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Pseudonorm Eine ist in der Algebra eine abgeschwächte Variante einer Norm bei der die Eigenschaft der Homogenität zur Su

Pseudonorm

Eine Pseudonorm ist in der Algebra eine abgeschwächte Variante einer Norm, bei der die Eigenschaft der Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird. So wie die Norm als eine Verallgemeinerung eines Betrages ins Mehrdimensionale angesehen werden kann, verhält sich die Pseudonorm zu einem Pseudobetrag, bei dem im Gegensatz zum Betrag die Bedingung der Multiplikativität zur Submultiplikativität abgeschwächt wird.

Definition Bearbeiten

Sei ein -(Links-)Modul über einem unitären Ring mit Pseudobetrag. Eine Abbildung in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt eine Pseudonorm, wenn für alle und folgende Eigenschaften gelten:

Wird (2) verschärft zu

so heißt eine Norm.

Die Begrifflichkeit ist in der Literatur nicht eindeutig; bei manchen Autoren wird der Pseudobetrag auch bereits als Pseudonorm bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist die Pseudonorm sogar eine Norm auf , so ist notwendigerweise der zugehörige Pseudobetrag ein Betrag auf .

p-Pseudonormen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ist ein unitärer Ring mit Pseudobetrag, so wird auf dem -Modul durch

für jedes bzw. durch

für eine Pseudonorm, die p-Pseudonorm erklärt. Damit diese Definition sinnvoll ist, sind die Pseudonormeigenschaften zu zeigen. Für den Nachweis der Dreiecksungleichung benutzt man die Minkowski-Ungleichung.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für gilt stets .
  • Für gilt stets .

Anwendung Bearbeiten

Ist ein unitärer Ring mit Pseudobetrag, so können wir die Polynomringe oder und die Matrizenringe auch als -Module auffassen. Dies geschieht durch das „Hintereinanderschreiben“ der Koeffizienten. Damit können durch oben genannte Definition die -Pseudonormen erklärt werden. Diese sind im Allgemeinen auf den Polynomalgebren und auf den Matrizenalgebren nicht submultiplikativ. Umso wertvoller sind folgende Spezialfälle:

  • Die -Pseudonorm ist auf der Polynomalgebra submultiplikativ.
  • Für zwei multiplizierbare Matrizen und sowie gewählte mit gilt
  • Für den Beweis dieser Aussage verwendet man die Hölder-Ungleichung und die Minkowski-Ungleichung.
  • Ist , so ist die -Pseudonorm also submultiplikativ für alle multiplizierbaren Matrizen über , und dies gilt insbesondere auf den Algebren der quadratischen Matrizen.
  • Beispiel für die -Pseudonorm: Ist R ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und M eine -Matrix über R mit den Zeilen , so gilt die abgeschwächte Hadamard-Ungleichung mit der 1-Pseudonorm.

Anwendungen und Bedeutung Bearbeiten

Assoziative Algebren Bearbeiten

Auf assoziativen Algebren sind Strukturen, die gleichzeitig Norm- und Betragseigenschaften besitzen, relativ einfach zu klassifizieren: Sei eine assoziative -Algebra über einem kommutativen unitären Ring mit Pseudobetrag.

  • Ist eine submultiplikative Pseudonorm auf als Modul, so ist ein Pseudobetrag auf als Ring.
  • Ist sogar eine multiplikative Pseudonorm, so ist ein Betrag auf .

Iterativer Aufbau von Polynom- und Matrizenalgebren Bearbeiten

Eine Vielzahl an wichtigen Komplexitätsabschätzungen in der Computeralgebra funktioniert für Pseudonormen in Matrizen- und Polynomalgebren über Ringen mit Pseudobetrag.

Zur Gewinnung solcher Abschätzungen dient häufig folgende iterative Konstruktion von assoziativen Algebren wie Polynom- und Matrizenalgebren:

Ausgehend von einem Grundring R mit Pseudobetrag (das kann in der Praxis noch oft ein echter Betrag sein) sei eine assoziative R-Algebra A mit einer submultiplikativen Pseudonorm gegeben. Dann ist A insbesondere auch selbst ein Ring mit Pseudobetrag, über dem man wiederum Module, Polynom- und Matrizenringe betrachten kann. Auf diese Art ist zum Beispiel die iterative Konstruktion der Polynomalgebren möglich, wobei jede Zwischenalgebra selbst mit einer Pseudonorm ausgestattet ist.

Beispiel: Pseudodivision von Polynomen in mehreren Variablen Bearbeiten

Sei R ein kommutativer unitärer Ring und die Polynomalgebra in n Variablen über R. Dann wird durch ein nicht-archimedischer Pseudobetrag auf dem Polynomring erklärt. Dabei sei der totale Grad von f mit der zusätzlichen Konvention . Die Einschränkung dieses Pseudobetrags auf R ergibt den trivialen Pseudobetrag, der immer 1 ist mit Ausnahme der Null, die den Wert 0 erhält. Bezüglich dieses Pseudobetrags auf R ist der Betrag auch eine Norm auf , nun aufgefasst als R-Modul. Ist R zusätzlich ein Integritätsring, so ist sogar ein nicht-archimedischer Betrag auf dem Polynomring. Mit diesen Hilfsmitteln kann man eine wertvolle Abschätzung des Koeffizientenwachstums bei der „Pseudodivision mit Rest“ bezüglich einer Variablen von Polynomen in mehreren Variablen herleiten.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Klose: Schnelle Polynomarithmetik zur exakten Lösung des Fermat-Weber-Problems. Hrsg.: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg. Juli 1993. Hier S. 48–62.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vincenzo Ancona, Edoardo Ballico, A. Silva, Alessandro Silva (Hrsg.): Complex Analysis and Geometry. CRC Press, 1995, ISBN 978-0-8247-9672-3, S. 54 f.
  2. L. A. Bokhut', I. V. L'vov, I. R. Shafarevich: Noncommutative Rings. In: A. I. Kostrikin, I. R. Shafarevich (Hrsg.): Algebra II. Springer, Berlin 1991 (englisch).
  3. George E. Collins, Ellis Horowitz: The Minimum Root Separation of a Polynomial. In: Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 126, April 1974, S. 589–597 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Pseudonorm ist in der Algebra eine abgeschwachte Variante einer Norm bei der die Eigenschaft der Homogenitat zur Subhomogenitat abgeschwacht wird So wie die Norm als eine Verallgemeinerung eines Betrages ins Mehrdimensionale angesehen werden kann verhalt sich die Pseudonorm zu einem Pseudobetrag bei dem im Gegensatz zum Betrag die Bedingung der Multiplikativitat zur Submultiplikativitat abgeschwacht wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 p Pseudonormen 3 1 Definition 3 2 Eigenschaften 3 3 Anwendung 4 Anwendungen und Bedeutung 4 1 Assoziative Algebren 4 2 Iterativer Aufbau von Polynom und Matrizenalgebren 4 2 1 Beispiel Pseudodivision von Polynomen in mehreren Variablen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Links Modul uber einem unitaren Ring R displaystyle R cdot nbsp mit Pseudobetrag Eine Abbildung M R 0 displaystyle cdot colon M to mathbb R 0 nbsp in die nichtnegativen reellen Zahlen heisst eine Pseudonorm wenn fur alle a b M displaystyle a b in M nbsp und l R displaystyle lambda in R nbsp folgende Eigenschaften gelten 1 1 a 0 a 0 displaystyle a 0 Leftrightarrow a 0 nbsp Definitheit 2 l a l a displaystyle lambda a leq lambda cdot a nbsp Subhomogenitat 3 a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Dreiecksungleichung Wird 2 verscharft zu 2a l a l a displaystyle lambda a lambda cdot a nbsp Homogenitat so heisst displaystyle cdot nbsp eine Norm Die Begrifflichkeit ist in der Literatur nicht eindeutig bei manchen Autoren wird der Pseudobetrag auch bereits als Pseudonorm bezeichnet 2 3 Eigenschaften BearbeitenIst die Pseudonorm displaystyle cdot nbsp sogar eine Norm auf M displaystyle M nbsp so ist notwendigerweise der zugehorige Pseudobetrag displaystyle cdot nbsp ein Betrag auf R displaystyle R nbsp p Pseudonormen BearbeitenDefinition Bearbeiten Ist R displaystyle R cdot nbsp ein unitarer Ring mit Pseudobetrag so wird auf dem R displaystyle R nbsp Modul R n displaystyle R n nbsp durch v p i 1 n v i p p displaystyle v p sqrt p sum i 1 n v i p nbsp fur jedes p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp bzw durch v max i 1 n v i displaystyle v infty max i 1 n v i nbsp fur p displaystyle p infty nbsp eine Pseudonorm die p Pseudonorm erklart Damit diese Definition sinnvoll ist sind die Pseudonormeigenschaften zu zeigen Fur den Nachweis der Dreiecksungleichung benutzt man die Minkowski Ungleichung Eigenschaften Bearbeiten Fur 1 p q displaystyle 1 leq p leq q leq infty nbsp gilt stets v q v p displaystyle v q leq v p nbsp Fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp gilt stets v p n p v displaystyle v p leq sqrt p n v infty nbsp Anwendung Bearbeiten Ist R displaystyle R cdot nbsp ein unitarer Ring mit Pseudobetrag so konnen wir die Polynomringe R X displaystyle R X nbsp oder R X 1 X n displaystyle R X 1 dots X n nbsp und die Matrizenringe R m n displaystyle R m times n nbsp auch als R displaystyle R nbsp Module auffassen Dies geschieht durch das Hintereinanderschreiben der Koeffizienten Damit konnen durch oben genannte Definition die p displaystyle p nbsp Pseudonormen erklart werden Diese sind im Allgemeinen auf den Polynomalgebren und auf den Matrizenalgebren nicht submultiplikativ Umso wertvoller sind folgende Spezialfalle Die 1 displaystyle 1 nbsp Pseudonorm ist auf der Polynomalgebra R X displaystyle R X nbsp submultiplikativ Fur zwei multiplizierbare Matrizen A R l m displaystyle A in R l times m nbsp und B R m n displaystyle B in R m times n nbsp sowie gewahlte p q 1 displaystyle p q in 1 infty nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp gilt A B p A p B min p q displaystyle AB p leq A p B min p q nbsp A B p A min p q B p displaystyle AB p leq A min p q B p nbsp dd Fur den Beweis dieser Aussage verwendet man die Holder Ungleichung und die Minkowski Ungleichung Ist p 1 2 displaystyle p in 1 2 nbsp so ist die p displaystyle p nbsp Pseudonorm also submultiplikativ fur alle multiplizierbaren Matrizen uber R displaystyle R nbsp und dies gilt insbesondere auf den Algebren R n n displaystyle R n times n nbsp der quadratischen Matrizen Beispiel fur die 1 displaystyle 1 nbsp Pseudonorm Ist R ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und M eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix uber R mit den Zeilen M 1 M n displaystyle M 1 dots M n nbsp so gilt die abgeschwachte Hadamard Ungleichung det M i 1 n M i 1 displaystyle textstyle det M leq prod i 1 n M i 1 nbsp mit der 1 Pseudonorm Anwendungen und Bedeutung BearbeitenAssoziative Algebren Bearbeiten Auf assoziativen Algebren sind Strukturen die gleichzeitig Norm und Betragseigenschaften besitzen relativ einfach zu klassifizieren Sei A displaystyle A nbsp eine assoziative R displaystyle R nbsp Algebra uber einem kommutativen unitaren Ring R displaystyle R cdot nbsp mit Pseudobetrag Ist displaystyle cdot nbsp eine submultiplikative Pseudonorm auf A displaystyle A nbsp als Modul so ist displaystyle cdot nbsp ein Pseudobetrag auf A displaystyle A nbsp als Ring Ist displaystyle cdot nbsp sogar eine multiplikative Pseudonorm so ist displaystyle cdot nbsp ein Betrag auf A displaystyle A nbsp Iterativer Aufbau von Polynom und Matrizenalgebren Bearbeiten Eine Vielzahl an wichtigen Komplexitatsabschatzungen in der Computeralgebra funktioniert fur Pseudonormen in Matrizen und Polynomalgebren uber Ringen mit Pseudobetrag Zur Gewinnung solcher Abschatzungen dient haufig folgende iterative Konstruktion von assoziativen Algebren wie Polynom und Matrizenalgebren Ausgehend von einem Grundring R mit Pseudobetrag das kann in der Praxis noch oft ein echter Betrag sein sei eine assoziative R Algebra A mit einer submultiplikativen Pseudonorm gegeben Dann ist A insbesondere auch selbst ein Ring mit Pseudobetrag uber dem man wiederum Module Polynom und Matrizenringe betrachten kann Auf diese Art ist zum Beispiel die iterative Konstruktion der Polynomalgebren R X 1 X n R X 1 X n 1 X n displaystyle R X 1 dots X n R X 1 dots X n 1 X n nbsp moglich wobei jede Zwischenalgebra selbst mit einer Pseudonorm ausgestattet ist Beispiel Pseudodivision von Polynomen in mehreren Variablen Bearbeiten Sei R ein kommutativer unitarer Ring und R X 1 X n displaystyle R X 1 dots X n nbsp die Polynomalgebra in n Variablen uber R Dann wird durch f 2 grad f displaystyle f 2 operatorname grad f nbsp ein nicht archimedischer Pseudobetrag auf dem Polynomring erklart Dabei sei grad f displaystyle operatorname grad f nbsp der totale Grad von f mit der zusatzlichen Konvention 2 grad 0 2 0 displaystyle 2 operatorname grad 0 2 infty 0 nbsp Die Einschrankung dieses Pseudobetrags auf R ergibt den trivialen Pseudobetrag der immer 1 ist mit Ausnahme der Null die den Wert 0 erhalt Bezuglich dieses Pseudobetrags auf R ist der Betrag f 2 grad f displaystyle f mapsto 2 operatorname grad f nbsp auch eine Norm auf R X 1 X n displaystyle R X 1 dots X n nbsp nun aufgefasst als R Modul Ist R zusatzlich ein Integritatsring so ist f 2 grad f displaystyle f mapsto 2 operatorname grad f nbsp sogar ein nicht archimedischer Betrag auf dem Polynomring Mit diesen Hilfsmitteln kann man eine wertvolle Abschatzung des Koeffizientenwachstums bei der Pseudodivision mit Rest bezuglich einer Variablen von Polynomen in mehreren Variablen herleiten Literatur BearbeitenJurgen Klose Schnelle Polynomarithmetik zur exakten Losung des Fermat Weber Problems Hrsg Friedrich Alexander Universitat Erlangen Nurnberg Juli 1993 Hier S 48 62 Einzelnachweise Bearbeiten Vincenzo Ancona Edoardo Ballico A Silva Alessandro Silva Hrsg Complex Analysis and Geometry CRC Press 1995 ISBN 978 0 8247 9672 3 S 54 f L A Bokhut I V L vov I R Shafarevich Noncommutative Rings In A I Kostrikin I R Shafarevich Hrsg Algebra II Springer Berlin 1991 englisch George E Collins Ellis Horowitz The Minimum Root Separation of a Polynomial In Mathematics of Computation Band 28 Nr 126 April 1974 S 589 597 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pseudonorm amp oldid 219875506