Messraum Mathematik Messraum oder auch messbarer Raum ist ein Begriff der Maßtheorie einem Teilbereich der Mathematik de

Messraum (Mathematik)

Messraum oder auch messbarer Raum ist ein Begriff der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Messräume bilden hier ein Analogon zum Definitionsbereich, sie geben an, über welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann.

Definition Bearbeiten

Ein Tupel heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

eine beliebige Grundmenge ist und
eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.

In der Stochastik werden Messräume auch Ereignisräume genannt. Eine Menge heißt messbare Menge, wenn ist.

Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen Bearbeiten

Wichtig für den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist, dass dafür kein Maß definiert sein muss, sondern nur ein Messraum. Daher spricht man auch teilweise von Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Davon abzugrenzen ist die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Auch hier wird kein Maß benötigt, sondern nur ein äußeres Maß.

Beispiele Bearbeiten

Betrachtet man als Beispiel den Grundraum

und definiert darauf die zwei σ-Algebren

dann sind und Messräume, aber die Menge ist nur messbar bezüglich und nicht bezüglich .

Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum. Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man häufig den Messraum der borelschen σ-Algebra.

Isomorphie von Messräumen Bearbeiten

Zwei Messräume und heißen isomorph, wenn es eine bijektive Funktion von nach gibt, die --messbar ist und deren Umkehrabbildung --messbar ist.

Klassen von Messräumen Bearbeiten

Borel’sche Räume Bearbeiten

Ein Messraum heißt ein Borel’scher Raum oder Borel-Raum, wenn es eine messbare Menge gibt, so dass und Borel-isomorph sind.

Entscheidungsräume Bearbeiten

Ein Entscheidungsraum ist ein Messraum, bei dem die σ-Algebra alle einelementigen Mengen enthält, wenn also für jedes die Menge ist. ist beispielsweise ein Entscheidungsraum.

Separierte Messräume Bearbeiten

Ein Messraum heißt ein separierter Messraum, wenn die Menge von Funktionen

eine punktetrennende Menge auf ist. Dabei bezeichnet die Charakteristische Funktion der Menge .

Dies ist genau dann der Fall, wenn es für je zwei voneinander verschiedene Punkte eine Menge gibt, so dass aber .

Abzählbar erzeugte Messräume Bearbeiten

Ein Messraum heißt ein abzählbar erzeugter Messraum, wenn die σ-Algebra des Messraumes eine abzählbar erzeugte σ-Algebra ist, also einen abzählbaren Erzeuger besitzt.

Verwendung Bearbeiten

Für Messräume gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zahlreiche Anwendungen. Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Maßes zu einem Maßraum erweitern, andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von Bildmaßen mittels messbarer Funktionen.

In der Stochastik werden die Messräume auch teilweise Ereignisraum genannt, die messbaren Mengen heißen dann Ereignisse. Nach Wahl eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt es sich dann um einen Wahrscheinlichkeitsraum.

Literatur Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 10, doi:10.1515/9783110215274.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 02, 2023, 19:21 pm

Messraum oder auch messbarer Raum ist ein Begriff der Masstheorie einem Teilbereich der Mathematik der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschaftigt Messraume bilden hier ein Analogon zum Definitionsbereich sie geben an uber welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen 3 Beispiele 4 Isomorphie von Messraumen 5 Klassen von Messraumen 5 1 Borel sche Raume 5 2 Entscheidungsraume 5 3 Separierte Messraume 5 4 Abzahlbar erzeugte Messraume 6 Verwendung 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Tupel W A displaystyle Omega mathcal A nbsp heisst Messraum oder messbarer Raum wenn W displaystyle Omega nbsp eine beliebige Grundmenge ist und A displaystyle mathcal A nbsp eine s Algebra auf dieser Grundmenge ist In der Stochastik werden Messraume auch Ereignisraume genannt 1 Eine Menge A displaystyle A nbsp heisst messbare Menge wenn A A displaystyle A in mathcal A nbsp ist Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen BearbeitenWichtig fur den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist dass dafur kein Mass definiert sein muss sondern nur ein Messraum Daher spricht man auch teilweise von Messbarkeit bezuglich eines Messraumes Davon abzugrenzen ist die Messbarkeit nach Caratheodory von Mengen bezuglich eines ausseren Masses Auch hier wird kein Mass benotigt sondern nur ein ausseres Mass Beispiele BearbeitenBetrachtet man als Beispiel den Grundraum W 1 2 3 4 displaystyle Omega 1 2 3 4 nbsp und definiert darauf die zwei s Algebren A 1 P W displaystyle mathcal A 1 mathcal P Omega nbsp also die Potenzmenge von W displaystyle Omega nbsp und A 2 1 2 3 4 W displaystyle mathcal A 2 emptyset 1 2 3 4 Omega nbsp dann sind M 1 W A 1 displaystyle M 1 Omega mathcal A 1 nbsp und M 2 W A 2 displaystyle M 2 Omega mathcal A 2 nbsp Messraume aber die Menge 1 displaystyle 1 nbsp ist nur messbar bezuglich M 1 displaystyle M 1 nbsp und nicht bezuglich M 2 displaystyle M 2 nbsp Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man haufig den Messraum R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp der borelschen s Algebra Isomorphie von Messraumen BearbeitenZwei Messraume W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp und W 2 A 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 nbsp heissen isomorph wenn es eine bijektive Funktion f displaystyle f nbsp von W 1 displaystyle Omega 1 nbsp nach W 2 displaystyle Omega 2 nbsp gibt die A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp messbar ist und deren Umkehrabbildung f 1 displaystyle f 1 nbsp A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp messbar ist Klassen von Messraumen BearbeitenDieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Borel sche Raume Bearbeiten Ein Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp heisst ein Borel scher Raum oder Borel Raum wenn es eine messbare Menge B B R displaystyle B in mathcal B mathbb R nbsp gibt so dass W A displaystyle Omega mathcal A nbsp und B B B displaystyle B mathcal B B nbsp Borel isomorph sind Entscheidungsraume Bearbeiten Ein Entscheidungsraum ist ein Messraum bei dem die s Algebra alle einelementigen Mengen enthalt wenn also fur jedes w W displaystyle omega in Omega nbsp die Menge w A displaystyle omega in mathcal mathcal A nbsp ist R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp ist beispielsweise ein Entscheidungsraum Separierte Messraume Bearbeiten Ein Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp heisst ein separierter Messraum wenn die Menge von Funktionen M x A A A displaystyle M chi A A in mathcal A nbsp eine punktetrennende Menge auf W displaystyle Omega nbsp ist Dabei bezeichnet x A displaystyle chi A nbsp die Charakteristische Funktion der Menge A displaystyle A nbsp Dies ist genau dann der Fall wenn es fur je zwei voneinander verschiedene Punkte x y W displaystyle x y in Omega nbsp eine Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp gibt so dass x A displaystyle x in A nbsp aber y A displaystyle y notin A nbsp Abzahlbar erzeugte Messraume Bearbeiten Ein Messraum heisst ein abzahlbar erzeugter Messraum wenn die s Algebra des Messraumes eine abzahlbar erzeugte s Algebra ist also einen abzahlbaren Erzeuger besitzt Verwendung BearbeitenFur Messraume gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Masstheorie zahlreiche Anwendungen Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Masses zu einem Massraum erweitern andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von Bildmassen mittels messbarer Funktionen In der Stochastik werden die Messraume auch teilweise Ereignisraum genannt die messbaren Mengen heissen dann Ereignisse Nach Wahl eines Wahrscheinlichkeitsmasses handelt es sich dann um einen Wahrscheinlichkeitsraum Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Einzelnachweise Bearbeiten Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 10 doi 10 1515 9783110215274 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Messraum Mathematik amp oldid 231019851