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Zählmaß Maßtheorie Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet Fo

Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum definieren, wobei eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge ist. Ist eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn abzählbar ist.

Definition Bearbeiten

Das Zählmaß einer Menge ist wie folgt definiert:

Beispiele Bearbeiten

Integral der Funktion auf dem Intervall bzgl. des Zählmaßes über

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum , entspricht das Zählmaß der Abbildung

Hierbei bezeichnet die charakteristische Funktion der Menge .

Mit Hilfe des Zählmaßes auf lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung :

In diesem Fall gilt

Literatur Bearbeiten

  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 31.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 29.
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Das Zahlmass ist in der Mathematik ein spezielles Mass das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet Formal lasst sich das Zahlmass auf einem Messraum W P W displaystyle Omega mathfrak P Omega definieren wobei W displaystyle Omega eine beliebige Menge und P W displaystyle mathfrak P Omega ihre Potenzmenge ist Ist W displaystyle Omega eine endliche Menge so entsteht dabei ein endliches Mass Es ist genau dann ein s endliches Mass wenn W displaystyle Omega abzahlbar ist Definition BearbeitenDas Zahlmass einer Menge A W displaystyle A subseteq Omega nbsp ist wie folgt definiert m A A falls A endlich ist falls A unendlich ist displaystyle mu A begin cases vert A vert amp text falls A text endlich ist infty amp text falls A text unendlich ist end cases nbsp Beispiele Bearbeiten nbsp Integral der Funktion x x 2 displaystyle x mapsto x 2 nbsp auf dem Intervall 10 10 displaystyle 10 10 nbsp bzgl des Zahlmasses uber Z displaystyle mathbb Z nbsp Uber den naturlichen Zahlen das heisst dem Messraum N P N displaystyle mathbb N mathfrak P mathbb N nbsp entspricht das Zahlmass der Abbildung m P N 0 A k N x A k displaystyle mu colon mathfrak P mathbb N to 0 infty text A mapsto sum k in mathbb N chi A k nbsp Hierbei bezeichnet x A displaystyle chi A nbsp die charakteristische Funktion der Menge A N displaystyle A subseteq mathbb N nbsp Mit Hilfe des Zahlmasses auf N displaystyle mathbb N nbsp lasst sich jede endliche Summe oder unendliche absolut konvergente Reihe als Lebesgue Integral darstellen Insbesondere gilt fur jede Abbildung f N R displaystyle f colon mathbb N to mathbb R nbsp k 1 f k displaystyle sum k 1 infty f k nbsp konvergiert absolut displaystyle Longleftrightarrow nbsp f displaystyle f nbsp ist integrierbar bzgl des Zahlmasses auf P N displaystyle mathfrak P mathbb N nbsp In diesem Fall gilt N f d m k 1 f k displaystyle int mathbb N f mathrm d mu sum k 1 infty f k nbsp Literatur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie Vieweg Braunschweig u a 2003 ISBN 3 528 03183 2 S 31 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 21390 2 S 29 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zahlmass Masstheorie amp oldid 230029167