f displaystyle f nbsp auf den Nullvektor von W displaystyle W nbsp abgebildet werden Er ist ein Untervektorraum von V displaystyle V nbsp Die Abbildung f displaystyle f nbsp ist genau dann injektiv wenn der Kern nur den Nullvektor enthalt Eigenschaften BearbeitenEine lineare Abbildung zwischen den Vektorraumen V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp bildet den Nullvektor von V displaystyle V nbsp auf den Nullvektor von W displaystyle W nbsp ab f 0 V 0 W displaystyle f 0 V 0 W nbsp denn f 0 V f 0 0 V 0 f 0 V 0 W displaystyle f left 0 V right f left 0 cdot 0 V right 0 cdot f left 0 V right 0 W nbsp Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp beschreibt der Homomorphiesatz Der Faktorraum V k e r f displaystyle V mathrm ker f nbsp ist isomorph zum Bild i m f displaystyle mathrm im f nbsp Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorraumen BearbeitenBasis Bearbeiten nbsp Zusammenfassung der Eigenschaften injektiver und surjektiver linearer AbbildungenEine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorraumen ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis eindeutig bestimmt Bilden die Vektoren b 1 b n displaystyle b 1 dotsc b n nbsp eine Basis des Vektorraums V displaystyle V nbsp und sind w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp Vektoren in W displaystyle W nbsp so gibt es genau eine lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp die b 1 displaystyle b 1 nbsp auf w 1 displaystyle w 1 nbsp b 2 displaystyle b 2 nbsp auf w 2 displaystyle w 2 nbsp b n displaystyle b n nbsp auf w n displaystyle w n nbsp abbildet Ist v displaystyle v nbsp ein beliebiger Vektor aus V displaystyle V nbsp so lasst er sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen v j 1 n v j b j displaystyle v textstyle sum limits j 1 n v j b j nbsp Hierbei sind v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp die Koordinaten des Vektors v displaystyle v nbsp bezuglich der Basis b 1 b n displaystyle b 1 dotsc b n nbsp Sein Bild f v displaystyle f v nbsp ist gegeben durch f v j 1 n v j f b j j 1 n v j w j displaystyle f v textstyle sum limits j 1 n v j f b j sum limits j 1 n v j w j nbsp Die Abbildung f displaystyle f nbsp ist genau dann injektiv wenn die Bildvektoren w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp der Basis linear unabhangig sind Sie ist genau dann surjektiv wenn w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp den Zielraum W displaystyle W nbsp aufspannen Ordnet man jedem Element b 1 b n displaystyle b 1 dotsc b n nbsp einer Basis von V displaystyle V nbsp einen Vektor w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp aus W displaystyle W nbsp beliebig zu so kann man mit obiger Formel diese Zuordnung eindeutig zu einer linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp fortsetzen Stellt man die Bildvektoren w j displaystyle w j nbsp bezuglich einer Basis von W displaystyle W nbsp dar so fuhrt dies zur Matrixdarstellung der linearen Abbildung Abbildungsmatrix Bearbeiten Hauptartikel Abbildungsmatrix Sind V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp endlichdimensional dim V n displaystyle dim V n nbsp dim W m displaystyle dim W m nbsp und sind Basen B b 1 b n displaystyle B b 1 dotsc b n nbsp von V displaystyle V nbsp und B b 1 b m displaystyle B b 1 dotsc b m nbsp von W displaystyle W nbsp gegeben so kann jede lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp durch eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix M B B f displaystyle M B B f nbsp dargestellt werden Diese erhalt man wie folgt Fur jeden Basisvektor b j displaystyle b j nbsp aus B displaystyle B nbsp lasst sich der Bildvektor f b j displaystyle f b j nbsp als Linearkombination der Basisvektoren b 1 b m displaystyle b 1 dotsc b m nbsp darstellen f b j i 1 m a i j b i displaystyle f b j sum i 1 m a ij b i nbsp Die a i j displaystyle a ij nbsp i 1 m displaystyle i 1 dotsc m nbsp j 1 n displaystyle j 1 dotsc n nbsp bilden die Eintrage der Matrix M B B f displaystyle M B B f nbsp M B B f a 11 a 1 j a 1 n a m 1 a m j a m n displaystyle M B B f begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1j amp dots amp a 1n vdots amp amp vdots amp amp vdots a m1 amp dots amp a mj amp dots amp a mn end pmatrix nbsp In der j displaystyle j nbsp ten Spalte stehen also die Koordinaten von f b j displaystyle f b j nbsp bezuglich der Basis B displaystyle B nbsp Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor f v displaystyle f v nbsp jedes Vektors v v 1 b 1 v n b n V displaystyle v v 1 b 1 dotsb v n b n in V nbsp berechnen f v j 1 n v j f b j j 1 n v j i 1 m a i j b i i 1 m j 1 n a i j v j b i displaystyle f v sum j 1 n v j f b j sum j 1 n v j left sum i 1 m a ij b i right sum i 1 m left sum j 1 n a ij v j right b i nbsp Fur die Koordinaten w 1 w m displaystyle w 1 dotsc w m nbsp von f v displaystyle f v nbsp bezuglich B displaystyle B nbsp gilt also w i j 1 n a i j v j displaystyle w i sum j 1 n a ij v j nbsp Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrucken w 1 w m a 11 a 1 n a m 1 a m n v 1 v n displaystyle begin pmatrix w 1 vdots w m end pmatrix begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1n vdots amp amp vdots a m1 amp dots amp a mn end pmatrix begin pmatrix v 1 vdots v n end pmatrix nbsp Die Matrix M B B f displaystyle M B B f nbsp heisst Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von f displaystyle f nbsp Andere Schreibweisen fur M B B f displaystyle M B B f nbsp sind B f B displaystyle B f B nbsp und B f B displaystyle B f B nbsp Dimensionsformel Bearbeiten Hauptartikel Rangsatz Bild und Kern stehen uber den Dimensionssatz in Beziehung Dieser sagt aus dass die Dimension von V displaystyle V nbsp gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist dim V dim k e r f dim i m f displaystyle dim V dim mathrm ker f dim mathrm im f nbsp Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorraumen Bearbeiten Hauptartikel Linearer Operator Insbesondere in der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorraumen In diesem Kontext nennt man die linearen Abbildungen meist lineare Operatoren Die betrachteten Vektorraume tragen meist noch die zusatzliche Struktur eines normierten vollstandigen Vektorraums Solche Vektorraume heissen Banachraume Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall reicht es nicht lineare Operatoren nur auf einer Basis zu untersuchen Nach dem baireschen Kategoriensatz hat namlich eine Basis eines unendlichdimensionalen Banachraums uberabzahlbar viele Elemente und die Existenz einer solchen Basis lasst sich nicht konstruktiv begrunden das heisst nur unter Verwendung des Auswahlaxioms Man verwendet daher einen anderen Basisbegriff etwa Orthonormalbasen oder allgemeiner Schauderbasen Damit konnen gewisse Operatoren wie zum Beispiel Hilbert Schmidt Operatoren mithilfe unendlich grosser Matrizen dargestellt werden wobei dann auch unendliche Linearkombinationen zugelassen werden mussen Besondere lineare Abbildungen BearbeitenMonomorphismus Ein Monomorphismus zwischen Vektorraumen ist eine lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp die injektiv ist Dies trifft genau dann zu wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhangig sind Epimorphismus Ein Epimorphismus zwischen Vektorraumen ist eine lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp die surjektiv ist Das ist genau dann der Fall wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von W displaystyle W nbsp ist Isomorphismus Ein Isomorphismus zwischen Vektorraumen ist eine lineare Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp die bijektiv ist Das ist genau der Fall wenn die Darstellungsmatrix regular ist Die beiden Raume V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp bezeichnet man dann als isomorph Endomorphismus Ein Endomorphismus zwischen Vektorraumen ist eine lineare Abbildung bei der die Raume V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp gleich sind f V V displaystyle f colon V to V nbsp Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix Automorphismus Ein Automorphismus zwischen Vektorraumen ist eine bijektive lineare Abbildung bei der die Raume V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp gleich sind Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine regulare Matrix Vektorraum der linearen Abbildungen Bearbeiten nbsp Bildung des Vektorraums L V W Die Menge L V W displaystyle L V W nbsp der linearen Abbildungen von einem K displaystyle K nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp in einen K displaystyle K nbsp Vektorraum W displaystyle W nbsp manchmal auch als Hom K V W displaystyle text Hom K V W nbsp geschrieben ist ein Vektorraum uber K displaystyle K nbsp genauer ein Untervektorraum des K displaystyle K nbsp Vektorraums aller Abbildungen von V displaystyle V nbsp nach W displaystyle W nbsp Das bedeutet dass die Summe zweier linearer Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp komponentenweise definiert durch f g x f x g x displaystyle f g colon x mapsto f x g x nbsp wieder eine lineare Abbildung ist und dass das Produkt l f x l f x displaystyle lambda f colon x mapsto lambda f x nbsp einer linearen Abbildung mit einem Skalar l K displaystyle lambda in K nbsp auch wieder eine lineare Abbildung ist Hat V displaystyle V nbsp die Dimension n displaystyle n nbsp und W displaystyle W nbsp die Dimension m displaystyle m nbsp und sind in V displaystyle V nbsp eine Basis B displaystyle B nbsp und in W displaystyle W nbsp eine Basis C displaystyle C nbsp gegeben so ist die Abbildung L V W K m n f M C B f displaystyle L V W to K m times n f mapsto M C B f nbsp in den Matrizenraum K m n displaystyle K m times n nbsp ein Isomorphismus Der Vektorraum L V W displaystyle L V W nbsp hat also die Dimension m n displaystyle m cdot n nbsp Betrachtet man die Menge der linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums also den Spezialfall V W displaystyle V W nbsp so bilden diese nicht nur einen Vektorraum sondern mit der Verkettung von Abbildungen als Multiplikation eine assoziative Algebra die kurz mit L V displaystyle L V nbsp bezeichnet wird Verallgemeinerung BearbeitenEine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer affinen Abbildung Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorraumen den Korper durch einen Ring erhalt man einen Modulhomomorphismus Literatur BearbeitenAlbrecht Beutelspacher Lineare Algebra Eine Einfuhrung in die Wissenschaft der Vektoren Abbildungen und Matrizen 6 durchgesehene und erganzte Auflage Vieweg Braunschweig u a 2003 ISBN 3 528 56508 X S 124 143 Gunter Gramlich Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Ingenieure Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Munchen 2003 ISBN 3 446 22122 0 Detlef Wille Repetitorium der Linearen Algebra Band 1 4 Auflage Nachdruck Binomi Springe 2003 ISBN 3 923923 40 6 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Lineare Abbildungen Homomorphismus Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikiversity Vorlesungen uber lineare Algebra I Kursmaterialien Normdaten Sachbegriff GND 4167700 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Abbildung amp oldid 233798472
