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Halbnorm In der Mathematik versteht man unter einer oder unter einer Seminorm A 1 ein Funktional das sowohl absolut homo

Halbnorm

In der Mathematik versteht man unter einer Halbnorm (oder unter einer Seminorm) ein Funktional, das sowohl absolut homogen als auch subadditiv ist. Mit dem Konzept der Halbnorm wird das Konzept der Norm verallgemeinert, indem auf die Eigenschaft der positiven Definitheit verzichtet wird. Jede Halbnorm ist nichtnegativ, symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr, sublinear und konvex. Aus jeder Halbnorm kann durch Restklassenbildung eine zugehörige Norm abgeleitet werden. Mit Hilfe von Familien von Halbnormen können auch lokalkonvexe Vektorräume definiert werden. Halbnormen werden insbesondere in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis studiert. Eng verwandt mit dem Konzept der Halbnorm ist das Konzept des Minkowski-Funktionals.

Die Funktion ist eine Halbnorm im Raum

Definition Bearbeiten

Sei ein Vektorraum über dem Körper . Eine Halbnorm auf ist eine Abbildung mit den Eigenschaften absolute Homogenität und Subadditivität, das heißt für alle und für alle gelten

und

wobei den Betrag des Skalars darstellt. Ein Vektorraum zusammen mit einer Halbnorm heißt halbnormierter Raum .

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Durch Setzen von in der Definition folgt sofort

die Halbnorm des Nullvektors ist damit null. Im Gegensatz zu Normen kann es aber auch Vektoren geben, deren Halbnorm ist. Durch Setzen von folgt dann aus der Subadditivität (auch Dreiecksungleichung genannt) und der absoluten Homogenität die Nichtnegativität

für alle . Durch Setzen von sieht man weiter, dass eine Halbnorm symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr ist, das heißt

und aus der Anwendung der Dreiecksungleichung auf folgt daraus dann die umgekehrte Dreiecksungleichung

Weiter ist eine Halbnorm sublinear, da absolute Homogenität positive Homogenität impliziert, und auch konvex, denn es gilt für reelles

Umgekehrt ist jede absolut homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit eine Halbnorm, was durch Setzen von und Multiplikation mit ersichtlich ist.

Restklassenbildung Bearbeiten

Aufgrund der absoluten Homogenität und der Subadditivität ist die Menge

der Vektoren mit Halbnorm null ein Untervektorraum von . Daher kann eine Äquivalenzrelation auf durch

definiert werden. Der Vektorraum aller Äquivalenzklassen aus obiger Äquivalenzrelation ist zusammen mit der Halbnorm ein normierter Raum. Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in bezüglich der Halbnorm und bezeichnet als Faktorraum . Diese Konstruktion kommt beispielsweise bei der Definition der Lp-Räume zum Einsatz.

Familie von Halbnormen Bearbeiten

In der Funktionalanalysis werden im Bereich der lokalkonvexen Vektorräume nicht zuletzt Familien von Halbnormen betrachtet. Mit diesen kann es möglich sein, auf dem ursprünglichen Vektorraum eine Topologie zu definieren, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Dazu legt man fest, dass die Menge offen ist, falls für ein und endlich viele Indizes existieren, sodass

für alle gilt.

In diesem Zusammenhang sind Familien mit einer bestimmten Trennungseigenschaft von besonderem Interesse. Eine Familie von Halbnormen heißt trennend, falls es für jedes mindestens eine Halbnorm gibt, so dass gilt. Ein Vektorraum ist nämlich genau dann bezüglich der oben erklärten Topologie hausdorffsch, wenn die Familie von Halbnormen trennend ist. Solch ein topologischer Vektorraum wird lokalkonvexer Vektorraum genannt.

Ein Satz von Gelfand Bearbeiten

In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem Mathematiker Izrail M. Gelfand geliefert wurden, ein Satz, der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem reellen normierten Raum mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine Arbeit Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von Kantorowitsch/Akilow lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Literatur Bearbeiten

  • Izrail M. Gelfand: Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires. In: Sap. matem. t-wa. Band 4, 1936, S. 35–40.
  • L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199).
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Damit verwandt, aber nicht identisch sind Quasinormen und Pseudonormen.
  2. In ihrer Monographie bezeichnen Kantorowitsch und Akilow eine derartige numerische Funktion auf einem reellen normierten Raum als konvexes Funktional. Dabei lassen sie ausdrücklich auch als -Wert zu und fordern dabei die absolute Homogenität allein für mit .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 24–25.
  2. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 26–27.
  3. Kantorowitsch/Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. 1978, S. 206–207
  4. Kantorowitsch/Akilow, op. cit., S. 206

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik versteht man unter einer Halbnorm oder unter einer Seminorm A 1 ein Funktional das sowohl absolut homogen als auch subadditiv ist Mit dem Konzept der Halbnorm wird das Konzept der Norm verallgemeinert indem auf die Eigenschaft der positiven Definitheit verzichtet wird Jede Halbnorm ist nichtnegativ symmetrisch bezuglich Vorzeichenumkehr sublinear und konvex Aus jeder Halbnorm kann durch Restklassenbildung eine zugehorige Norm abgeleitet werden Mit Hilfe von Familien von Halbnormen konnen auch lokalkonvexe Vektorraume definiert werden Halbnormen werden insbesondere in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis studiert Eng verwandt mit dem Konzept der Halbnorm ist das Konzept des Minkowski Funktionals Die Funktion p x y x y displaystyle p x y x y ist eine Halbnorm im Raum R 2 displaystyle mathbb R 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Restklassenbildung 5 Familie von Halbnormen 6 Ein Satz von Gelfand 6 1 Formulierung des Satzes 7 Literatur 8 Anmerkungen 9 Einzelnachweise 10 WeblinksDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber dem Korper K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp Eine Halbnorm auf V displaystyle V nbsp ist eine Abbildung p V R 0 displaystyle p colon V to mathbb R 0 nbsp mit den Eigenschaften absolute Homogenitat und Subadditivitat 1 das heisst fur alle l K displaystyle lambda in mathbb K nbsp und fur alle x y V displaystyle x y in V nbsp gelten p l x l p x displaystyle p lambda x lambda p x nbsp absolute Homogenitat und p x y p x p y displaystyle p x y leq p x p y nbsp Subadditivitat wobei displaystyle cdot nbsp den Betrag des Skalars darstellt Ein Vektorraum zusammen mit einer Halbnorm heisst halbnormierter Raum V p displaystyle V p nbsp Beispiele BearbeitenJede Norm ist eine Halbnorm die zudem auch positiv definit ist Die Nullfunktion p 0 displaystyle p equiv 0 nbsp die jedes Element des Vektorraums auf Null abbildet ist eine Halbnorm Der Betrag einer reell oder komplexwertigen linearen Funktion ist eine Halbnorm Jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform oder im komplexen Fall hermitesche Sesquilinearform displaystyle cdot cdot nbsp induziert durch Setzung von p x x x displaystyle p x sqrt x x nbsp eine Halbnorm Hierbei geht ein dass die Cauchy Schwarz Ungleichung fur jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform gilt woraus sich die Subadditivitat folgern lasst Ist X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und K X displaystyle K subset X nbsp kompakt so ist durch p K f sup x K f x displaystyle textstyle p K f sup x in K f x nbsp eine Halbnorm auf dem Raum aller stetigen Funktionen X C displaystyle X rightarrow mathbb C nbsp gegeben Hier wird verwendet dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschrankt sind und daher das Supremum endlich bleibt Das Minkowski Funktional p U displaystyle p U nbsp zu einer absorbierenden absolutkonvexen Teilmenge U displaystyle U nbsp eines Vektorraumes Auf dem Dualraum X displaystyle X nbsp eines normierten Raumes definiert p x f f x displaystyle p x varphi varphi x nbsp fur x X displaystyle x in X nbsp und f X displaystyle varphi in X nbsp eine Halbnorm Auf der Menge L X Y displaystyle mathfrak L X Y nbsp der beschrankten linearen Operatoren lassen sich durch p x T T x displaystyle p x T Tx nbsp x X displaystyle x in X nbsp sowie durch p x ps T ps T x displaystyle p x psi T psi Tx nbsp x X ps Y displaystyle x in X psi in Y nbsp Halbnormen definieren Eigenschaften BearbeitenDurch Setzen von l 0 displaystyle lambda 0 nbsp in der Definition folgt sofort p 0 0 displaystyle p 0 0 nbsp die Halbnorm des Nullvektors ist damit null Im Gegensatz zu Normen kann es aber auch Vektoren x 0 displaystyle x neq 0 nbsp geben deren Halbnorm p x 0 displaystyle p x 0 nbsp ist Durch Setzen von y x displaystyle y x nbsp folgt dann aus der Subadditivitat auch Dreiecksungleichung genannt und der absoluten Homogenitat die Nichtnegativitat p x 0 displaystyle p x geq 0 nbsp fur alle x V displaystyle x in V nbsp Durch Setzen von l 1 displaystyle lambda 1 nbsp sieht man weiter dass eine Halbnorm symmetrisch bezuglich Vorzeichenumkehr ist das heisst p x p x displaystyle p x p x nbsp und aus der Anwendung der Dreiecksungleichung auf x y y displaystyle x y y nbsp folgt daraus dann die umgekehrte Dreiecksungleichung p x p y p x y displaystyle p x p y leq p x y nbsp Weiter ist eine Halbnorm sublinear da absolute Homogenitat positive Homogenitat impliziert und auch konvex denn es gilt fur reelles 0 t 1 displaystyle 0 leq t leq 1 nbsp p t x 1 t y p t x p 1 t y t p x 1 t p y displaystyle p tx 1 t y leq p tx p 1 t y tp x 1 t p y nbsp Umgekehrt ist jede absolut homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit eine Halbnorm was durch Setzen von t 1 2 displaystyle t tfrac 1 2 nbsp und Multiplikation mit 2 displaystyle 2 nbsp ersichtlich ist Restklassenbildung BearbeitenAufgrund der absoluten Homogenitat und der Subadditivitat ist die Menge Z x V p x 0 displaystyle Z x in V colon p x 0 nbsp der Vektoren mit Halbnorm null ein Untervektorraum von V displaystyle V nbsp Daher kann eine Aquivalenzrelation auf V displaystyle V nbsp durch x y x y Z displaystyle x sim y Longleftrightarrow x y in Z nbsp definiert werden Der Vektorraum V displaystyle tilde V nbsp aller Aquivalenzklassen aus obiger Aquivalenzrelation ist zusammen mit der Halbnorm p displaystyle p nbsp ein normierter Raum Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in V displaystyle V nbsp bezuglich der Halbnorm und bezeichnet V displaystyle tilde V nbsp als Faktorraum V Z displaystyle V Z nbsp Diese Konstruktion kommt beispielsweise bei der Definition der Lp Raume zum Einsatz Familie von Halbnormen BearbeitenIn der Funktionalanalysis werden im Bereich der lokalkonvexen Vektorraume nicht zuletzt Familien p i i I displaystyle p i i in I nbsp von Halbnormen betrachtet Mit diesen kann es moglich sein auf dem ursprunglichen Vektorraum V displaystyle V nbsp eine Topologie zu definieren die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht Dazu legt man fest dass die Menge U V displaystyle U subset V nbsp offen ist falls fur x U displaystyle x in U nbsp ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp und endlich viele Indizes i 1 i r displaystyle i 1 ldots i r nbsp existieren sodass p i j y lt ϵ j 1 r x y U displaystyle p i j y lt epsilon j 1 ldots r Rightarrow x y in U nbsp fur alle y V displaystyle y in V nbsp gilt In diesem Zusammenhang sind Familien mit einer bestimmten Trennungseigenschaft von besonderem Interesse Eine Familie von Halbnormen p i i I displaystyle p i i in I nbsp heisst trennend falls es fur jedes x V 0 displaystyle x in V setminus 0 nbsp mindestens eine Halbnorm p i displaystyle p i nbsp gibt so dass p i x 0 displaystyle p i x neq 0 nbsp gilt Ein Vektorraum V displaystyle V nbsp ist namlich genau dann bezuglich der oben erklarten Topologie hausdorffsch wenn die Familie von Halbnormen trennend ist Solch ein topologischer Vektorraum wird lokalkonvexer Vektorraum genannt 2 Ein Satz von Gelfand BearbeitenIn der Funktionalanalysis gehort zu den zahlreichen Resultaten die hier von dem Mathematiker Izrail M Gelfand geliefert wurden ein Satz der die Frage behandelt wie die Halbnormen auf einem reellen normierten Raum X displaystyle X nbsp mit der gegebenen Norm verknupft sind Der Satz geht auf eine Arbeit Gelfands aus dem Jahr 1936 zuruck 3 Formulierung des Satzes Bearbeiten Anknupfend an die Darstellung in der Monographie von Kantorowitsch Akilow lasst sich der Satz folgendermassen formulieren 4 Gegeben seien ein normierter R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum X displaystyle X cdot nbsp und darauf eine numerische Funktion p X 0 displaystyle p colon X to 0 infty nbsp welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist A 2 Dabei sei p displaystyle p nbsp unterhalbstetig und zudem existiere in X displaystyle X nbsp eine Teilmenge zweiter Kategorie K X displaystyle K subset X nbsp mit der Eigenschaft dass fur alle x K displaystyle x in K nbsp die Ungleichung p x lt displaystyle p x lt infty nbsp gilt Dann gibt es eine Konstante M gt 0 displaystyle M gt 0 nbsp mit p x M x displaystyle p x leq M x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp Literatur BearbeitenIzrail M Gelfand Sur le lemme de la theorie des espaces lineaires In Sap matem t wa Band 4 1936 S 35 40 L W Kantorowitsch G P Akilow Funktionalanalysis in normierten Raumen In deutscher Sprache herausgegeben von Prof Dr rer nat habil P Heinz Muller Technische Universitat Dresden Ubersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer Dresden und Rolf Kuhne Dresden Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt am Main 1978 ISBN 3 87144 327 1 MR0458199 Walter Rudin Functional Analysis International Series in Pure and Applied Mathematics 2 Auflage McGraw Hill New York 1991 ISBN 0 07 054236 8 MR1157815 Anmerkungen Bearbeiten Damit verwandt aber nicht identisch sind Quasinormen und Pseudonormen In ihrer Monographie bezeichnen Kantorowitsch und Akilow eine derartige numerische Funktion p displaystyle p nbsp auf einem reellen normierten Raum als konvexes Funktional Dabei lassen sie ausdrucklich auch displaystyle infty nbsp als p displaystyle p nbsp Wert zu und fordern dabei die absolute Homogenitat allein fur x X displaystyle x in X nbsp mit p x lt displaystyle p x lt infty nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Walter Rudin Functional Analysis McGraw Hill New York 1991 S 24 25 Walter Rudin Functional Analysis McGraw Hill New York 1991 S 26 27 Kantorowitsch Akilow Funktionalanalysis in normierten Raumen 1978 S 206 207 Kantorowitsch Akilow op cit S 206Weblinks BearbeitenE A Gorin Semi norm In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Todd Rowland Seminorm In MathWorld englisch Robert Milson D Allan Drummond Seminorm In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Halbnorm amp oldid 234605852