Der Quotientenvektorraum, auch kurz Quotientenraum oder Faktorraum genannt, ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Quotientenvektorraumes sind Äquivalenzklassen.
Definition Bearbeiten
Es sei ein Vektorraum über einem Körper und ein Untervektorraum von . Durch die Festsetzung
wird auf eine Äquivalenzrelation definiert.
Die Vektoren und sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte und parallel zu ist, sind und äquivalent.
Die Äquivalenzklasse eines Vektors ist
anschaulich der zu „parallele“ affine Unterraum durch . Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).
Der Quotientenvektorraum von nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit bezeichnet:
Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:
für und .
Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.
Eigenschaften Bearbeiten
- Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung
- Ist ein Komplement von in , d. h. ist die direkte Summe von und , so ist die Einschränkung von auf ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, als Unterraum von aufzufassen.
- Ist endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:
- Der Dualraum von kann mit denjenigen Linearformen auf identifiziert werden, die auf identisch sind.
- Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung einen Isomorphismus
Anwendung in der Funktionalanalysis Bearbeiten
Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei eine Halbnorm auf . Dann ist ein Untervektorraum von . Der Quotientenraum wird dann mit der Norm ein normierter Vektorraum.
Allgemeiner: Sei ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: . Der Quotientenraum wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.
Beispiele Bearbeiten
Abstrakt Bearbeiten
Die -Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Quotientenvektorräume.
Konkret Bearbeiten
Gegeben sei der Vektorraum und der eindimensionale Untervektorraum . Dann ist zum Beispiel
eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes .
Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
- Klaus Jänich: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8.