Die Minkowski Ungleichung auch als Minkowski sche Ungleichung oder Ungleichung von Minkowski bezeichnet ist eine Ungleichung im Grenzgebiet zwischen der Masstheorie und der Funktionalanalysis zwei Teilbereichen der Mathematik Sie wird in unterschiedlichen Versionen formuliert meist fur den Folgenraum ℓ p displaystyle ell p sowie die Lebesgue Raume L p displaystyle L p und L p displaystyle mathcal L p In diesen Raumen entspricht sie der Dreiecksungleichung und macht diese somit zu normierten Raumen im Falle von L p displaystyle mathcal L p zu einem halbnormierten Raum Sie ist nach Hermann Minkowski benannt der die Ungleichung fur unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung fur Lp Raume 2 Formulierung fur messbare Funktionen 3 Formulierung fur Folgen 4 Beweis 5 Verallgemeinerung Minkowski Ungleichung fur Integrale 6 Weblinks 7 Literatur 8 EinzelnachweiseFormulierung fur Lp Raume BearbeitenSei p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp und L p L p W A m displaystyle L p L p Omega mathcal A mu nbsp der entsprechende Lp Raum Es sei L p displaystyle cdot L p nbsp die entsprechende L p displaystyle L p nbsp Norm Fur ein f L p displaystyle f in L p nbsp ist also f L p W f p d m 1 p fur p 1 e s s sup x W f x fur p displaystyle f L p begin cases left int Omega f p mathrm d mu right tfrac 1 p amp text fur p in 1 infty mathrm ess sup x in Omega f x amp text fur p infty end cases nbsp Hierbei bezeichnet e s s sup displaystyle mathrm ess sup nbsp das wesentliche Supremum Die Minkowski Ungleichung besagt dann 2 Ist f L p displaystyle f in L p nbsp und g L p displaystyle g in L p nbsp so gilt f g L p f L p g L p displaystyle f g L p leq f L p g L p nbsp dd Die Ungleichung gilt auch in L p L p W A m displaystyle mathcal L p mathcal L p Omega mathcal A mu nbsp siehe Lp Raum Definition Die L p displaystyle mathcal L p nbsp Halb Norm wird identisch wie die L p displaystyle L p nbsp Norm definiert aber mit L p displaystyle cdot mathcal L p nbsp bezeichnet Die Minkowski Ungleichung besagt dann 3 Ist f L p displaystyle f in mathcal L p nbsp und g L p displaystyle g in mathcal L p nbsp so gilt f g L p f L p g L p displaystyle f g mathcal L p leq f mathcal L p g mathcal L p nbsp dd Formulierung fur messbare Funktionen BearbeitenDie Minkowski Ungleichung lasst sich auch etwas allgemeiner fur messbare Funktionen formulieren Mit den Vereinbarungen p p 0 displaystyle infty p infty infty p 0 nbsp fur p 0 displaystyle p in 0 infty nbsp definiert man I p f X f p d m 1 p fur p 1 e s s sup x X f x fur p displaystyle I p f begin cases left int X f p mathrm d mu right tfrac 1 p amp text fur p in 1 infty mathrm ess sup x in X f x amp text fur p infty end cases nbsp wobei f displaystyle f nbsp eine messbare Funktion von dem Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu nbsp nach K displaystyle overline mathbb K nbsp ist Hierbei ist K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp oder K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp Dann lautet die Minkowski Ungleichung 1 Sind die Funktionen f g displaystyle f g nbsp von X displaystyle X nbsp nach K displaystyle overline mathbb K nbsp beide messbar so giltI p f g I p f I p g displaystyle I p f g leq I p f I p g nbsp dd Formulierung fur Folgen BearbeitenDie Minkowski Ungleichung gilt auch fur Folgen in R displaystyle mathbb R nbsp oder in C displaystyle mathbb C nbsp unabhangig davon ob die Folgen konvergieren Sie lautet dann k 1 x k y k p 1 p k 1 x k p 1 p k 1 y k p 1 p displaystyle left sum k 1 infty x k y k p right 1 p leq left sum k 1 infty x k p right 1 p left sum k 1 infty y k p right 1 p nbsp fur p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp 1 Beschrankt man sich auf den passenden Folgenraum ℓ p displaystyle ell p nbsp mit der Norm x n n ℓ p n 1 x n p 1 p displaystyle x n n ell p left sum n 1 infty x n p right frac 1 p nbsp so lautet die Minkowski Ungleichung x n n y n n ℓ p x n n ℓ p y n n ℓ p displaystyle x n n y n n ell p leq x n n ell p y n n ell p nbsp fur Folgen x n n N y n n N displaystyle x n n in mathbb N y n n in mathbb N nbsp aus ℓ p displaystyle ell p nbsp Dies kann als Sonderfall der Ungleichung fur den L p displaystyle L p nbsp angesehen werden wenn man als Grundmenge die naturlichen Zahlen wahlt und als Mass das Zahlmass Beweis BearbeitenDie Minkowski Ungleichung ist fur p 1 displaystyle p 1 nbsp und p displaystyle p infty nbsp trivial Es sei daher 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp Da x x p displaystyle x mapsto x p nbsp eine konvexe Funktion ist gilt f g p 2 p 1 2 f 1 2 g p 2 p 1 f p g p displaystyle f g p 2 p cdot left frac 1 2 f frac 1 2 g right p leq 2 p 1 f p g p nbsp und daher f g L p S displaystyle f g in L p S nbsp Sei im Folgenden ohne Beschrankung der Allgemeinheit f g p gt 0 displaystyle f g p gt 0 nbsp Es gilt f g p f g f g p 1 f g f g p 1 f f g p 1 g f g p 1 displaystyle begin aligned f g p amp f g f g p 1 amp leq f g f g p 1 amp left f cdot f g p 1 right left g cdot f g p 1 right end aligned nbsp Sei q p p 1 displaystyle q tfrac p p 1 nbsp Dann ist q der zu p konjugierte Holder Exponent es gilt 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp Nach der Holder Ungleichung gilt f g p p S f g p S f f g p 1 S g f g p 1 f p f g p 1 q g p f g p 1 q f p g p f g p 1 q f p g p S f g p 1 p p 1 1 1 p f p g p S f g p S f g p 1 p f p g p f g p p f g p displaystyle begin aligned f g p p int S f g p amp leq int S left f cdot f g p 1 right int S left g cdot f g p 1 right amp leq f p cdot f g p 1 q g p cdot f g p 1 q 2em amp f p g p cdot f g p 1 q amp f p g p cdot left int S f g p 1 cdot frac p p 1 right 1 frac 1 p amp f p g p cdot frac int S f g p left int S f g p right frac 1 p amp f p g p cdot frac f g p p f g p end aligned nbsp Dies impliziert die Minkowski Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit f g p f g p p displaystyle tfrac f g p f g p p nbsp Verallgemeinerung Minkowski Ungleichung fur Integrale BearbeitenSeien S 1 m 1 displaystyle S 1 mu 1 nbsp und S 2 m 2 displaystyle S 2 mu 2 nbsp zwei Massraume und F S 1 S 2 K displaystyle F S 1 times S 2 to mathbb K nbsp eine messbare Funktion dann gilt Minkowski Ungleichung fur Integrale S 2 S 1 F x y d m 1 x p d m 2 y 1 p S 1 S 2 F x y p d m 2 y 1 p d m 1 x displaystyle left int S 2 left int S 1 F x y d mu 1 x right p d mu 2 y right 1 p leq int S 1 left int S 2 F x y p d mu 2 y right 1 p d mu 1 x nbsp fur p lt displaystyle p lt infty nbsp Ist 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp und beide Seiten endlich so gilt Gleichheit genau dann wenn sich F displaystyle F nbsp als Produkt F x y f x ps y displaystyle F x y varphi x psi y nbsp zweier messbarer Funktionen ϕ S 1 0 displaystyle phi colon S 1 to 0 infty nbsp und ps S 2 0 displaystyle psi colon S 2 to 0 infty nbsp schreiben lasst Wahlen wir S 1 m 1 displaystyle S 1 mu 1 nbsp als die zwei elementige Menge 1 2 displaystyle 1 2 nbsp mit dem zahlenden Mass so erhalten wir als Spezialfall wieder die ubliche Minkowski Ungleichung mit f i F i displaystyle f i F i cdot nbsp fur i 1 2 displaystyle i 1 2 nbsp ist namlich f 1 f 2 p S 2 S 1 F x y d m 1 x p d m 2 y 1 p S 1 S 2 F x y p d m 2 y 1 p d m 1 x f 1 p f 2 p displaystyle begin aligned f 1 f 2 p amp left int S 2 left int S 1 F x y d mu 1 x right p d mu 2 y right 1 p amp leq int S 1 left int S 2 F x y p d mu 2 y right 1 p d mu 1 x amp f 1 p f 2 p end aligned nbsp Weblinks BearbeitenM I Voitsekhovskii Minkowski inequality In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Minkowski s Inequalities In MathWorld englisch Literatur BearbeitenHerbert Amann Joachim Escher Analysis III 1 Auflage Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 2001 ISBN 3 7643 6613 3Einzelnachweise Bearbeiten a b c Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 S 224 226 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 22260 3 S 57 doi 10 1007 978 3 642 22261 0 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 154 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Minkowski Ungleichung amp oldid 216786205
