Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Stochastik einschliesslich Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Zufallsvariablen und Verteilungen sowie Statistik Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 1 Grundlagen 2 2 Kombinatorik 3 Zufallsvariablen 3 1 Diskrete Zufallsgrossen 3 2 Stetige Zufallsgrossen 3 3 Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation 4 Spezielle Verteilungen 4 1 Binomialverteilung 4 1 1 s Regeln 4 1 2 Standardisieren einer Verteilung 4 1 3 Poisson Naherung 4 1 4 Poisson Verteilung 4 1 5 Naherungsformeln von Moivre und Laplace 4 1 6 Standardnormalverteilung 4 2 Hypergeometrische Verteilung 4 3 Geometrische Verteilung 4 4 Weitere 4 5 Approximationen von Verteilungen 4 6 Kritische Werte 5 Statistik 5 1 Beschreibende Statistik 5 1 1 Lagemasse 5 1 2 Streuungsmasse 5 1 3 Zusammenhangsmasse 5 1 4 Mittelwerte 5 2 Schliessende Statistik 5 2 1 Parameter 5 2 2 Schatzfunktionen 5 2 3 Punktschatzer und Konfidenzintervalle 6 Einzelnachweise 7 WeblinksNotation BearbeitenIn der Stochastik gibt es neben der ublichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende haufig verwendete Konventionen Zufallsvariablen werden in Grossbuchstaben geschrieben X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp etc Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben z B fur die Beobachtungen in einer Stichprobe x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n nbsp Fur die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt z B f x displaystyle f x nbsp Fur die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Grossbuchstaben benutzt z B F x displaystyle F x nbsp Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird die Bezeichnung ϕ z displaystyle phi z nbsp und fur die Verteilungsfunktion F z displaystyle Phi z nbsp benutzt Griechische Buchstaben z B 8 b displaystyle theta beta nbsp werden benutzt um unbekannte Parameter Parameter der Grundgesamtheit zu bezeichnen Eine Schatzfunktion wird haufig mit einem Zirkumflex uber dem entsprechenden Symbol bezeichnet z B 8 displaystyle hat theta nbsp gesprochen Theta Dach Das arithmetische Mittel wird mit x displaystyle bar x nbsp bezeichnet gesprochen x displaystyle x nbsp quer Wahrscheinlichkeitsrechnung BearbeitenIm Folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp gegeben Darin ist der Ergebnisraum W displaystyle Omega nbsp eine beliebige nichtleere Menge S displaystyle Sigma nbsp eine s Algebra von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp die W displaystyle Omega nbsp enthalt und P displaystyle P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf W displaystyle Omega nbsp Grundlagen Bearbeiten Axiome Jedem Ereignis A S displaystyle A in Sigma nbsp wird eine Wahrscheinlichkeit P A displaystyle P A nbsp zugeordnet so dass gilt 0 P A 1 displaystyle 0 leq P A leq 1 nbsp P W 1 displaystyle P Omega 1 nbsp fur paarweise disjunkte Ereignisse A 1 A 2 displaystyle A 1 A 2 dots nbsp gilt P A 1 A 2 P A 1 P A 2 displaystyle P A 1 cup A 2 cup dots P A 1 P A 2 dots nbsp Rechenregeln Aus den Axiomen ergibt sich P 0 displaystyle P emptyset 0 nbsp Fur A B displaystyle A subset B nbsp gilt P B A P B P A displaystyle P B setminus A P B P A nbsp insbesondere P A P B displaystyle P A leq P B nbsp Fur das Gegenereignis A W A displaystyle overline A Omega setminus A nbsp gilt P A 1 P A displaystyle P overline A 1 P A nbsp P A B P A P B P A B displaystyle P A cup B P A P B P A cap B nbsp Laplace Experimente P A A W Anzahl der gunstigen Ergebnisse Anzahl der moglichen Ergebnisse displaystyle P A frac A Omega frac text Anzahl der gunstigen Ergebnisse text Anzahl der moglichen Ergebnisse nbsp Bedingte Wahrscheinlichkeit P A B P B A P A B P B displaystyle P A vert B P B A frac P A cap B P B nbsp Satz von Bayes P B A P B P A B P B P A B P B P A B displaystyle P B vert A frac P B P A vert B P B P A vert B P overline B P A vert overline B nbsp Unabhangigkeit Zwei Ereignisse A B displaystyle A B nbsp sind unabhangig P A B P A P B displaystyle Leftrightarrow P A cap B P A cdot P B nbsp Kombinatorik Bearbeiten Fakultat Anzahl der Moglichkeiten beim Ziehen aller n displaystyle n nbsp Kugeln aus einer Urne ohne Zurucklegen n n n 1 n 2 3 2 1 n n 1 displaystyle n n cdot n 1 cdot n 2 cdot dots cdot 3 cdot 2 cdot 1 n cdot n 1 nbsp wobei 0 1 1 displaystyle 0 1 1 nbsp ohne Wiederholung von n Elementen a b c displaystyle a b c nbsp mit Wiederholung von r s t n Elementen von denen jeweils r s t nicht unterscheidbar sind a a b displaystyle a a b nbsp Permutation a b b a displaystyle a b neq b a nbsp n displaystyle n nbsp r s t r s t n r s t displaystyle frac r s ldots t r cdot s cdot ldots cdot t frac n r cdot s cdot ldots cdot t nbsp Binomialkoeffizient n uber k n k n k n k displaystyle n choose k n over k n k nbsp Anzahl der Moglichkeiten beim Ziehen von k displaystyle k nbsp Kugeln aus einer Urne mit n displaystyle n nbsp Kugeln ohne Wiederholung ohne Zurucklegen siehe Hypergeometrische Verteilung a b c displaystyle a b c nbsp a b c displaystyle a b c nbsp mit Wiederholung mit Zurucklegen siehe Binomialverteilung a a b displaystyle a a b nbsp a a b displaystyle a a b nbsp Variation a b b a displaystyle a b neq b a nbsp n k k n n k displaystyle n choose k cdot k frac n left n k right nbsp n k displaystyle n k nbsp Kombination a b b a displaystyle a b b a nbsp n k n n k k displaystyle n choose k frac n left n k right cdot k nbsp n k n k 1 k n k 1 n 1 k displaystyle left n choose k right n k 1 choose k frac left n k 1 right left n 1 right cdot k nbsp Zufallsvariablen BearbeitenDiskrete Zufallsgrossen Bearbeiten Eine Funktion f displaystyle f nbsp heisst Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp wenn folgende Eigenschaften erfullt sind Fur alle x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp gilt f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp x Z f x 1 displaystyle sum x in mathbb Z f x 1 nbsp Fur die zugehorige Zufallsvariable gilt dann P X x f x displaystyle P X x f x nbsp Eine Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp und deren Verteilung heissen diskret falls die Funktion f x P X x displaystyle f x P X x nbsp die Eigenschaft 2 hat Man nennt f x displaystyle f x nbsp die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X displaystyle X nbsp E X m x Z x f x displaystyle E X mu sum x in mathbb Z x cdot f x nbsp E g X x Z g x f x displaystyle E g X sum x in mathbb Z g x cdot f x nbsp V X s 2 x Z x m 2 f x displaystyle V X sigma 2 sum x in mathbb Z x mu 2 cdot f x nbsp Stetige Zufallsgrossen Bearbeiten Eine Funktion f displaystyle f nbsp heisst Dichte Funktion einer stetigen Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp wenn folgende Eigenschaften erfullt sind Fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp gilt f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp f x d x 1 displaystyle int limits infty infty f x mathrm d x 1 nbsp Fur eine stetige Zufallsgrosse gilt dann P a X b a b f x d x displaystyle P a leq X leq b int limits a b f x mathrm d x nbsp Eine Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp und deren Verteilung heissen stetig falls es eine geeignete Dichtefunktion f displaystyle f nbsp mit dieser Eigenschaft gibt Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst Dichte Funktion von X displaystyle X nbsp Fur die Wahrscheinlichkeit gilt P X a 0 displaystyle P X a 0 nbsp fur alle a R displaystyle a in mathbb R nbsp P a X b P a lt X b P a X lt b P a lt X lt b displaystyle P a leq X leq b P a lt X leq b P a leq X lt b P a lt X lt b nbsp Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch E X m x f x d x displaystyle E X mu int limits infty infty x cdot f x mathrm d x nbsp E g X g x f x d x displaystyle E g X int limits infty infty g x cdot f x mathrm d x nbsp V X s 2 x m 2 f x d x displaystyle V X sigma 2 int limits infty infty x mu 2 cdot f x mathrm d x nbsp Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation Bearbeiten Fur den Erwartungswert E X displaystyle E X nbsp die Varianz V X displaystyle V X nbsp die Kovarianz Cov X Y displaystyle operatorname Cov X Y nbsp und die Korrelation ϱ X Y displaystyle varrho X Y nbsp gelten E a X b a E X b displaystyle E aX b aE X b nbsp E X Y E X E Y displaystyle E X Y E X E Y nbsp allgemein E i 1 n X i i 1 n E X i displaystyle E sum i 1 n X i sum i 1 n E X i nbsp Fur unabhangige Zufallsvariablen X i displaystyle X i nbsp gilt E i 1 n X i i 1 n E X i displaystyle E prod i 1 n X i prod i 1 n E X i nbsp V X E X E X 2 E X 2 E X 2 displaystyle V X E X E X 2 E X 2 E X 2 nbsp V a X b a 2 V X displaystyle V aX b a 2 V X nbsp Fur unabhangige Zufallsvariablen X i displaystyle X i nbsp gilt V i 1 n X i i 1 n V X i displaystyle V sum i 1 n X i sum i 1 n V X i nbsp Cov X Y E X E X Y E Y E X Y E X E Y displaystyle operatorname Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y nbsp Cov X Y Cov Y X displaystyle operatorname Cov X Y operatorname Cov Y X nbsp Cov X X V X displaystyle operatorname Cov X X V X nbsp Cov a X b Y a Cov X Y displaystyle operatorname Cov aX b Y a operatorname Cov X Y nbsp Cov X 1 X 2 Y Cov X 1 Y Cov X 2 Y displaystyle operatorname Cov X 1 X 2 Y operatorname Cov X 1 Y operatorname Cov X 2 Y nbsp V X Y V X V Y 2 Cov X Y displaystyle V X Y V X V Y 2 operatorname Cov X Y nbsp ϱ X Y Cov X Y V X V Y displaystyle varrho X Y frac operatorname Cov X Y sqrt V X sqrt V Y nbsp Tschebyschow Ungleichung P X E X a V x a 2 displaystyle P X E X geq alpha leq frac V x alpha 2 nbsp Spezielle Verteilungen BearbeitenBinomialverteilung Bearbeiten Gegeben ist ein n displaystyle n nbsp stufiger Bernoulli Versuch d h n displaystyle n nbsp mal dasselbe Experiment unabhangig voneinander mit nur zwei moglichen Ausgangen und konstanten Wahrscheinlichkeiten mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q 1 p displaystyle q 1 p nbsp Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp Anzahl der Erfolge heisst Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit fur k displaystyle k nbsp Erfolge berechnet sich nach der Formel P X k n k p k q n k displaystyle P X k binom n k cdot p k cdot q n k nbsp Erwartungswert m E X n p displaystyle mu E X n cdot p nbsp Varianz s 2 V X n p q displaystyle sigma 2 V X n cdot p cdot q nbsp Standardabweichung s s X V X n p q displaystyle sigma sigma X sqrt V X sqrt n cdot p cdot q nbsp s Regeln Bearbeiten Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehorigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen falls s gt 3 displaystyle sigma gt 3 nbsp Radius der Umgebung Wahrscheinlichkeit der Umgebung1s 0 682s 0 9553s 0 997Wahrscheinlichkeit der Umgebung Radius der Umgebung0 90 1 64s0 95 1 96s0 99 2 58sStandardisieren einer Verteilung Bearbeiten Hat die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp eine Verteilung mit Erwartungswert E X m displaystyle E X mu nbsp und Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp dann wird die standardisierte Variable X displaystyle X nbsp definiert durch X X m s displaystyle X frac X mu sigma nbsp Die standardisierte Variable X displaystyle X nbsp hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1 Poisson Naherung Bearbeiten Gegeben sei eine Binomialverteilung mit grossem Stichprobenumfang n displaystyle n nbsp 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit p 0 1 displaystyle p leq 0 1 nbsp Mithilfe von m n p displaystyle mu n cdot p nbsp kann man dann naherungsweise die Wahrscheinlichkeit fur k displaystyle k nbsp Erfolge berechnen P X 0 e m displaystyle P X 0 approx e mu nbsp P X k m k P X k 1 displaystyle P X k approx frac mu k cdot P X k 1 nbsp Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu P X k m k k e m displaystyle P X k approx frac mu k k cdot e mu nbsp Poisson Verteilung Bearbeiten Gilt fur die Verteilung einer Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp P X k m k k e m displaystyle P X k frac mu k k cdot e mu nbsp Naherungsformeln von Moivre und Laplace Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine binomialverteilte Zufallsgrosse mit s gt 4 displaystyle sigma gt 4 nbsp brauchbare Naherung besser s gt 9 displaystyle sigma gt 9 nbsp Die Wahrscheinlichkeit fur genau und hochstens k displaystyle k nbsp Erfolge lasst sich naherungsweise berechnen durch P X k 1 s f k m s displaystyle P X k approx 1 over sigma cdot varphi left k mu over sigma right nbsp P X k F X k f k m s displaystyle P X leq k F X k approx varphi left k mu over sigma right nbsp Standardnormalverteilung Bearbeiten Die Dichte Funktion f displaystyle varphi nbsp auch als Glockenkurve bekannt der Standardnormalverteilung ist definiert durch f x 1 2 p e 1 2 x 2 displaystyle varphi x frac 1 sqrt 2 pi mathrm e frac 1 2 x 2 nbsp und die Verteilungsfunktion F displaystyle Phi nbsp durch F z z f x d x displaystyle Phi z int limits infty z varphi x dx nbsp Naherungsformeln fur eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitatkorrektur P X k F k 0 5 m s F k 0 5 m s displaystyle P X k approx Phi left frac k 0 5 mu sigma right Phi left frac k 0 5 mu sigma right nbsp P X k F k 0 5 m s displaystyle P X leq k approx Phi left frac k 0 5 mu sigma right nbsp P a X b F b 0 5 m s F a 0 5 m s displaystyle P a leq X leq b approx Phi left frac b 0 5 mu sigma right Phi left frac a 0 5 mu sigma right nbsp Hypergeometrische Verteilung Bearbeiten In einer Grundgesamtheit vom Umfang N displaystyle N nbsp seien zwei Merkmalsauspragungen vom Umfang K displaystyle K nbsp bzw N K displaystyle N K nbsp vertreten Eine Stichprobe vom Umfang n displaystyle n nbsp werde genommen Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp Anzahl der Exemplare der 1 Merkmalsauspragung in der Stichprobe einer hypergeometrischen Verteilung Die Wahrscheinlichkeit dass in der Stichprobe vom Umfang n displaystyle n nbsp genau k displaystyle k nbsp Exemplare der 1 Merkmalsauspragung sind ist P X k K k N K n k N n displaystyle P X k binom K k cdot binom N K n k over binom N n nbsp N displaystyle N nbsp Anzahl der Elemente K displaystyle K nbsp Anzahl der positiven Elemente n displaystyle n nbsp Anzahl der Ziehungen k displaystyle k nbsp Anzahl der Erfolge Sei p K N displaystyle p tfrac K N nbsp der Anteil mit dem die 1 Merkmalsauspragung in der Gesamtheit vorkommt dann gilt m E X n p n K N displaystyle mu E X n cdot p n cdot frac K N nbsp s 2 V X n p 1 p N n N 1 n K N 1 K N N n N 1 displaystyle sigma 2 V X n cdot p 1 p frac N n N 1 n cdot frac K N left 1 frac K N right frac N n N 1 nbsp Geometrische Verteilung Bearbeiten Gegeben ist ein Bernoulli Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp Die Verteilung der Zufallsgrosse W displaystyle W nbsp Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heisst geometrische Verteilung Es gilt P W k p q k 1 displaystyle P W k p cdot q k 1 nbsp Erfolg genau beim k displaystyle k nbsp ten Versuch P W gt k q k displaystyle P W gt k q k nbsp k displaystyle k nbsp Misserfolge hintereinander bzw der erste Erfolg kommt erst nach dem k displaystyle k nbsp ten Versuch P W k 1 q k displaystyle P W leq k 1 q k nbsp Erfolg spatestens beim k displaystyle k nbsp ten Versuch bzw bis zum k displaystyle k nbsp ten Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein Der Erwartungswert ist E W 1 p displaystyle E W frac 1 p nbsp Weitere Bearbeiten Die unzahligen weiteren speziellen Verteilungen konnen hier nicht alle aufgefuhrt werden es sei auf die Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwiesen Approximationen von Verteilungen Bearbeiten Unter gewissen Approximationsbedingungen konnen Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen Je nach Lehrbuch konnen die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein NachVon B n p displaystyle B n p nbsp P o l displaystyle Po lambda nbsp N m s displaystyle N mu sigma nbsp Diskrete VerteilungenBinomialverteilungB n p displaystyle B n p nbsp n gt 10 p lt 0 05 displaystyle n gt 10 p lt 0 05 nbsp l n p displaystyle lambda np nbsp n p 1 p 9 displaystyle np 1 p geq 9 nbsp m n p s 2 n p 1 p displaystyle mu np sigma 2 np 1 p nbsp Hypergeometrische VerteilungH y p N M n displaystyle Hyp N M n nbsp n N lt 0 05 displaystyle frac n N lt 0 05 nbsp p M N displaystyle p frac M N nbsp n gt 10 displaystyle n gt 10 nbsp M N lt 0 05 displaystyle frac M N lt 0 05 nbsp l n M N displaystyle lambda n frac M N nbsp n M N 1 M N 9 displaystyle n frac M N left 1 frac M N right geq 9 nbsp m n M N s 2 n M N 1 M N N n N 1 displaystyle mu n frac M N sigma 2 n frac M N left 1 frac M N right frac N n N 1 nbsp Poisson VerteilungP o l displaystyle Po lambda nbsp l gt 9 displaystyle lambda gt 9 nbsp m l s 2 l displaystyle mu lambda sigma 2 lambda nbsp Stetige VerteilungenChi Quadrat Verteilungx n 2 displaystyle chi n 2 nbsp n gt 30 displaystyle n gt 30 nbsp m n s 2 2 n displaystyle mu n sigma 2 2n nbsp Studentsche t Verteilungt n displaystyle t n nbsp n gt 30 displaystyle n gt 30 nbsp m 0 s 2 1 displaystyle mu 0 sigma 2 1 nbsp NormalverteilungN m s displaystyle N mu sigma nbsp Bei dem Ubergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine Stetigkeitskorrektur wenn s 2 9 displaystyle sigma 2 leq 9 nbsp oder n 60 displaystyle n leq 60 nbsp in Betracht P a X diskret b P a 0 5 X stetig b 0 5 displaystyle P a leq X text diskret leq b approx P a 0 5 leq X text stetig leq b 0 5 nbsp und insbesondere P X diskret a P a 0 5 X stetig a 0 5 displaystyle P X text diskret a approx P a 0 5 leq X text stetig leq a 0 5 nbsp 1 Kritische Werte Bearbeiten Das a displaystyle alpha nbsp Level ist der Wert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung fur den gilt F x a a displaystyle F x alpha alpha nbsp Es gibt eine Standardnotation fur einige haufig verwendete Verteilungen z a displaystyle z alpha nbsp oder z a displaystyle z alpha nbsp fur die Standardnormalverteilung t a n displaystyle t alpha nu nbsp oder t a n displaystyle t alpha nu nbsp fur die t Verteilung mit n displaystyle nu nbsp Freiheitsgraden x a n 2 displaystyle chi alpha nu 2 nbsp oder x 2 a n displaystyle chi 2 alpha nu nbsp fur die Chi Quadrat Verteilung mit n displaystyle nu nbsp Freiheitsgraden F a n 1 n 2 displaystyle F alpha nu 1 nu 2 nbsp oder F a n 1 n 2 displaystyle F alpha nu 1 nu 2 nbsp fur die F Verteilung mit n 1 displaystyle nu 1 nbsp und n 2 displaystyle nu 2 nbsp FreiheitsgradenStatistik BearbeitenBeschreibende Statistik Bearbeiten Lagemasse Bearbeiten Arithmetisches Mittel x 1 n i 1 n x i x 1 x 2 x n n displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i frac x 1 x 2 cdots x n n nbsp MedianModus Streuungsmasse Bearbeiten empirische Varianz s 2 1 n i 1 n x i x 2 1 n i 1 n x i 2 x 2 displaystyle s 2 frac 1 n sum limits i 1 n left x i bar x right 2 frac 1 n left sum limits i 1 n x i 2 right bar x 2 nbsp empirische Standardabweichung s s 2 1 n i 1 n x i x 2 displaystyle s sqrt s 2 sqrt frac 1 n sum limits i 1 n left x i bar x right 2 nbsp Zusammenhangsmasse Bearbeiten Empirische Kovarianz s x y 1 n i 1 n x i x y i y 1 n i 1 n x i y i x y displaystyle s xy frac 1 n sum i 1 n x i bar x y i bar y frac 1 n left sum i 1 n x i y i right bar x bar y nbsp Empirischer Korrelationskoeffizient r x y s x y s x s y x i x y i y x i x 2 y i y 2 displaystyle r xy frac s xy s x cdot s y frac sum x i bar x y i bar y sqrt sum x i bar x 2 sum y i bar y 2 nbsp Gleichung der Regressionsgeraden einer linearen Einfachregression y a x b displaystyle y ax b nbsp mit a s x y s x 2 x i x y i y x i x 2 displaystyle a frac s xy s x 2 frac sum x i bar x y i bar y sum x i bar x 2 nbsp b y a x displaystyle b bar y a bar x nbsp wobei x displaystyle bar x nbsp und y displaystyle bar y nbsp die arithmetischen Mittel bedeuten Mittelwerte Bearbeiten Mittelwert Zwei Zahlen AllgemeinModus Auspragung mit hochster HaufigkeitMedian Zentralwert Sofern x 1 x n displaystyle x 1 dotsc x n nbsp sortiert sind x m e d x n 1 2 n ungerade 1 2 x n 2 x n 2 1 n gerade displaystyle bar x mathrm med begin cases x frac n 1 2 amp n text ungerade frac 1 2 left x frac n 2 x frac n 2 1 right amp n text gerade end cases nbsp Arithmetisches Mittel a b 2 displaystyle frac a b 2 nbsp x a r i t h m 1 n i 1 n x i x 1 x 2 x n n displaystyle bar x mathrm arithm frac 1 n sum i 1 n x i frac x 1 x 2 dotsb x n n nbsp Geometrisches Mittel a b displaystyle sqrt ab nbsp x g e o m i 1 n x i n x 1 x 2 x n n displaystyle bar x mathrm geom sqrt n prod i 1 n x i sqrt n x 1 cdot x 2 dotsm x n nbsp Harmonisches Mittel 2 1 a 1 b displaystyle frac 2 frac 1 a frac 1 b nbsp x h a r m n i 1 n 1 x i n 1 x 1 1 x 2 1 x n displaystyle bar x mathrm harm frac n sum limits i 1 n frac 1 x i frac n frac 1 x 1 frac 1 x 2 dotsb frac 1 x n nbsp Quadratisches Mittel a 2 b 2 2 displaystyle sqrt frac a 2 b 2 2 nbsp x q u a d r 1 n i 1 n x i 2 x 1 2 x 2 2 x n 2 n displaystyle bar x mathrm quadr sqrt frac 1 n sum i 1 n x i 2 sqrt x 1 2 x 2 2 dotsb x n 2 over n nbsp Schliessende Statistik Bearbeiten Parameter Bearbeiten Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der Grundgesamtheit oder eines Modells mit griechischen Buchstaben z B 8 b displaystyle theta beta nbsp bezeichnet Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit m displaystyle mu nbsp Die Varianz in der Grundgesamtheit s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Den Anteilswert einer dichotomen Variablen in der Grundgesamtheit p displaystyle pi nbsp Der Achsenabschnitt b 0 displaystyle beta 0 nbsp und die Steigung b 1 displaystyle beta 1 nbsp im einfachen linearen Regressionsmodell Y i b 0 b 1 x i U i displaystyle Y i beta 0 beta 1 x i U i nbsp Schatzfunktionen Bearbeiten Eine Schatzfunktion fur einen unbekannten Parameter wird haufig durch einen Grossbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet Die Schatzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp Parameter Bedingung Schatzfunktion Verteilungm displaystyle mu nbsp X 1 n i 1 n X i displaystyle bar X frac 1 n sum i 1 n X i nbsp 1 X i N m s 2 X N m s 2 n displaystyle X i sim N mu sigma 2 Rightarrow bar X sim N mu sigma 2 n nbsp 2 Wenn der zentrale Grenzwertsatz gilt dann gilt X N m s 2 n displaystyle bar X approx N mu sigma 2 n nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp m displaystyle mu nbsp bekannt S 2 1 n i 1 n X i m 2 displaystyle S 2 frac 1 n sum i 1 n X i mu 2 nbsp X i N m s 2 n S 2 s 2 x n 2 displaystyle X i sim N mu sigma 2 Rightarrow frac nS 2 sigma 2 sim chi n 2 nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp m displaystyle mu nbsp unbekannt S n 2 1 n 1 i 1 n X i X 2 displaystyle S n 2 frac 1 n 1 sum i 1 n X i bar X 2 nbsp X i N m s 2 n 1 S n 2 s 2 x n 1 2 displaystyle X i sim N mu sigma 2 Rightarrow frac n 1 S n 2 sigma 2 sim chi n 1 2 nbsp p displaystyle pi nbsp P 1 n i 1 n X i displaystyle Pi frac 1 n sum i 1 n X i nbsp 1 Ziehen mit Zurucklegen P B n p displaystyle Pi sim B n pi nbsp 2 Ziehen ohne Zurucklegen P H y p N M n displaystyle Pi sim Hyp N M n nbsp mit M p N displaystyle M pi cdot N nbsp und N displaystyle N nbsp der Umfang der Grundgesamtheit b 0 displaystyle beta 0 nbsp b 1 displaystyle beta 1 nbsp B k i 1 n Y i w i k x 1 x n displaystyle B k sum i 1 n Y i w i k x 1 ldots x n nbsp Wenn U i N 0 s u 2 displaystyle U i sim N 0 sigma u 2 nbsp dann folgt B k N b k s B k 2 displaystyle B k sim N beta k sigma B k 2 nbsp Punktschatzer und Konfidenzintervalle Bearbeiten Parameter Punktschatzer 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Konfidenzintervallm displaystyle mu nbsp m x 1 n i 1 n x i displaystyle hat mu bar x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp 1 Wenn s displaystyle sigma nbsp bekannt X z 1 a 2 s n X z 1 a 2 s n displaystyle bar X z 1 alpha 2 sigma sqrt n bar X z 1 alpha 2 sigma sqrt n nbsp 2 Wenn s displaystyle sigma nbsp unbekannt X t n 1 1 a 2 S n X t n 1 1 a 2 S n displaystyle bar X t n 1 1 alpha 2 S sqrt n bar X t n 1 1 alpha 2 S sqrt n nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp s 2 s n 2 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle hat sigma 2 s n 2 frac 1 n 1 sum i 1 n x i bar x 2 nbsp p displaystyle pi nbsp p p 1 n i 1 n x i displaystyle hat pi p frac 1 n sum i 1 n x i nbsp 1 Ziehen mit Zurucklegen Wenn P N p p 1 p n displaystyle Pi approx N left pi tfrac pi 1 pi n right nbsp dann gilt approximativ P z 1 a 2 p 1 p n P z 1 a 2 p 1 p n displaystyle left Pi z 1 alpha 2 sqrt tfrac pi 1 pi n Pi z 1 alpha 2 sqrt tfrac pi 1 pi n right nbsp 2 Ziehen ohne Zurucklegen Wenn P N p p 1 p n N n N 1 displaystyle Pi approx N left pi tfrac pi 1 pi n tfrac N n N 1 right nbsp dann gilt approximativ P z 1 a 2 p 1 p n N n N 1 P z 1 a 2 p 1 p n N n N 1 displaystyle left Pi z 1 alpha 2 sqrt tfrac pi 1 pi n tfrac N n N 1 Pi z 1 alpha 2 sqrt tfrac pi 1 pi n tfrac N n N 1 right nbsp Bei der Berechnung eines Schatzintervalls mittels einer Stichprobe in 1 und 2 wird p displaystyle pi nbsp durch p displaystyle p nbsp ersetzt Einzelnachweise Bearbeiten Yates F 1934 Contingency Tables Involving Small Numbers and the x2 Test Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1 2 217 235 JSTOR Archive for the journalWeblinks BearbeitenEarliest Uses of Symbols in Probability and Statistics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formelsammlung Stochastik amp oldid 230927913
