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Stochastik Die von altgriechisch στοχαστικὴ τέχνη stochastikē technē lateinisch ars conjectandi Kunst des Vermutens Rate

Stochastik

Die Stochastik (von altgriechisch στοχαστικὴ τέχνη stochastikē technē, lateinisch ars conjectandi ‚Kunst des Vermutens‘, ‚Ratekunst‘) ist die Mathematik des Zufalls oder die Mathematik der Daten und des Zufalls, also ein Teilgebiet der Mathematik, und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik zusammen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt die Begriffe zur mathematischen Modellierung von Vorgängen bereit, in denen zufällige Ereignisse auftreten. Auf dieser Grundlage liefert die Mathematische Statistik Verfahren, um aus Beobachtungsdaten Modellparameter zu bestimmen und Aussagen über die Angemessenheit der Modellierung machen zu können. Stochastisch bedeutet so viel wie „zufällig“. Wir bezeichnen ein Ereignis als zufällig, wenn sein Eintreten prinzipiell nicht vorhersehbar ist.

Die historischen Aspekte der Wahrscheinlichkeitstheorie werden im Artikel Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung dargestellt.

Überblick

Die Stochastik ist wiederum in viele Teilgebiete aufgeteilt. Im Folgenden findet sich eine kleine Übersicht über die wichtigsten Gebiete:

Reine Stochastik

Statistik

Anwendungen

Die Stochastik untersucht die mathematische Modellierung zufälliger Ereignisse und findet daher in praktisch allen empirischen Disziplinen Anwendungen. Beispiele sind: Strategien für Glücksspiele, Risikoanalyse bei Überbuchung von Schiff/Flugzeug/Hotel, Entscheidung bei zufallsbedingten Vorgängen, statistische Auswertung von Studien in der Medizin oder Arzneimittelforschung, Problemen der Klimaforschung, Qualitätskontrolle, Wettervorhersagen (Regenwahrscheinlichkeit), Kalkulation von Versicherungsprämien, Studium von Warteschlangen und Optimierung von Ampelsteuerungen im Verkehr, Modelle für die Ausbreitung von Krankheiten, Meinungsforschung, Portfolio-Analyse oder Marketing-Strategien bei Banken, Modellierung der Gesprächsdauer bei Telefongesprächen, Anzahl der erforderlichen Entladebrücken eines Containerterminals oder Fragestellungen der Quantenphysik.

Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimente

In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man Zufallsprozesse mit festen als bekannt angegebenen Wahrscheinlichkeiten und studiert die Gesetze zufälliger Ereignisse. Dabei stellen Wahrscheinlichkeiten Prognosen dar. Zum einen sollen Prognosen über den Ausgang zukünftiger Ereignisse gemacht werden, zum anderen soll beurteilt werden, wie gewöhnlich oder ungewöhnlich ein eingetretenes Ereignis ist. Prognosen, die sich nicht bewähren, müssen revidiert werden.

Unter einer Prognose versteht man:

Prognosen (Wahrscheinlichkeiten) für das Eintreten eines Ereignisses E erhält man:

  • aus Laplace-Experimenten (siehe Abschnitt unten). Dieser Ansatz ist rein theoretisch. Prognosen als Laplace-Wahrscheinlichkeiten werden vor dem Experiment aus der Vernunft geboren.
  • bei einem Zufallsexperiment, das beliebig häufig wiederholbar ist, als Schätzwert aus den beobachteten relativen Häufigkeiten für das Eintreten von E und deren Entwicklung bei Steigerung der Anzahl an Versuchen (frequentistische Wahrscheinlichkeit). In diesem Fall dividiert man die absolute Häufigkeit, also die Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche. Dieser Ansatz ist empirisch. Prognosen werden nach Durchführung möglichst vieler gleichartiger Experimente gewonnen. Meist wird die Anzahl der für eine realistische Schätzung mindestens erforderlichen Versuche unterschätzt. Bei einer Binomialverteilung kann man zeigen, dass es bei einem Laplace-Würfel mehr als 5 555 Wiederholungen, bei anderen Zufallsvorrichtungen im ungünstigsten Fall aber mehr als 10 000 Wiederholungen sein müssen, damit man in rund 95 % solch langer Versuchsserien eine relative Häufigkeit erhält, die sich um höchstens 1 % Prozent von der unbekannten Wahrscheinlichkeit unterscheidet. Weiß man gar nichts über die Verteilung der Zufallsergebnisse, dann sind erheblich mehr Versuche nötig.
  • als subjektives Maß für den persönlichen Grad an Überzeugung, dass E eintritt (subjektive Wahrscheinlichkeit). Dieser Ansatz ist theoretisch. Die Prognosen orientieren sich an eigener Erfahrung und sind von eigenen Wünschen geprägt.

Angabe von Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben dargestellt. Das erinnert an das lateinische probabilitas, aus dem das französische probabilité und das englische probability wurden. Eingeführt wurde diese Schreibweise von Laplace. Er unterscheidet in seinen Veröffentlichungen zwischen possibilité, was wir heute relative Häufigkeit nennen, und probabilité.

Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen 0 und 1, wobei auch 0 und 1 zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen (), Brüche (), Quoten (2 von 10 beziehungsweise 1 von 5) oder Verhältniszahlen (1 zu 4) angegeben werden (alle diese Angaben beschreiben ein und dieselbe Wahrscheinlichkeit).

Häufig treten Missverständnisse auf, wenn nicht zwischen „zu“ und „von“ unterschieden wird: „1 zu 4“ bedeutet, dass dem einen gewünschten Ereignis 4 ungewünschte Ereignisse gegenüberstehen. Damit gibt es zusammen 5 Ereignisse, von denen eines das Gewünschte ist, also „1 von 5“.

Laplace-Experimente

Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, für die die folgenden beiden Punkte erfüllt sind:

  • Es gibt nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge.
  • Alle möglichen Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.

Einfache Beispiele für Laplace-Experimente sind das Würfeln mit idealen Würfeln, das Werfen einer idealen Münze (wenn man davon absieht, dass sie auf dem Rand stehen bleiben kann) und die Ziehung der Lottozahlen.

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment berechnet sich nach der Gleichung

Integritätsbedingungen, Axiomensystem

Grundsätzliche Annahmen der Stochastik sind in den Kolmogorov-Axiomen nach Andrei Kolmogorov beschrieben. Aus diesen und ihren Folgerungen lässt sich schließen, dass:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , das alle möglichen Versuchsausgänge umfasst, ist :

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist :

Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen einschließlich null und eins:

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E und die für das Eintreten des Gegenereignisses (Nichteintreten des Ereignisses) addieren sich zu Eins:

In einem vollständigen System von Ereignissen (hierfür müssen alle paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich sein) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich :

Wahrscheinlichkeiten Null und Eins – unmögliche und sichere Ereignisse

Wenn ein Ereignis unmöglich ist, dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 0. Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 0 nur dann geschlossen werden, dass das Ereignis unmöglich ist, wenn es nur endlich viele verschiedene Versuchsausgänge gibt. Für Zufallsversuche mit unendlich vielen Versuchsausgängen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zufallszahl zwischen 0 und 1 gezogen. Es wird davon ausgegangen, dass jede Zahl gleich wahrscheinlich sei – es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall vorausgesetzt. Dann ist für jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, gleich 0, da es in diesem Intervall unendlich viele Zahlen gibt. Dennoch ist jede Zahl aus als Ziehungsergebnis möglich. Ein unmögliches Ereignis im Rahmen dieses Beispiels ist etwa die Ziehung der 2, also das Eintreten des Elementarereignisses .

Wenn ein Ereignis sicher eintritt, dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 1. Ein Beispiel für ein sicheres Ereignis beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel ist das Ereignis „es wird keine Sieben gewürfelt“ oder „es wird eine Zahl zwischen 1 und 6 gewürfelt“. Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 1 nur dann geschlossen werden, dass das Ereignis sicher eintritt, wenn es nur endlich viele Versuchsausgänge gibt. Für Zufallsversuche mit unendlich vielen Ausgängen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel: Man würfelt solange, bis zum ersten Mal eine „6“ eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwann einmal „6“ fällt, ist 1, aber es ist keineswegs sicher, dass einmal „6“ fallen muss.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Kombinatorik

Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt. Im Urnenmodell lässt sich die Bestimmung der Anzahl aller Möglichkeiten bei der Auswahl und Anordnung von Objekten darstellen und veranschaulichen. Betrachten wir das Ziehen von Kugeln aus einer Urne, die Kugeln enthält , dann lassen sich 4 Grundprobleme herausstellen:

  • Ziehen ohne Zurücklegen gezogener Kugeln mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Sonderfall: Alle Kugeln werden gezogen .
  • Ziehen ohne Zurücklegen gezogener Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge,
  • Ziehen mit Zurücklegen der gezogenen Kugel unmittelbar nach dem Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge,
  • Ziehen mit Zurücklegen der gezogenen Kugel unmittelbar nach dem Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

In der modernen Kombinatorik werden diese Probleme umformuliert als Abbildungen, sodass sich die Aufgabe der Kombinatorik im Wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen aufzuzählen.

Statistik

Statistik ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. Dabei verbindet sie empirische Daten mit theoretischen Modellen. Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) und die beurteilende Statistik (schließende Statistik). In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.

Spieltheorie

Die Spieltheorie ist ein modernes Teilgebiet der Mathematik mit vielfältigen Beziehungen zu anderen Wissenschaften. Es befasst sich damit, Systeme mit mehreren Akteuren (Spielern, Agenten) zu analysieren. Die Spieltheorie versucht dabei unter anderem, das rationale Entscheidungsverhalten in sozialen Konkurrenz- und Konfliktsituationen abzuleiten. Sie ist eine mathematische Theorie der Konfliktsituationen. Die Stochastik kommt dafür an verschiedenen Stellen zum Tragen. Zum einen bei Spielen wie dem Kampf der Geschlechter, bei denen die bestmögliche Strategie darin besteht, eine Entscheidung zufällig zu treffen. Zum anderen befasst sich die Spieltheorie auch mit den Systemen, in denen die Akteure nicht die komplette Situation kennen, das heißt, sie verfügen nicht über vollständige Information. Dann müssen sie eine optimale Spielstrategie auf Grundlage ihrer Vermutungen wählen.

Anwendungsbeispiele

Siehe auch

Weblinks

Wiktionary: Stochastik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg Verlag, Braunschweig 1991, ISBN 3-528-27259-7, S. V.
  2. A. Büchter, W. Henn: Elementare Stochastik. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. Untertitel.
  3. Kurt Nawrotzki: Lehrbuch der Stochastik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1994, ISBN 3-8171-1368-4, S. 7.
  4. Schüler-Duden: Die Mathematik II. Duden-Verlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-04273-7.
  5. ruhr-uni-bochum.de
  6. mathematik.de
  7. Wolfgang Riemer: Stochastische Probleme aus elementarer Sicht. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim/ Wien/ Zürich 1991, ISBN 3-411-14791-1, S. 19.
  8. A. Büchter, W. Henn: Elementare Stochastik. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 150.
  9. Helmut Wirths: Stochastikunterricht am Gymnasium. BoD, Norderstedt 2020, ISBN 978-3-7526-2218-8, S. 78.
  10. A. Büchter, W. Henn: Elementare Stochastik. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 139–151.
  11. Friedrich Barth, Rudolf Haller: Stochastik Leistungskurs. Ehrenwirth Verlag, München, ISBN 3-431-02511-0, S. 42.
  12. P. S. de Lapace: Théorie analytique des probabiltés. 1812, zitiert nach Robert Ineichen
  13. Ivo Schneider: Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08759-3, S. 145.
  14. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/ Berlin/ Oxford 1996, ISBN 3-8274-0071-6, S. 4.
  15. A. Büchter, W. Henn: Elementare Stochastik. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 153.
  16. A. Büchter, W. Henn: Elementare Stochastik. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 137.
  17. Hans Christian Reichel: Wahrscheinlichkeit und Statistik. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1987, ISBN 3-209-00736-5, S. 64.
  18. Schülerduden: Die Mathematik II. Dudenverlag, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich, ISBN 3-411-04273-7.
  19. Friedrich Barth, Rudolf Haller: Stochastik Leistungskurs. Ehrenwirth Verlag, München, ISBN 3-431-02511-0, S. 95.
  20. Beispiele in Johann Pfanzagl: Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie. Walter de Gruyter, Berlin/ New York 1991, ISBN 3-11-013384-9, S. 29/30.
  21. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg Verlag, Braunschweig/ Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 23.
  22. Schülerduden: Die Mathematik II. Dudenverlag, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich, ISBN 3-411-04273-7.
  23. J. S. Wentzel: Elemente der Spieltheorie. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main/ Zürich 1976, S. 5.
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Die Stochastik von altgriechisch stoxastikὴ texnh stochastike techne lateinisch ars conjectandi Kunst des Vermutens Ratekunst ist die Mathematik des Zufalls 1 oder die Mathematik der Daten und des Zufalls 2 also ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik zusammen Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt die Begriffe zur mathematischen Modellierung von Vorgangen bereit in denen zufallige Ereignisse auftreten Auf dieser Grundlage liefert die Mathematische Statistik Verfahren um aus Beobachtungsdaten Modellparameter zu bestimmen und Aussagen uber die Angemessenheit der Modellierung machen zu konnen 3 Stochastisch bedeutet so viel wie zufallig 4 Wir bezeichnen ein Ereignis als zufallig wenn sein Eintreten prinzipiell nicht vorhersehbar ist Die historischen Aspekte der Wahrscheinlichkeitstheorie werden im Artikel Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung dargestellt Inhaltsverzeichnis 1 Uberblick 2 Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimente 2 1 Angabe von Wahrscheinlichkeiten 2 2 Laplace Experimente 2 3 Integritatsbedingungen Axiomensystem 2 4 Wahrscheinlichkeiten Null und Eins unmogliche und sichere Ereignisse 2 5 Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Kombinatorik 4 Statistik 5 Spieltheorie 6 Anwendungsbeispiele 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 Einzelnachweise und FussnotenUberblick BearbeitenDie Stochastik ist wiederum in viele Teilgebiete aufgeteilt Im Folgenden findet sich eine kleine Ubersicht uber die wichtigsten Gebiete Reine Stochastik Wahrscheinlichkeitstheorie Stochastische Prozesse Stochastische Analysis Stochastische Differentialgleichungen Stochastische partielle Differentialgleichungen Malliavin Kalkul White Noise Analysis Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten Freie Wahrscheinlichkeitstheorie Theorie der Zufallsmatrizen Stochastische Geometrie Theorie der grossen Abweichungen WarteschlangentheorieStatistik Mathematische Statistik Multivariate Statistik Regressionsanalyse Bayessche Statistik Ereigniszeitanalyse Zeitreihenanalyse Raumliche StatistikAnwendungen Statistische Mechanik Stochastische Zahlentheorie Biostatistik Koaleszenztheorie Versicherungsmathematik Finanzmathematik Data Science QuantenmechanikDie Stochastik untersucht die mathematische Modellierung zufalliger Ereignisse und findet daher in praktisch allen empirischen Disziplinen Anwendungen Beispiele sind Strategien fur Glucksspiele Risikoanalyse bei Uberbuchung von Schiff Flugzeug Hotel Entscheidung bei zufallsbedingten Vorgangen statistische Auswertung von Studien in der Medizin oder Arzneimittelforschung Problemen der Klimaforschung Qualitatskontrolle Wettervorhersagen Regenwahrscheinlichkeit Kalkulation von Versicherungspramien Studium von Warteschlangen und Optimierung von Ampelsteuerungen im Verkehr Modelle fur die Ausbreitung von Krankheiten Meinungsforschung Portfolio Analyse oder Marketing Strategien bei Banken Modellierung der Gesprachsdauer bei Telefongesprachen Anzahl der erforderlichen Entladebrucken eines Containerterminals oder Fragestellungen der Quantenphysik 5 Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimente BearbeitenIn der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man Zufallsprozesse mit festen als bekannt angegebenen Wahrscheinlichkeiten und studiert die Gesetze zufalliger Ereignisse 6 Dabei stellen Wahrscheinlichkeiten Prognosen dar Zum einen sollen Prognosen uber den Ausgang zukunftiger Ereignisse gemacht werden zum anderen soll beurteilt werden wie gewohnlich oder ungewohnlich ein eingetretenes Ereignis ist Prognosen die sich nicht bewahren mussen revidiert werden 7 Unter einer Prognose versteht man ein Mass fur die Unsicherheit zukunftiger Ereignisse ein Mass fur den Grad an personlicher Uberzeugung Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff also letztlich eine Erweiterung der Aussagenlogik 8 Prognosen Wahrscheinlichkeiten fur das Eintreten eines Ereignisses E erhalt man aus Laplace Experimenten siehe Abschnitt unten Dieser Ansatz ist rein theoretisch Prognosen als Laplace Wahrscheinlichkeiten werden vor dem Experiment aus der Vernunft geboren bei einem Zufallsexperiment das beliebig haufig wiederholbar ist als Schatzwert aus den beobachteten relativen Haufigkeiten fur das Eintreten von E und deren Entwicklung bei Steigerung der Anzahl an Versuchen frequentistische Wahrscheinlichkeit In diesem Fall dividiert man die absolute Haufigkeit also die Anzahl gegluckter Versuche durch die Anzahl der unternommenen Versuche Dieser Ansatz ist empirisch Prognosen werden nach Durchfuhrung moglichst vieler gleichartiger Experimente gewonnen Meist wird die Anzahl der fur eine realistische Schatzung mindestens erforderlichen Versuche unterschatzt Bei einer Binomialverteilung kann man zeigen dass es bei einem Laplace Wurfel mehr als 5 555 Wiederholungen bei anderen Zufallsvorrichtungen im ungunstigsten Fall aber mehr als 10 000 Wiederholungen sein mussen damit man in rund 95 solch langer Versuchsserien eine relative Haufigkeit erhalt die sich um hochstens 1 Prozent von der unbekannten Wahrscheinlichkeit unterscheidet Weiss man gar nichts uber die Verteilung der Zufallsergebnisse dann sind erheblich mehr Versuche notig 9 als subjektives Mass fur den personlichen Grad an Uberzeugung dass E eintritt subjektive Wahrscheinlichkeit Dieser Ansatz ist theoretisch Die Prognosen orientieren sich an eigener Erfahrung und sind von eigenen Wunschen gepragt 10 Angabe von Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben P displaystyle P dargestellt Das erinnert an das lateinische probabilitas aus dem das franzosische probabilite und das englische probability wurden 11 Eingefuhrt wurde diese Schreibweise von Laplace 12 Er unterscheidet in seinen Veroffentlichungen zwischen possibilite was wir heute relative Haufigkeit nennen und probabilite 13 Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit sondern sind Zahlen zwischen 0 und 1 wobei auch 0 und 1 zulassige Wahrscheinlichkeiten sind Deshalb konnen sie als Prozentangaben 20 Dezimalzahlen 0 2 displaystyle 0 2 Bruche 2 10 displaystyle tfrac 2 10 Quoten 2 von 10 beziehungsweise 1 von 5 oder Verhaltniszahlen 1 zu 4 angegeben werden alle diese Angaben beschreiben ein und dieselbe Wahrscheinlichkeit Haufig treten Missverstandnisse auf wenn nicht zwischen zu und von unterschieden wird 1 zu 4 bedeutet dass dem einen gewunschten Ereignis 4 ungewunschte Ereignisse gegenuberstehen Damit gibt es zusammen 5 Ereignisse von denen eines das Gewunschte ist also 1 von 5 Laplace Experimente Bearbeiten Hauptartikel Laplace Experiment Als Laplace Experimente benannt nach dem Mathematiker Pierre Simon Laplace werden Zufallsexperimente bezeichnet fur die die folgenden beiden Punkte erfullt sind Es gibt nur endlich viele mogliche Versuchsausgange Alle moglichen Ausgange sind gleich wahrscheinlich Einfache Beispiele fur Laplace Experimente sind das Wurfeln mit idealen Wurfeln das Werfen einer idealen Munze wenn man davon absieht dass sie auf dem Rand stehen bleiben kann und die Ziehung der Lottozahlen Die Wahrscheinlichkeit P displaystyle P fur das Eintreten des Ereignisses E bei einem Laplace Experiment berechnet sich nach der Gleichung P E Anzahl der fur das Ereignis E gunstigen Versuchsausgange Anzahl aller moglichen Versuchsausgange displaystyle P E frac text Anzahl der fur das Ereignis E gunstigen Versuchsausgange text Anzahl aller moglichen Versuchsausgange 14 Integritatsbedingungen Axiomensystem Bearbeiten Grundsatzliche Annahmen der Stochastik sind in den Kolmogorov Axiomen nach Andrei Kolmogorov beschrieben Aus diesen und ihren Folgerungen lasst sich schliessen dass Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses W displaystyle Omega das alle moglichen Versuchsausgange umfasst ist 1 displaystyle 1 P W 1 displaystyle P Omega 1 Die Wahrscheinlichkeit eines unmoglichen Ereignisses displaystyle emptyset ist 0 displaystyle 0 P 0 displaystyle P emptyset 0 Alle Wahrscheinlichkeiten P E displaystyle P E liegen zwischen einschliesslich null und eins 0 P E 1 displaystyle 0 leq P E leq 1 Die Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten eines Ereignisses E und die fur das Eintreten des Gegenereignisses E displaystyle bar E Nichteintreten des Ereignisses addieren sich zu Eins P E P E 1 displaystyle P E P bar E 1 In einem vollstandigen System von Ereignissen E i displaystyle E i hierfur mussen alle E i displaystyle E i paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich W displaystyle Omega sein ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 displaystyle 1 i 1 n P E i 1 displaystyle sum i 1 n P E i 1 15 Wahrscheinlichkeiten Null und Eins unmogliche und sichere Ereignisse Bearbeiten Wenn ein Ereignis unmoglich ist dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 0 Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 0 nur dann geschlossen werden dass das Ereignis unmoglich ist wenn es nur endlich viele verschiedene Versuchsausgange gibt Fur Zufallsversuche mit unendlich vielen Versuchsausgangen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zufallszahl zwischen 0 und 1 gezogen Es wird davon ausgegangen dass jede Zahl gleich wahrscheinlich sei es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 vorausgesetzt Dann ist fur jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden gleich 0 da es in diesem Intervall unendlich viele Zahlen gibt Dennoch ist jede Zahl aus 0 1 displaystyle 0 1 als Ziehungsergebnis moglich Ein unmogliches Ereignis im Rahmen dieses Beispiels ist etwa die Ziehung der 2 also das Eintreten des Elementarereignisses 2 displaystyle 2 16 Wenn ein Ereignis sicher eintritt dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 1 Ein Beispiel fur ein sicheres Ereignis beim Wurfeln mit einem sechsseitigen Wurfel ist das Ereignis es wird keine Sieben gewurfelt oder es wird eine Zahl zwischen 1 und 6 gewurfelt Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 1 nur dann geschlossen werden dass das Ereignis sicher eintritt wenn es nur endlich viele Versuchsausgange gibt Fur Zufallsversuche mit unendlich vielen Ausgangen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel Man wurfelt solange bis zum ersten Mal eine 6 eintritt Die Wahrscheinlichkeit dass irgendwann einmal 6 fallt ist 1 aber es ist keineswegs sicher dass einmal 6 fallen muss 17 Wahrscheinlichkeitstheorie Bearbeiten Hauptartikel Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeit Ergebnis Ereignis Ergebnismenge Baumdiagramm und Pfadregeln Urnenmodell Laplace Formel Erwartungswert Varianz Standardabweichung bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes Vierfeldertafel Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilungen Gleichverteilung diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung stetige Verteilung Binomialverteilung Multinomialverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Bernoulli Verteilung hypergeometrische Verteilung Poisson Verteilung Mischverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte VerteilungsfunktionKombinatorik Bearbeiten Hauptartikel Kombinatorik Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik das sich mit Fragestellungen uber endliche Mengen beschaftigt 18 Im Urnenmodell lasst sich die Bestimmung der Anzahl aller Moglichkeiten bei der Auswahl und Anordnung von Objekten darstellen und veranschaulichen Betrachten wir das Ziehen von k displaystyle k Kugeln aus einer Urne die n displaystyle n Kugeln enthalt k n displaystyle k leq n dann lassen sich 4 Grundprobleme herausstellen Ziehen ohne Zurucklegen gezogener Kugeln mit Berucksichtigung der Reihenfolge Sonderfall Alle Kugeln werden gezogen k n displaystyle k n Ziehen ohne Zurucklegen gezogener Kugeln ohne Berucksichtigung der Reihenfolge Ziehen mit Zurucklegen der gezogenen Kugel unmittelbar nach dem Ziehen mit Berucksichtigung der Reihenfolge Ziehen mit Zurucklegen der gezogenen Kugel unmittelbar nach dem Ziehen ohne Berucksichtigung der Reihenfolge 19 In der modernen Kombinatorik werden diese Probleme umformuliert als Abbildungen sodass sich die Aufgabe der Kombinatorik im Wesentlichen darauf beschranken kann diese Abbildungen aufzuzahlen 20 Statistik Bearbeiten Hauptartikel Statistik Statistik ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten Dabei verbindet sie empirische Daten mit theoretischen Modellen Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik deskriptive Statistik und die beurteilende Statistik schliessende Statistik 21 In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten uber Zufallsgrossen stellt die Verteilung von Haufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage und Streuungsmasse Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe die Auskunft uber die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll In der beurteilenden Statistik versucht man aus den Daten einer Stichprobe Ruckschlusse uber die Grundgesamtheit zu ziehen Man erhalt dabei Aussagen die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschatzt Dieses Schatzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik 22 Daten Stichprobe Grundgesamtheit Haufigkeit absolute relative Merkmal Merkmalsauspragung Haufigkeitsverteilung Stabdiagramm Kreisdiagramm Histogramm Stamm Blatt Diagramm explorative Datenanalyse Minimum Quartil Quantil Median Maximum Boxplot arithmetisches Mittel geometrischer Mittelwert harmonisches Mittel gewichtetes Mittel Stichprobenvarianz Stichprobenstandardabweichung Abweichung Spannweite Hypothesentest Testen nach Bayes SchatzenSpieltheorie Bearbeiten Hauptartikel Spieltheorie Die Spieltheorie ist ein modernes Teilgebiet der Mathematik mit vielfaltigen Beziehungen zu anderen Wissenschaften Es befasst sich damit Systeme mit mehreren Akteuren Spielern Agenten zu analysieren Die Spieltheorie versucht dabei unter anderem das rationale Entscheidungsverhalten in sozialen Konkurrenz und Konfliktsituationen abzuleiten Sie ist eine mathematische Theorie der Konfliktsituationen 23 Die Stochastik kommt dafur an verschiedenen Stellen zum Tragen Zum einen bei Spielen wie dem Kampf der Geschlechter bei denen die bestmogliche Strategie darin besteht eine Entscheidung zufallig zu treffen Zum anderen befasst sich die Spieltheorie auch mit den Systemen in denen die Akteure nicht die komplette Situation kennen das heisst sie verfugen nicht uber vollstandige Information Dann mussen sie eine optimale Spielstrategie auf Grundlage ihrer Vermutungen wahlen Anwendungsbeispiele BearbeitenTeilungsproblem De Mere Paradoxon Geburtstagsparadoxon Ziegenproblem auch als Drei Turen Problem bekannt Bertrand Paradoxon Sankt Petersburg Paradoxon SammelbilderproblemSiehe auch BearbeitenZufall Starkes Gesetz der grossen Zahlen Schwaches Gesetz der grossen Zahlen Zwei Drittel Gesetz oder Gesetz der kleinen Zahlen Stochastisch unabhangige Ereignisse Stochastisch unabhangige Zufallsvariablen Stochastischer Prozess Markow Kette Formelsammlung StochastikWeblinks Bearbeiten Wiktionary Stochastik Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Literatur uber Stochastik im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek Kurzbeschreibung des Begriffes Stochastik Memento vom 17 Marz 2013 im Internet Archive Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Vieweg Verlag Braunschweig 1991 ISBN 3 528 27259 7 S V A Buchter W Henn Elementare Stochastik Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 22250 2 S Untertitel Kurt Nawrotzki Lehrbuch der Stochastik Verlag Harri Deutsch Frankfurt 1994 ISBN 3 8171 1368 4 S 7 Schuler Duden Die Mathematik II Duden Verlag Mannheim 1991 ISBN 3 411 04273 7 ruhr uni bochum de mathematik de Wolfgang Riemer Stochastische Probleme aus elementarer Sicht BI Wissenschafts Verlag Mannheim Wien Zurich 1991 ISBN 3 411 14791 1 S 19 A Buchter W Henn Elementare Stochastik Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 22250 2 S 150 Helmut Wirths Stochastikunterricht am Gymnasium BoD Norderstedt 2020 ISBN 978 3 7526 2218 8 S 78 A Buchter W Henn Elementare Stochastik Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 22250 2 S 139 151 Friedrich Barth Rudolf Haller Stochastik Leistungskurs Ehrenwirth Verlag Munchen ISBN 3 431 02511 0 S 42 P S de Lapace Theorie analytique des probabiltes 1812 zitiert nach Robert Ineichen Ivo Schneider Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfangen bis 1933 Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1988 ISBN 3 534 08759 3 S 145 Robert Ineichen Wurfel und Wahrscheinlichkeit Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford 1996 ISBN 3 8274 0071 6 S 4 A Buchter W Henn Elementare Stochastik Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 22250 2 S 153 A Buchter W Henn Elementare Stochastik Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 22250 2 S 137 Hans Christian Reichel Wahrscheinlichkeit und Statistik Verlag Holder Pichler Tempsky Wien 1987 ISBN 3 209 00736 5 S 64 Schulerduden Die Mathematik II Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich ISBN 3 411 04273 7 Friedrich Barth Rudolf Haller Stochastik Leistungskurs Ehrenwirth Verlag Munchen ISBN 3 431 02511 0 S 95 Beispiele in Johann Pfanzagl Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie Walter de Gruyter Berlin New York 1991 ISBN 3 11 013384 9 S 29 30 Norbert Henze Stochastik fur Einsteiger Vieweg Verlag Braunschweig Wiesbaden 1997 ISBN 3 528 06894 9 S 23 Schulerduden Die Mathematik II Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich ISBN 3 411 04273 7 J S Wentzel Elemente der Spieltheorie Harri Deutsch Verlag Frankfurt am Main Zurich 1976 S 5 Normdaten Sachbegriff GND 4121729 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stochastik amp oldid 235580811